静定结构的位移计算

静定结构的位移计算第1页，共52页，2023年，2月20日，星期四结构位移结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。§14-1概述位移的分类位移线位移：截面形心的直线移动距离(如AAˊ)

角位移：截面的转角（如φA)相对线位移：C、D两点X向的相对线位移

DCHCDD+D=DD)(相对角位移：A、B两点的相对角位移

BAABjjj+=（广义）第2页，共52页，2023年，2月20日，星期四一、变形体的虚功原理

外力虚功作用在结构上的外力所做的虚功。FFR1FR2FR3力状态位移状态位移状态C1C2C3AAT=∑F+∑FRC结构外力虚功表达式§14-2计算静定杆系结构位移的单位荷载法·图乘法第3页，共52页，2023年，2月20日，星期四

内力虚功（虚应变能、变形虚功）

力状态的内力在位移状态的变形上所做的虚功dsMM+dMFNFN+dFNFQFQ+dFQdsdudsdsdvdφFFR1FR2FR3力状态位移状态位移状态C1C2C3AA第4页，共52页，2023年，2月20日，星期四变形虚功dw=FNdu+FQdv+Mdφdw=FNdu+FQdv+Mdφòòòlllòlw=∑FNdu+∑FQdv+∑Mdφòòllòl第5页，共52页，2023年，2月20日，星期四变形体的虚功原理变形体处于平衡的充分与必要条件是：对于任何可能的虚位移，外力虚功等于内力虚功T=W外力虚功：T=∑P

+∑FRCw=∑FNdu+∑FQdv+∑Mdφòòò内力虚功：第6页，共52页，2023年，2月20日，星期四力状态位移状态外力×位移=外力虚功内力×变形=内力虚功（变形虚功）注意虚功原理1、两种状态属同一结构2、两种状态可以完全独立无关3、两种状态位移状态满足变形协调条件力状态应满足平衡条件第7页，共52页，2023年，2月20日，星期四虚功原理的两种应用1、虚位移原理（不常用）位移状态虚设力状态

实际2、虚力原理（常用）位移状态实际力状态

虚设虚功原理实际力虚功原理实际位移第8页，共52页，2023年，2月20日，星期四例：求A端支座发生竖向位移C'时引起C点的竖向位移。C'abABC解：1)虚设力状态（b图)abABCP(b)由∑Y=0FRAFRA=－bP/a2)建立虚功方程(a)P＋C=0=bc/a与所设荷载大小无关设P=1单位荷载法FRA第9页，共52页，2023年，2月20日，星期四单位荷载法1、定义：应用虚功原理，通过虚设单位荷载求实际位移的方法。2、计算结构位移的一般公式第10页，共52页，2023年，2月20日，星期四外力虚功：T=å+DiRiKCFF=DKF－1R1CF2R2CF3R3CF－－内力虚功：åòåòåò++=vQuNdFdFdMqM由虚功原理T=Wåòåòåò++=vQuNdFdFdMqå－DiRiKCF位移计算的一般公式DK的物理意义：单位力在位移上所做的虚功，在数值上等于位移DK第11页，共52页，2023年，2月20日，星期四DK的“+”“－”号问题“+”表示所求位移方向与假设的单位力方向一致；“－”表示所求位移方向与假设的单位力方向相反。一般公式的普遍性表现在：1、变形原因：荷载、温度改变、支座位移、制造误差；2、结构类型：静定和非静定结构；3、材料的性质：弹性材料和非弹性材料；4、变形类型：弯曲变形、拉（压）变形、剪切变形；5、位移种类：线位移、角位移、相对线位移和相对角位移。第12页，共52页，2023年，2月20日，星期四单位荷载法总结单位荷载法：利用虚功原理求结构产生的位移在所求位移地点沿所求位移方向加一个单位荷载，作为虚拟力状态使荷载虚功恰好等于所求位移。广义位移线位移角位移相对线位移相对角位移广义荷载集中力集中力偶一对集中力一对集中力偶第13页，共52页，2023年，2月20日，星期四虚设力状态举例AφAM=1=？P=1AABBP=1=？ACBP=1/dP=1/dφBC=？第14页，共52页，2023年，2月20日，星期四虚设力状态举例ACBP=IP=IBC=？AφC左右=?CφA=?AφA=?M=1φA=?AφAB=?M=1BM=1第15页，共52页，2023年，2月20日，星期四静定结构在荷载作用下的位移计算位移计算的一般公式：åòåòåò++=vQuNdFdFdMqå－DiRiKCF只有荷载作用时，位移计算的一般公式：根据力学的有关知识得：åòòò+S+S=DSQPQNPNPKPdGAFFkdsEAFFdsEIMM荷载作用下的位移计算公式åòåòåò++vPQuPNdFdFdMqPDKP=上式中，、、是虚设单位荷载在结构上引起的弯矩、剪力、轴力；、、分别是荷载P在结构上引起的弯矩、剪力、轴力。第16页，共52页，2023年，2月20日，星期四例2求刚架A点的竖向位移。ABCqA’（实际位移状态）ABC（虚设力状态）aaP=1XXXXABC-1/2qa2ABqaABCCqa注意：实际位移状态与虚设力状态的内力正负号规定要一致-1/2qx2qxMPFQPFNP+-ABC1/2qa2ABABCCqa注意：实际位移状态与虚设力状态的内力正负号规定要一致1/2qx2MPFQPFNP

