量子力学第七章

量子力学第七章第1页，共79页，2023年，2月20日，星期四

§7.1坐标表象与动量表象一、x表象1.状态2.力学量3.QM公式i.运动方程ii.定态方程iii.正交归一条件第2页，共79页，2023年，2月20日，星期四iv.一般解v.平均值4.基函数x表象的基函数是坐标算符的本征函数第3页，共79页，2023年，2月20日，星期四二、

p表象1.状态：几率密度2.力学量),ˆ(ˆppixF¶¶=hi.ii.同理3.QM公式i.运动方程第4页，共79页，2023年，2月20日，星期四

第5页，共79页，2023年，2月20日，星期四ii.定态方程若,可分离变量若，则iii.正交归一iv.一般解第6页，共79页，2023年，2月20日，星期四4.基函数p表象的基函数是动量算符的本征函数v.平均值第7页，共79页，2023年，2月20日，星期四例1：在p表象计算一维谐振子的定态能量和波函数。

解：求解过程略例2：在p表象中求解δ势阱的束缚定态能量和波函数，计算和，验证测不准关系。第8页，共79页，2023年，2月20日，星期四解：定态方程代入原积分方程得第9页，共79页，2023年，2月20日，星期四第10页，共79页，2023年，2月20日，星期四第11页，共79页，2023年，2月20日，星期四1.波函数2.力学量3.基函数三、表象和表象第12页，共79页，2023年，2月20日，星期四四、态矢及其表象1.状态可看成Hilbert空间中的矢量；2.选定一组基，就是选定一个表象；3.波函数是态矢在基上的投影或分量。第13页，共79页，2023年，2月20日，星期四五、力学量完全集1.力学量变量力学量的测值可作为波函数的变量2.力学量变量的个数等于自由度数3.作为波函数变量的力学量必须相互对易第14页，共79页，2023年，2月20日，星期四4.力学量完全集一组线性无关相互对易的力学量如5.守恒量完全集与好量子数包含哈密顿的完全集，称为守恒量完全集对应的量子数都是好量子数第15页，共79页，2023年，2月20日，星期四§7.2本征值分立的力学量表象除了坐标和动量表象，还有别的表象吗？有！有一个完全集，就可确定一个表象。力学量本征值取分立值的也行吗？可以，下面就讨论第16页，共79页，2023年，2月20日，星期四一、一维运动的Q表象1.力学量完全集任一力学量，其中且2.基函数设为Q3.代表力学量Q的测值为的几率第17页，共79页，2023年，2月20日，星期四4.

Q表象中态矢用列矩阵表示i.归一化条件ii.态矢的内积iii.本征态的正交归一第18页，共79页，2023年，2月20日，星期四比如：坐标算符本征值连续，基函数是δ函数，态矢也可写成列矩阵为方便，直接以“矩阵元”描述状态。iv.的本征值连续，态矢形式上仍可写为列矩阵第19页，共79页，2023年，2月20日，星期四5.Q表象中力学量的表示方法i.力学量算符在Q表象中用方阵F表示令第20页，共79页，2023年，2月20日，星期四则即ii.

Q表象中表示力学量的矩阵是厄密矩阵

b.证明a.厄密矩阵满足即第21页，共79页，2023年，2月20日，星期四iii.自身表象中力学量为对角矩阵对角元是本征值6.运动方程在Q表象中的形式i.薛定谔方程第22页，共79页，2023年，2月20日，星期四若H不显含t，ii.定态方程iii.一般解若

，则7.力学量的平均值二、三维运动的(ABC)表象完全集基函数重排态矢、力学量、公式等与Q表象中完全相同第23页，共79页，2023年，2月20日，星期四三、量子力学的两种数学形式波动力学矩阵力学状态力学量波函数列矩阵方阵算符运动方程平均值第24页，共79页，2023年，2月20日，星期四例1.在一维谐振子能量表象中写出坐标x与动量p的矩阵表示。解：重新标记基函数可见第25页，共79页，2023年，2月20日，星期四可见直接验证可得第26页，共79页，2023年，2月20日，星期四例2.测值

的所有态，采用表象，与的矩阵=?，求其本征问题。解:第27页，共79页，2023年，2月20日，星期四对角元素为零第28页，共79页，2023年，2月20日，星期四的本征问题令归一化即时第29页，共79页，2023年，2月20日，星期四即时即时同理讨论：1.验证可知：2.的本征值均是，但这并不意味着它们可同时取确定值。

第30页，共79页，2023年，2月20日，星期四例3.Q表象，基求定态解。解：解久期方程得分析：第31页，共79页，2023年，2月20日，星期四其中第32页，共79页，2023年，2月20日，星期四讨论：但却有一个共同的本征函数。若，则和有共同本征矢系。ii.若，则和没有共同本征矢系。Q表象中第33页，共79页，2023年，2月20日，星期四§7.3表象变换由于状态可看成Hilbert空间的矢量，因此选定一套基矢，就相当于确定了表示态矢量的“坐标系”——表象。不同“坐标系”间的变换就是表象变换。第34页，共79页，2023年，2月20日，星期四一、平面直角坐标系的变换第35页，共79页，2023年，2月20日，星期四将新基在老基下的列矩阵排列起来就是S矩阵可证，第36页，共79页，2023年，2月20日，星期四二、表象变换1.态矢量列矩阵的变换A表象(老表象)B表象(新表象)第37页，共79页，2023年，2月20日，星期四其中2.变换矩阵是幺正矩阵，即证明：同理可证即或第38页，共79页，2023年，2月20日，星期四新基于是3.S矩阵的计算ii.在老表象中写出所有新基的列矩阵，并按列排列

i.老基第39页，共79页，2023年，2月20日，星期四证明：证明：4.力学量方矩阵的变换5.表象变换不改变的本征值设在老表象中，新表象中第40页，共79页，2023年，2月20日，星期四例：求l=1的表象到表象变换的S矩阵，并将表象中的

