量子物理基础

量子物理基础第1页，共56页，2023年，2月20日，星期四十九世纪末期，物理学的经典理论已经基本完善了。开耳文也说：“在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只需要做一些零星的修补工作就行了”。麦克斯韦：“在几年中，所有重要的物理常数将被近似估算出来，给科学界人士留下来的只是提高这些常数的观察值的精度”。开耳文接着又指出：“但是在物理晴朗天空的远处，还有两朵小小令人不安的乌云”。事实上还有第三朵小小的乌云：放射性现象的发现。所有这些实验结果都是经典物理学无法解释的。在二十世纪初期，建立起了近代物理的两大支柱：相对论和量子论。第2页，共56页，2023年，2月20日，星期四§13.1经典物理的困难经典物理给我们提供了两个运动特征不相容的两类物理体系：实物粒子和相互作用场（波）。实物粒子的运动特征：定域。相互作用场（波）的运动特征：非定域。经典物理在解析微观领域时将遇到问题：黑体辐射：经典物理关于热辐射的能量连续变化的概念不能解释黑体辐射的能谱；光电效应：光的波动说不能解释类似光电效应这类光与物质相互作用的问题；原子结构和光谱：经典物理学不能给出原子的稳定结构，也不能说明原子光谱的规律。第3页，共56页，2023年，2月20日，星期四13.1.1黑体辐射1.热辐射现象任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波，并且其辐射能量的大小及辐射能量按波长的分布都与温度有关。物体在任何温度下都会辐射能量。注意：物体既会辐射能量，也会吸收能量。辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。这种由于物体中的分子、原子的热运动而发射电磁波的现象称为热辐射。第4页，共56页，2023年，2月20日，星期四2.几个物理量：单色辐出度e

：从物体表面单位面积上发射出的，波长介于~+d之间的辐射功率dE与d的比值。

意义：在一定温度T下，单位时间内从物体表面单位面积上波长在附近单位波长间隔内辐射出的能量。e是温度T和波长的函数，常写成e(,T)

。辐出度E(T)：物体表面单位面积发射的包含各种波长在内的辐射总功率。

第5页，共56页，2023年，2月20日，星期四辐出度E(T)仅是温度的函数。意义：在温度T

时单位时间、单位面积整个波长范围内辐射出的能量。单色吸收率(,T)

：波长在~

＋d范围内的吸收率称为单色吸收率。吸收率：当辐射从外界入射到物体表面时，被物体吸收的能量与入射能量的比值。基尔霍夫定律：在热平衡下，物体的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波长和温度的普适函数。第6页，共56页，2023年，2月20日，星期四基尔霍夫定律：在热平衡下，物体的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波长和温度的普适函数。结论：好的吸收体也是好的辐射体。3.黑体黑体：能够完全吸收外来辐射而没有反射的物体。黑体既是完全的吸收体，也是理想的发射体。可把一个开小孔的不透光空腔看成黑体。如远处不点灯的建筑物。第7页，共56页，2023年，2月20日，星期四4.黑体辐射实验中将开有小孔的空腔视为黑体，使其恒温。结论：每一条曲线都有一个极大值。随着温度的升高，黑体的单色辐出度迅速增大，并且曲线的极大值逐渐向短波方向移动。实验装置第8页，共56页，2023年，2月20日，星期四实验T=1646k维恩根据经典热力学得出一个半经验公式：维恩公式

维恩公式在短波部分与实验结果吻合得很好，但长波却不行。瑞利和琼斯用能量均分定理和电磁理论得出瑞利—琼斯公式瑞利—琼斯公式在长波部分与实验结果吻合，但在紫外区的单色辐出度为无穷大。维恩瑞利-琼斯式中c1，c2为常量。式中c为光速。第9页，共56页，2023年，2月20日，星期四13.1.2光电效应阳极阴极石英窗光电效应：当一束光照射在金属表面上时，金属表面会有电子逸出的现象。逸出的电子称为光电子。光电效应实验当K、A间加反向电压，光电子克服电场力作功，当电压达到某一值UC时，光电流恰为零。UC称反向遏止电压。遏止电压的大小反映光电子初动能的大小。第10页，共56页，2023年，2月20日，星期四光电效应实验的结果：1.存在截止频率（又称红限）0。当入射光的频率