ABCABCBCMPQFN-X-a11+-第17页，共52页，2023年，2月20日，星期四把有关的值代到位移公式中：åòòò+S+S=DSQPQNPNPKPdGAFFkdsEAFFdsEIMM=8EI5qa4(1+8I5Aa2＋4KEI5GAa2)()将有关数据代入，可得：因此，对受弯杆件，通常略去FQFN影响DKP=8EI5qa4(1+1500＋1750)第18页，共52页，2023年，2月20日，星期四几点讨论：（只有荷载作用）åòòò+S+S=DSQPQNPNPKPdGAFFkdsEAFFdsEIMM1、梁和刚架：（受弯杆件）òS=DPKPdsEIMM2、对桁架òS=DNPNKPdsEAFF=SNPNEAFFl3、对组合结构òòS+S=DNPNPKPdsEAFFdsEIMM第19页，共52页，2023年，2月20日，星期四例3求对称桁架D点的竖向位移10KN20KN20KN20KN10KNACDEFGHYD解：(1)求支反力（2）虚设一个力状态并求出虚设状态和实际状态中各杆的内力(E=210GPaA=10-4m2)40kN40kN4×2m2mB第20页，共52页，2023年，2月20日，星期四yD=10KN20KN20KN20KN10KNACDEFGH40kN40kNACDFGHEBP=147.56060047.522.420114.12004.121SNPNEAFFl=8mm()0.50.50.50.5第21页，共52页，2023年，2月20日，星期四在荷载作用下受弯杆件（梁和刚架）的位移计算公式为：òS=DPKPdsEIMM运用上式来求解受弯杆件的位移时，需要对结构进行分段并积分，这样的计算比较麻烦，下面将介绍一种图乘法来代替上述的积分运算，从而可以达到简化计算工作的目的。第22页，共52页，2023年，2月20日，星期四图乘法对于梁和刚架òS=DPKPdsEIMM图乘法的应用条件

1、杆段的轴线为直线。2、EI为常数。3、MK、MP图形中至少有一个为直线图形。yxoyyodxdAMP(x)MK(X)xxoBAEIydxEIMM0lP==òDKP·注意：y0取自于直线图形中AEIy0·A=∑第23页，共52页，2023年，2月20日，星期四图乘法说明1、图乘法的应用条件：（1）杆段的轴线为直线、EI为常数（2)两个M图中应有一个是由直线组成（3）应取自直线图中2、若A与

在基线的同侧,A

取正值，反之，取负值；3、如图形较复杂，可分解为简单图形。0y0yy0EIyAdsEIMM0lPK==òDKP·0SS第24页，共52页，2023年，2月20日，星期四1、曲—折第25页，共52页，2023年，2月20日，星期四2、梯—梯·ω2·ω1yωMM1P=yy21yω2＋y1=2c+d3y2=32d+c·ω2·ω1yy21yωMM1P=yω22＋y1=2c+d3y2=2d+còòababcdcddx12dx1)第26页，共52页，2023年，2月20日，星期四3、变截面杆·ω2·ω1yy21I1I2I3·ω3y3EI1yωdsEIMMlPK==òDKP11

EI2yω22·EIjyω3·

jj＋＋=SEI3yω3第27页，共52页，2023年，2月20日，星期四图14-7给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。在应用抛物线图形的公式时，必须注意在顶点处的切线应与基线平行。第28页，共52页，2023年，2月20日，星期四图14-7第29页，共52页，2023年，2月20日，星期四例:设IE为常数，求YC解：作实际位移状态和虚设力状态的弯矩图注意：常见的简单图形和形心位置列于图14-7中（P204）第30页，共52页，2023年，2月20日，星期四【例14-1】试用图乘法求图14-13所示悬臂梁端点B和中点C的竖向位移和截面B的转角，在图中杆截面的为常数。第31页，共52页，2023年，2月20日，星期四.计算C端的竖向位移取图中的作为面积，再从图中取形心对应的纵距。应用图乘法便得