的本征态矢及矩阵变换到表象。解：在表象中的本征矢第41页，共79页，2023年，2月20日，星期四表象表象的本征值和本征矢第42页，共79页，2023年，2月20日，星期四表象表象的本征值和本征矢第43页，共79页，2023年，2月20日，星期四表象表象的本征值和本征矢第44页，共79页，2023年，2月20日，星期四表象表象的矩阵的矩阵的矩阵自身表象对角矩阵第45页，共79页，2023年，2月20日，星期四例：若粒子处于具有确定值，取，0和几率均为的态，求的可能取值及其几率。解：在表象中态矢列矩阵在表象中态矢列矩阵：第46页，共79页，2023年，2月20日，星期四解法二：的可能取值是：对应的几率：直接在表象内按的本征矢展开第47页，共79页，2023年，2月20日，星期四练习：试由上题的条件，求解：在表象中态矢第48页，共79页，2023年，2月20日，星期四§7.4狄克拉符号状态是Hilbert空间的矢量，因此处理与状态有关的问题就必须在一定的表象里进行。不是。可以根据方便选择一定的表象，也可以不采用任何表象进行抽象的分析。不使用任何表象就好像不选取任何坐标系？这怎么可能？这怎么不可能？狄拉克符号就是不需表象的量子力学理论表述方法。第49页，共79页，2023年，2月20日，星期四量子力学：也有不依赖于表象的描述方法，这就是狄拉克符号。利用狄拉克符号可使理论表述和计算大为简化。一、右矢(ket)和左矢(bra)经典力学：牛顿第二定律在不同坐标系中有不同的形式，但也有不依赖坐标的形式矢量分析中：等是不依赖于坐标系的1.右矢表示Hilbert空间的一个矢量，即表示量子态，记为。相当于第50页，共79页，2023年，2月20日，星期四2.若标志某指定的态，则在括号内标上某种记号。如：i.表示用波函数描述的状态；ii.表示x坐标的本征态(本征值)；iii.表示动量的本征态(本征值)；iv.或表示能量的本征态(本征值)；v.表示的共同本征态(本征值分别为和)；4.力学量算符作用在右矢得到另一个右矢3.第51页，共79页，2023年，2月20日，星期四7.用右矢或左矢标记的只是一个抽象的态矢量，不涉及具体的表象。5.左矢表示共轭空间的一个抽象矢量，如是的共轭矢量，是的共轭矢量6.须注意，左矢只能和左矢相加，右矢只能和右矢相加，或没有意义。如只有在具体的表象中，算符才有具体的运算形式这里共轭是说左矢与右矢互为相伴，在不同具体表象中表现出不同的数学上的关系。第52页，共79页，2023年，2月20日，星期四二、内积3.正交归一性1.定义2.，与正交；，归一化；第53页，共79页，2023年，2月20日，星期四三、态在具体表象中的表示1.Q表象中右矢用列矩阵表示以为基矢——Q

表象第54页，共79页，2023年，2月20日，星期四3.基矢完备性公式2.x表象中右矢用波函数表示以为基矢——x表象i.投影算符第55页，共79页，2023年，2月20日，星期四ii.基矢完备性公式的完备性——投影算符第56页，共79页，2023年，2月20日，星期四的完备性同理的完备性第57页，共79页，2023年，2月20日，星期四4.Q表象中左矢用行矩阵表示对任意的右矢和第58页，共79页，2023年，2月20日，星期四5.x表象中左矢对应波函数的复数共轭对任意的右矢和第59页，共79页，2023年，2月20日，星期四四、算符在具体表象中的表示Q表象的基矢。设，记，则1.算符在Q表象中用方阵表示第60页，共79页，2023年，2月20日，星期四2.算符在x表象中的表示x表象的基矢。设，i.坐标算符在x表象中的表示x表象中或写成第61页，共79页，2023年，2月20日，星期四设，ii.动量算符在x表象中的表示点击见详细过程点击见详细过程第62页，共79页，2023年，2月20日，星期四p表象的基矢。设，i.动量算符在p表象中的表示3.算符在p表象中的表示p表象中或写成第63页，共79页，2023年，2月20日，星期四p表象的基矢。设，ii.坐标算符在p表象中的表示点击见详细过程点击见详细过程第64页，共79页，2023年，2月20日，星期四的计算。点击可跳过此页。第65页，共79页，2023年，2月20日，星期四的计算。点击可跳过此页。第66页，共79页，2023年，2月20日，星期四的计算。点击可跳过此页。第67页，共79页，2023年，2月20日，星期四的计算。点击可跳过此页。第68页，共79页，2023年，2月20日，星期四例1：给出x表象中基矢的完备性公式。解：本征函数的封闭性第69页，共79页，2023年，2月20日，星期四例2：将定态方程过渡到Q表象、x表象与p表象

解:(1)Q表象基矢，(2)x表象基矢，第70页，共79页，2023年，2月20日，星期四点击见