大于截止频率0时，才能产生光电效应；反之，无论入射光的强度多大，都不能产生光电效应。不同材料的截止频率不同。2.在入射光频率不变时，饱和光电流随入射光强度I增加而增大；3.遏止电压与入射光强度无关，但与入射光的频率成正比。4.光电效应具有瞬时响应特性(t<10-9s)。且这种瞬间响应与入射光的强度无关。

经典理论无法解释光电效应的上述规律。第11页，共56页，2023年，2月20日，星期四实验T=1646k维恩瑞利-琼斯§13.2量子论的诞生13.2.1普朗克的能量子理论1.能量子假设1900年普朗克用内插法得到了普朗克公式：普朗克常数这个公式与实验结果相符合。普朗克理论值波长形式：频率形式：第12页，共56页，2023年，2月20日，星期四普朗克的能量子假设：=h称为能量子，n称为量子数。金属空腔壁中电子的振动可视为一维谐振子。这些振子可以吸收或辐射能量。对频率为的谐振子，其吸收或辐射的能量是不连续的，只能取某一最小能量h的整数倍。在这一假设基础上，运用经典的统计物理方法就可推出普朗克黑体辐射公式（推导见教材）。能量子假设对于经典物理来说是离经叛道的，就连普朗克本人当时都觉得难以置信。为回到经典的理论体系，在一段时间内他总想用能量的连续性来解决黑体辐射问题，但都没有成功。第13页，共56页，2023年，2月20日，星期四2.黑体辐射的两个定律斯忒藩-玻尔兹曼定律说明了黑体辐出度与温度的关系：斯忒藩-玻耳兹曼常量能谱分布曲线的峰值对应的波长m与温度T的乘积为一常数。含义：随着温度的升高，单色辐出度的峰值向短波方向移动。(1)斯忒藩

-玻耳兹曼定律(2)维恩位移定律维恩常量第14页，共56页，2023年，2月20日，星期四例：直径10cm、焦距50cm的凸透镜将太阳的像聚焦在置于焦平面上的一个涂有黑色的粗糙金属片上，金属片大小与太阳的像一样大。太阳与金属片均视为黑体。设太阳温度为5.9×103K，求金属片可达到的最高温度。解：太阳辐出度到达透镜功率：会聚到达黑色金属光屏成象，设其温度为T，又由几何光路图有：代入整理得：﹜rR﹛第15页，共56页，2023年，2月20日，星期四13.2.2爱因斯坦的光电效应方程爱因斯坦在普朗克能量子假设的基础上进一步提出了光子假设：光不仅在发射和吸收时以能量为h的微粒形式出现，而且在空间传播时也是如此。频率为的光是由大量能量为=h光子组成的粒子流，这些光子沿光的传播方向以光速c运动。光子的能量：爱因斯坦光电效应方程：式中：A为电子逸出金属表面所需做的功，称为逸出功；为光电子的最大初动能。第16页，共56页，2023年，2月20日，星期四爱因斯坦对光电效应的实验解释：1.入射光的强度I取决于单位时间内垂直通过单位面积的光子数n。入射光较强时，含有的光子数较多，所以获得能量而逸出的电子数也多，饱和电流自然也就大。2.当h<A时，电子无法获得足够能量脱离金属表面，因此存在红限0。不同金属具有不同的截止频率。第17页，共56页，2023年，2月20日，星期四4.入射光中光子的能量被金属表面的电子一次吸收，因此具有瞬时性。初动能及反向遏止电压与成正比，而与光强无关。3.根据光子能量：光子的质量：光子的动量：

