门电路和逻辑代数

门电路和逻辑代数第1页，共42页，2023年，2月20日，星期四（1）与运算

当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111表7.1(b)与逻辑的真值表

A、B全1，Y才为1。表7.1(a)串联开关电路功能表

图7.1串联开关电路7.1基本逻辑关系及其门电路

7.1.1基本逻辑关系设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态；

1－闭合，0－断开；逻辑函数：Y，对应灯的状态，

1－灯亮，0－灯灭。第2页，共42页，2023年，2月20日，星期四逻辑表达式：

Y＝A·B＝AB符号“·”读作“与”（或读作“逻辑乘”）；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如下所示，符号“&”表示与逻辑运算。第3页，共42页，2023年，2月20日，星期四（2）或运算

当决定某一事件的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系，简称或逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮ABY000011101111表7.2(b)或逻辑的真值表

A、B有1，Y就为1。表7.2(a)并联开关电路功能表

图7.2并联开关电路第4页，共42页，2023年，2月20日，星期四逻辑表达式：

Y＝A＋B符号“＋”读作“或”（或读作“逻辑加”）。实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如下所示，符号“≥1”表示或逻辑运算。第5页，共42页，2023年，2月20日，星期四（3）非运算

当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。表7.3(b)非逻辑的真值表

A与Y相反表7.3(a)开关与灯并联电路功能表

图7.3开关与灯并联电路开关A灯Y断开亮闭合灭AY0110第6页，共42页，2023年，2月20日，星期四实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如下所示。逻辑符号中用小圆圈“。”表示非运算，非门又称为“反相器”。逻辑表达式：

Y＝A符号“—”读作“非”。第7页，共42页，2023年，2月20日，星期四1.二极管与门电路

工作原理A、B为输入信号（+3V或0V）F为输出信号VCC＝+5V电路输入与输出电压的关系ABF0V0V0.7V0V3V0.7V3V0V0.7V3V3V3.7V7.1.2分立元件基本逻辑门电路

第8页，共42页，2023年，2月20日，星期四用逻辑1表示高电平（此例为≥+3V）用逻辑0表示低电平（此例为≤0.7V）ABF0V0V0.7V0V3V0.7V3V0V0.7V3V3V3.7V逻辑赋值并规定高低电平真值表ABF000010100111二极管与门的真值表A、B全1，F才为1。可见实现了与逻辑第9页，共42页，2023年，2月20日，星期四2.二极管或门电路

工作原理电路输入与输出电压的关系ABF0V0V0V0V3V2.3V3V0V2.3V3V3V2.3VA、B为输入信号（+3V或0V）F

为输出信号第10页，共42页，2023年，2月20日，星期四真值表ABF0V0V0V0V3V2.3V3V0V2.3V3V3V2.3V可见实现了或逻辑逻辑赋值并规定高低电平用逻辑1表示高电平（此例为≥+2.3V）用逻辑0表示低电平（此例为≤0V）ABF000011101111A、B有1，F就1。

二极管或门的真值表第11页，共42页，2023年，2月20日，星期四

3.非门（反相器）非门(a)电路（b）逻辑符号工作原理A为输入信号（+3.6V或0.3V）F为输出信号AF0.3V+VCC3.6V0.3V第12页，共42页，2023年，2月20日，星期四逻辑赋值并规定高低电平用逻辑1表示高电平（此例为≥+3.6V）用逻辑0表示低电平（此例为≤0.3V）真值表AF0.3V+VCC3.6V0.3VAF0110三极管非门的真值表A与F相反可见实现了非逻辑Y=A第13页，共42页，2023年，2月20日，星期四1.基本公式（1）常量之间的关系这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。