第32页，共52页，2023年，2月20日，星期四图14-13第33页，共52页，2023年，2月20日，星期四3.计算B端截面的转角仍取图中的图为面积

又从图中取形心对应的纵距()由于、图形均在基线同一边取正值，故转角顺时针转动。第34页，共52页，2023年，2月20日，星期四【例14-2】试用图乘法求图（a)所示简支梁在均布荷载q和跨中集中荷载P作用下中点C的竖向位移和截面B的转角,在图中杆截面的为常数。图14-14第35页，共52页，2023年，2月20日，星期四解：1、分别作出简支梁在均布荷载q和跨中集中荷载P作用下的Mp1图和Mp2图(如图14-14(b)、(c)所示)2、分别在中点C、端点B施加单位竖向荷载和单位力偶矩并做出相应的图、图(如图14-14(d)、(e)所示)3、求C点的竖向位移。分别取Mp1、Mp2作为面积并取图中形心对应的纵距进行图乘，得第36页，共52页，2023年，2月20日，星期四

4、求B点的转角。同理，分别用Mp1、Mp2作为面积并取图中形心对应的纵距进行图乘，得计算结果为负值，表明B点的实际转角和虚设单位荷载的转角相反。()

第37页，共52页，2023年，2月20日，星期四【例14-3】试用图乘法求图14-15(a)所示静定多跨梁在边跨跨中集中荷载P作用下点D的竖向位移，在图中杆截面的为常数。解：1、分别作出集中荷载P和虚设竖向单位荷载作用下的Mp图和图2、取Mp为面积并取中形心对应的纵距进行图乘，得第38页，共52页，2023年，2月20日，星期四【例14-4】试用图乘法求图14-15(a)所示静定刚架在水平集中荷载P作用下点B的水平位移，在图中杆截面的为常数。解：1、分别作出刚架在水平荷载P和虚设水平单位荷载作用下的Mp图和图2、根据图乘法各杆分别图乘然后叠加，得P第39页，共52页，2023年，2月20日，星期四计算结果为负值，表明B点的实际位移与假设单位荷载指向相反，即位移向右。第40页，共52页，2023年，2月20日，星期四例14-5试用图乘法求图(a)所示静定刚架在竖向均布荷载作用下点C、D两点的相对位移(广义位移)，在图中杆截面的为常数。解：绘出Mp图如图(b)所示，沿C、D点连线上加一对大小相等，方向相反的单位荷载，并作出刚架的图如图(c)所示。由图乘法可计算结果为正值，表明假设方向与实际方向一致，即C、D两点相互靠拢。第41页，共52页，2023年，2月20日，星期四※14.3由支座移动引起的静定杆系结构位移的计算设如图14-14所示的静定结构，其支座发生了水平位移C1，竖向位移C2和转角C3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如K点的竖向位移。图14-14第42页，共52页，2023年，2月20日，星期四小结本章主要介绍了梁和刚架两种静定杆系结构的位移计算和弹性体系的互等定理，并着重介绍了利用图乘法计算梁和刚架的位移的适用条件及有关步骤。静定杆系结构的位移计算是以虚功原理为基础，利用虚设单位荷载来求解结构的位移。鉴于单位荷载法要进行积分计算，为避免计算过程的复杂，在一定的条件下，可利用图乘法来进行求解。第43页，共52页，2023年，2月20日，星期四图乘法的适用条件是：杆段的弯曲刚度EI为常数：杆段的轴线为直线：和两个弯矩图中至少有一个为直线图形。图乘法的求解步骤是：1、在拟求的位置和位移方向虚设相应的单位力荷载；2、分别作出在实际荷载和虚设的单位力荷载作用下结构的弯矩图；3、按照图乘法的有关规则进行位移的计算。第44页，共52页，2023年，2月20日，星期四此外，本章还介绍了弹性体系的四个互等定理，即：功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力位移互等定理。其中功的互等定理是最常用的，其它的三个互等定理都可由此推导出来。第45页，共52页，2023年，2月20日，星期四习题14-1试用图乘法求图示结构中B、C点的竖向位