光子的质量、能量和动量第18页，共56页，2023年，2月20日，星期四例：已知银的光电效应截止波长0=350nm，当用波长为250nm的紫外光照射时，求逸出光电子最大初动能Ek和银的逸出功A0。解：第19页，共56页，2023年，2月20日，星期四13.2.3康普顿散射爱因斯坦断言光是由光子组成，但真正证明光是由光子组成的是康普顿散射实验。192223年康普顿研究了X射线在石墨上的散射。光阑X

射线管探测器X

射线谱仪晶体0散射波长,0石墨体(散射物质)φ0第20页，共56页，2023年，2月20日，星期四1.康普顿散射的实验规律

在X射线通过物质散射时，散射线中除有与入射线波长相同的射线外，还有比入射线波长更大的射线，其波长的改变量与散射角有关，而与入射线波长0和散射物质都无关。波长的改变量满足如下关系：式中：C=2.410-12m称为康普顿波长。它表示散射角为90o时，散射波长改变的值。这种改变波长的散射称为康普顿效应。经典理论无法解释康普顿散射的实验规律。第21页，共56页，2023年，2月20日，星期四2.康普顿效应的光量子理论解释X射线是由一些能量为=h的光子组成，并且这些光子与自由电子发生完全弹性碰撞。在轻原子中，原子核对电子的束缚较弱，可以把电子看作是静止的自由电子。反冲电子碰撞前：光子能量为ho，动量为ho/c；电子的能量为moc2，动量为零。碰撞后：光子散射角为，光子能量为h，动量为h/c；电子飞出的方向与入射光子的夹角为，它的能量为，动量为。第22页，共56页，2023年，2月20日，星期四反冲电子碰撞过程能量守恒动量守恒联立以上三式，可以解得：第23页，共56页，2023年，2月20日，星期四散射波长改变量：康普顿效应中，波长改变的原因：当一个光子与散射物质中的一个自由电子碰撞后，电子获得一部分能量，同时光子将沿某一方向散射，散射的光子能量减小，频率减小，波长变长。康普顿波长：康普顿散射进一步证实了光子理论的正确性，还证明了在微观领域中也是严格遵守能量、动量守恒定律。第24页，共56页，2023年，2月20日，星期四说明:1.散射波长改变量的数量级为10-12m，可见光波长的数量级~10-7m，<<，观察不到康普顿效应。2.散射光中有与入射光相同的波长的射线，是由于光子与原子碰撞，原子质量很大，光子碰撞后，能量不变，散射光频率不变。4.重原子中，内层电子较多，而内层电子束缚很紧。所以原子量大的物质，康普顿效应比原子量小的弱。3.当=0时，光子频率保持不变；=时，光子频率减小最多。第25页，共56页，2023年，2月20日，星期四例：一个静止电子与一能量为4.0103eV的光子碰撞后，它能获得的最大动能是多少？解：光子与电子发生正碰而折回时，能量损失最大。碰撞后，电子获得的能量最大，这时光子的波长为：这时光子的能量为：第26页，共56页，2023年，2月20日，星期四3.光的波粒二象性光在传播过程中表现出波动性，如干涉、衍射、偏振现象。光在与物质发生作用时表现出粒子性，如光电效应，康普顿效应。光子能量和动量为上两式左边是描写粒子性的E、P；右边是描写波动性的、。h将光的粒子性与波动性联系起来。

关于光的本性问题，我们不应该在微粒说和波动说之间进行取舍，而应该把它们看作是光的本性的两种不同侧面的描述。第27页，共56页，2023年，2月20日，星期四§13.4微观粒子的波粒二象性13.4.1德布罗意物质波的假设1.物质波的引入