0·

0=0

0+0=0

0·

1=0

0+1=1

1·

0=0

1+0=1

1·

1=1

1+1=1

0=1

1=0请特别注意与普通代数不同之处与或7.2逻辑代数

7.2.1逻辑代数运算法则第14页，共42页，2023年，2月20日，星期四（2）常量与变量之间的关系普通代数结果如何？（3）与普通代数相似的定理交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律A·（B·C）=（A·B）·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+(BC)=(A+B)(A+C)第15页，共42页，2023年，2月20日，星期四（4）特殊的定理De·morgen定理反演律公式证明第16页，共42页，2023年，2月20日，星期四2.常用公式（吸收律）B：互补A：公因子A是AB的因子第17页，共42页，2023年，2月20日，星期四A的反函数是因子与互补变量A相与的B、C是第三项添加项第18页，共42页，2023年，2月20日，星期四常用公式（吸收律）需记忆第19页，共42页，2023年，2月20日，星期四1.逻辑函数

输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作

Y=F(A、B、C、D……)

A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；

F为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。7.2.2逻辑函数及其表示方法

第20页，共42页，2023年，2月20日，星期四

真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。

1个输入变量有0和1两种取值，

n个输入变量就有2n个不同的取值组合。例：逻辑函数Y=AB+BC+AC

逻辑函数的真值表

ABCY00000010010001111000101111011111三个输入变量，八种取值组合2.真值表ABBCAC第21页，共42页，2023年，2月20日，星期四例：控制楼梯照明灯的电路。

两个单刀双掷开关A和B分别装在楼上和楼下。无论在楼上还是在楼下都能单独控制开灯和关灯。设灯为L，L为1表示灯亮，L为0表示灯灭。对于开关A和B，用1表示开关向上扳，用0表示开关向下扳。控制楼梯照明灯的电路的真值表ABL001010100111控制楼梯照明灯的电路第22页，共42页，2023年，2月20日，星期四3.逻辑表达式按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为：①找出使输出为1的输入变量取值组合；②取值为1用原变量表示，取值为0的用反变量表示，则可写成一个乘积项；③将乘积项相加即得。ABL001010100111L=AB+ABABAB第23页，共42页，2023年，2月20日，星期四4.逻辑图用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。ABL001010100111L=AB+AB电路的逻辑图第24页，共42页，2023年，2月20日，星期四例：化简函数解：例：化简函数解：代入规则（1）并项法利用公式A+A=1或公式AB+AB=A进行化简，通过合并公因子，消去变量。或：7.3逻辑函数的化简

7.3.1公式化简法第25页，共42页，2023年，2月20日，星期四（2）吸收法利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。例：化简函数解：例：化简函数解：第26页，共42页，2023年，2月20日，星期四例1：化简函数解：例：化简函数解：（3）消去法利用公式A+AB=A＋B进行化简，消去多余项。第27页，共42页，2023年，2月20日，星期四例：化简函数解：（4）配项法在适当的项配上A+A=1进行化简。第28页，共42页，2023年，2月20日，星期四上例：化简函数解2：解1得：问题：函数Y的结果不一样，哪一个解正确呢？答案都正确!最简结果的形式是一样的，都为三个与项，每个与项都为两个变量。表达式不唯一！第29页，共42页，2023年，2月20日，星期四下面举一个综合运用的例子。解：第30页，共42页，2023年，2月20日，星期四1.最小项及最小项表达式（1）最小项具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量A、B、C的最小项。

设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。7.3.2卡诺图化简法

第31页，共42页，2023年，2月20日，星期四最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这N个变量的一个最小项。三变量最小项真值表第32页，共42页，2023年，2月20日，星期四（2）最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例：将Y=AB+BC展开成最小项表达式。解：或：第33页，共42页，2023年，2月20日，星期四2.卡诺图及其画法

（1）卡诺图及其构成原则

卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：

①N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；

②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。

逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。

几何相邻的含义：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；三是相重——对折起来后位置相重。第34页，共42页，2023年，2月20日，星期四三变量卡诺图的画法

（2）卡诺图的画法首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。①3变量的卡诺图有23个小方块；②几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。相邻相邻第35页，共42页，2023年，2月20日，星期四四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。第36页，共42页，2023年，2月20日