非线性方程求根方法

非线性方程求根方法第1页，共35页，2023年，2月20日，星期四预备知识1.Taylor公式拉格朗日余项：第2页，共35页，2023年，2月20日，星期四2.拉格朗日中值定理预备知识若f(x)在[a,b]上连续，且f(x)在(a,b)内可导，则存在x∈[a,b]，使：或第3页，共35页，2023年，2月20日，星期四设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上单调递增(递减)的充要条件是3.函数的单调性预备知识第4页，共35页，2023年，2月20日，星期四方程的一般形式：f(x)=0，满足方程的x值通常叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。

实际问题代数方程5次以上的方程无求根公式超越方程：包含超越函数，如sinx,lnx,ex近似求解第七章非线性方程求根方法第5页，共35页，2023年，2月20日，星期四求根的隔根区间，即确定根所在区间根的精确化。粗糙的近似值--->满足精度的近似值

方程求根步骤：第七章非线性方程求根方法第6页，共35页，2023年，2月20日，星期四求根的隔根区间设函数f(x)在[a,b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。函数y=f(x)与横轴(y=0)交点区间[a,b]内选择x1,x2,x3,x4……，根据f(x)在这些点上值的符号确定第七章非线性方程求根方法第7页，共35页，2023年，2月20日，星期四例1：考察方程注意到f(0)<0,f(+)>0，知f(x)至少有一个正的实根。设从x=0出发，取h=0.5为步长向右进行根的扫描，列表记录各个结点上函数值的符号。x00.51.01.5f(x)的符号－－－＋第七章非线性方程求根方法第8页，共35页，2023年，2月20日，星期四7.1方程求根的二分法二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。设函数f(x)在[a,b]内连续，严格单调，且有f(a)f(b)<0，则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一个实根。

第9页，共35页，2023年，2月20日，星期四用二分法求f(x)=0的根：先将[a,b]等分为两个小区间，用介值定理判断根属于哪个小区间，保留有根区间、舍去无根区间；把有根区间再次一分为二，进一步判断根属于哪个更小的区间，如此周而复始，不断缩小隔根区间的长度.实际中只需求出满足精度要求的根的近似值、进行有限步计算即可。第10页，共35页，2023年，2月20日，星期四第11页，共35页，2023年，2月20日，星期四误差估计（定理7.2）对于所给定的精度

ε，则可得7.1方程求根的二分法第12页，共35页，2023年，2月20日，星期四例：求方程

在区间[1,1.5]内的实根,要求计算的近似根准确到小数点后第2位.7.1方程求根的二分法用二分法，a=1,b=1.5，且f(a)<0，f(b)>0。取区间[a,b]的中点x0=1.25将区间二等分，由于f(x0)<0，即f(x0)与f(a)同号，故所求的根必在x0的右侧，这里应令a1=x0=1.25，b1=b=1.5，而得到新的有根区间（a1,b1）。对区间（a1,b1）再用中点x1=1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2，直到所求根满足精度。

第13页，共35页，2023年，2月20日，星期四kakbkxkf(xk)的符号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-7.1方程求根的二分法预先估计一下二分的次数：第14页，共35页，2023年，2月20日，星期四基本思想：逐次逼近粗糙的初值校正后的近似值迭代公式END满足精度不满足精度7.2简单迭代法第15页，共35页，2023年，2月20日，星期四→迭代公式7.2简单迭代法→迭代函数选取方程的某一近似根可得序列{xk}:x0,x1,x2,x3,……且当k→∞时,序列{xk}有极限x*,则x*是方程f(x)=0的根如果g(x)是连续函数迭代序列{xk}收敛，则迭代法收敛；反之，则发散第16页，共35页，2023年，2月20日，星期四用迭代法求下列方程在区间[2,4]的根。取x0=4，则收敛7.2简单迭代法第17页，共35页，2023年，2月20日，星期四取x0=4，则发散7.2简单迭代法迭代法收敛的充分条件以及迭代序列的误差估计由定理7.3表述(P98)：第18页，共35页，2023年，2月20日，星期四若迭代函数g(x)

满足两个条件对任意x[a,b]，都有a≤g(x)≤b；区间[a,b]上g’(x)存在，且|g’(x)|

≤

L<1;则有如下结论：对任意x0[a,b]，迭代格式xk+1=g(xk)产生的迭代序列都收敛于方程x=g(x)在区间[a,b]上的唯一实根x*；

定理2.1证明过程(P100-101)如下:第19页，共35页，2023年，2月20日，星期四第20页，共35页，2023年，2月20日，星期四第21页，共35页，2023年，2月20日，星期四区间[2,4]第22页，共35页，2023年，2月20日，星期四几何意义7.2简单迭代法第23页，共35页，2023年，2月20日，星期四y2=g(x)y2=g(x)第24页，共35页，2023年，2月20日，星期四7.3牛顿迭代法和割线法牛顿迭代公式第25页，共35页，2023年，2月20日，星期四局部收敛性设方程x=g(x)有根x，且在x*的某个领域S={x|x[x*-d,x*+d]}内存在一阶连续导数，则当|g’(x*)|<1时，迭代格式xk+1

=g(xk)局部收敛当|g’(x*)|>1时，迭代格式xk+1

=g(xk)发散7.3牛顿迭代法和割线法第26页，共35页，2023年，2月20日，星期四牛顿迭代法的局部收敛性7.3牛顿迭代法和割线法第27页，共35页，2023年，2月20日，星期四例

用牛顿迭代法求

（c>0）f’(x)=2x，迭代公式为7.3牛顿迭代法和割线法设f(x)=x2-c，（x>0）则

就是f(x)=0的正根。

第28页，共35页，2023年，2月20日，星期四例：用以上公式求7.3牛顿迭代法和割线法2.0000002.5000002.7500002.6250002.6875002.6562502.6406252.6484382.6445312.6464842.6455082.6459962.6457522.6456302.6456912.6457212.6457372.6457442.6457482.6457502.6457512.6457511.0000004.0000002.8750002.6548912.6457672.6457512.645751牛顿迭代法二分法3.0000002.6666672.6458332.6457512.645751第29页，共35页，2023年，2月20日，星期四几何意义第30页，共35页，2023年，2月20日，星期四x2x0x1x*牛顿迭代法x3y=f(x)第31页，共35页，2023年，2月20日，星期四7.3牛顿迭代法和割线法第32页，共35页，2023年，2月20日，星期四例：用割线法求方程x3-x-1=0在x=1.5附近的根，使绝对误差精确到10-4。7.3牛顿迭代法和割线法取初值x0=1.5，x1=1.4，得迭代格式

x2=1.33522x3=1.32541x4=1.32472x5=1.324