1923年，德布罗意第一次提出了实物粒子具有波动性观点。实物粒子：静止质量不为零的微观粒子。实物粒子和光子一样，也具有波粒二象性。如果用能量E和动量p来表征实物粒子的粒子性，则可用频率和波长来表示实物粒子的波动性。光(波)具有粒子性，那么实物粒子具有波动性吗?实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波的波长称为德布罗意波长。第28页，共56页，2023年，2月20日，星期四2.德布罗意公式德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性描述应用到实物粒子，动量为p的粒子波长：频率与能量关系：德布罗意公式物质波的概念可以成功地解释原子中令人困惑的轨道量子化条件。波长第29页，共56页，2023年，2月20日，星期四例：试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、1GeV的电子的德布罗意波长。解：由相对论公式：得：若Ek<<m0c2，若Ek>>m0c2，第30页，共56页，2023年，2月20日，星期四Ek=100eV时，Ek<<m0c2，Ek=1keV时，Ek<<m0c2，Ek=1MeV时，电子静能E0=m0c2=0.51MeV，EK=1GeV时，Ek>>m0c2，第31页，共56页，2023年，2月20日，星期四例：质量m=50kg的人，以v=15m/s的速度运动，试求人的德布罗意波波长。解：人的德波波长仪器观测不到，宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。电子的德波波长很短，用于电子显微镜衍射效应小，可放大200万倍。例：求静止电子经15000V电压加速后的德波波长。解：静止电子经电压U加速后的动能第32页，共56页，2023年，2月20日，星期四§13.5波函数不确定关系13.5.1波函数物质波可以用一个随时间和空间变化的函数来描述，这个函数称为波函数，通常用来表示。在一维空间量，波函数写成(x,t)，在三维空间里写成。自由粒子的波函数自由粒子不受外力作用，它在运动过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和动量保持不变。结论：自由粒子的物质波是单色平面波。对应的德布罗意波频率和波长：第33页，共56页，2023年，2月20日，星期四一个频率为、波长为沿x方向传播的单色平面波的表达式：利用波粒二象性的关系式，用描述粒子性的物理量来代替描述波动性的物理量，在量子力学中，波函数常写成复数形式，这个波函数既包含有反映波动性的波动方程的形式，又包含有体现粒子性的物理量E和P，因此它描述了微观粒子具有波粒二象性的特征。第34页，共56页，2023年，2月20日，星期四*为的复共轭函数。根据波动理论，波函数的强度正比于02。注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表达。不能用实数形式来表达。利用复指数函数的运算法则，有：

在一般情况下，粒子的波函数不是单色平面波的形式，而是空间和时间的复杂函数。

对三维空间，沿矢径方向传播的自由粒子的波函数为：第35页，共56页，2023年，2月20日，星期四13.5.2波函数的统计诠释1.波动－粒子两重性矛盾的分析观点一：把粒子性包容在波动性这中，认为物质波是三维空间连续分布的某种物质“波包”，因而呈现干涉和衍射的现象。物质波包的大小，就是粒子的大小，波包的群速度就是粒子运动的速度。观点二：粒子性是最基本的，波是由大量粒子分布于空间而形成的疏密波，波动性是粒子间相互作用的结果。以上两种观点都是错误的。为人们所接受的对于波函数的解释是由玻恩首先提出来的：德布罗意波并不像经典波那样是代表实在物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的“概率波”。第36页，共56页，2023年，2月20日，星期四2.概率波光的单缝衍射和电子的单缝衍射的比较：从波动性看，对光的衍射现象，空间某处光强与光波在该处振幅平方成正比，衍射极大值对应光振动振幅平方的极大值，衍射极小值对应振幅平方的极小值。用这种观点分析实物粒子衍射实验，可以看到在衍射极大值处，波函数的振幅平方＊具有极大值，在衍射极小值处，波函数的振幅平方＊具有极小值。从粒子的观点看，对光的衍射现象，光的衍射极大值处找到光子的概率最大，极小值处找到光子的概率最小。第37页，共56页，2023年，2月20日，星期四同样，这种观点对实物粒子衍射来说，在衍射极大值处，找到粒子的几率最大，衍射极小值处，找到粒子的概率最小。结论：在某时刻t，在空间某处，波函数模的平方正比于粒子在该时刻、该地点出现的概率。3.波函数的物理意义波函数模的平方代表时刻t、在处粒子出现的概率密度。概率密度粒子在微小体积内出现的概率：粒子在有限体积内出现的概率：第38页，共56页，2023年，2月20日，星期四概率密度强调：波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。波函数的概念和通常的经典波的概念不同，它不是那种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。波函数既不描述粒子的形状，也不描述粒子运动的轨迹，它只给出粒子运动的几率分布。根据波函数的统计解释可说明电子单缝衍射实验。第39页，共56页，2023年，2月20日，星期四量子力学中描述微观粒子状态的方式与经典力学中同时用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同。这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。第40页，共56页，2023年，2月20日，星期四4.波函数应满足的条件(1)归一化条件任意时刻，在整个空间发现粒子的概率应是1。(2)标准条件波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可微，且一阶导数也连续可微。(3)态叠加原理如果1，2，…所描写的都是体系可能实现的状态，它们的线性叠加所描写的也是体系的一个可能实现的状态。第41页，共56页，2023年，2月20日，星期四如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为1，这个过程称为波函数的归一化过程。量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函数与波函数/=c（c为任意常数）所描写的是粒子的同一状态。原因：粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍，并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。第42页，共56页，2023年，2月20日，星期四5.定态波函数定态波函数如果波函数(x,,y,z,t)可以表示为一个空间坐标的函数(x,y,z)与一个时间函数的乘积，并且整个波函数随时间的改变由因子决定，这个波函数就称为“定态波函数”。此时粒子所处的状态称为“定态”。结论：粒子处于定态时，粒子在空间某点的概率不随时间而改变。(x,y,z)通常称为定态波函数。第43页，共56页，2023年，2月20日，星期四例：粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：其中A为任意常数，E和b均为确定的常数。求：归一化的波函数；几率密度？即：解：由归一化条件，有：解得：第44页，共56页，2023年，2月20日，星期四几率密度如图所示，在区间（b/2,b/2)以外找不到粒子。在x=0处找到粒子的几率最大。b/2-b/2归一化的波函数：第45页，共56页，2023年，2月20日，星期四解：式中：L为势阱宽度，n为量子数。求：（1）粒子在0xL/4区间出现的几率；并对n=1和n=的情况算出概率值。（

2）在n=?的量子态上，粒子在x=L/4区间出现的概率密度最大。例：已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态波函数为：（1）粒子在0xL/4区间出现的几率：n=1时，n=时，第46页，共56页，2023年，2月20日，星期四（2）粒子在x=L/4区间出现的概率密度：其最大值对应于第47页，共56页，2023年，2月20日，星期四13.5.4不确定关系1.位置与动量的不确定关系经典粒子的轨道概念在多大程度上适用于微观世界？1927年，海森伯分析了一些理想实验并考虑到德布罗意关系，得出不确定度关系：粒子在同一方向上的坐标和动量不能同时确定。电子通过单缝位置的不确定范围x为：x

=

a，入射电子在x方向上无动量。电子通过单缝后，电子要到达屏上不同的点，具有x方向动量px，第48页，共56页，2023年，2月20日，星期四其第一级的衍射角满足：电子通过单缝后，x方向上的动量px的大小为：电子在x方向的动量的不确定量为：由德布罗意关系=h/p，得：即考虑到更高级的衍射图样，有：即第49页，共56页，2023年，2月20日，星期四上述讨论只是借助一个特例的粗略计算。式中：量子力学严格证明给出：推广到三维空间，则还应有：结论：微观粒子的坐标和动量不可能同时进行准确的测量。也就是说，微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。以上三式称为海森伯坐标与动量的不确定关系式。第50页，共56页，2023年，2月20日，星期四由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常简写为：在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不确定关系，E表示粒子能量的不确定量