高一数学任意角

高一数学任意角第1页，共34页，2023年，2月20日，星期四初中角是如何定义的？定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角顶点边边【回忆往事】角的范围：[0o,360o)第2页，共34页，2023年，2月20日，星期四生活中很多实例会不在该范围：想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。这些例子不仅不在范围[0º,360º)而且有方向，有必要将角的概念推广到任意角，跳水运动员向内、向外转体两周半;经过1小时，秒针、分针各转了多少度第3页，共34页，2023年，2月20日，星期四定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置

旋转到另一个位置所成的图形叫做角1、角的概念的推广旋转开始的射线OA叫做角α的始边旋转终止的射线OB叫做角α的终边射线的端点O叫做角α的顶点．怎么旋转？第4页，共34页，2023年，2月20日，星期四

顺时针正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角

零角：射线不作旋转时形成的角任意角记法：角或可简记为

OABA顶点始边

逆时针B终边第5页，共34页，2023年，2月20日，星期四注意：1：角的正负由旋转方向决定2：角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定3：角的终边重合时角不一定相等第6页，共34页，2023年，2月20日，星期四思考下面的角度如何表示？（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？-30°900°第7页，共34页，2023年，2月20日，星期四2、象限角：1)角的顶点与坐标原点重合2)始边与X的非负半轴重合终边落在第几象限就称角是第几象限角坐标轴上的角：（轴线角）思考：终边落在坐标轴上怎么办？如果角的终边落在了坐标轴上，这个角不属于任何象限。例如：角的终边落在X轴或Y轴上。第8页，共34页，2023年，2月20日，星期四练习：1、锐角是第几象限的角？2、第一象限的角是否都是锐角？举例说明3、小于90°的角都是锐角吗？答：锐角是第一象限的角。答：第一象限的角并不都是锐角370o答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。0°

～90°的角:[0°,90°）第9页，共34页，2023年，2月20日，星期四xyo始边

终边

Ⅰ终边Ⅱ终边

Ⅲ终边Ⅳ4、判断下列角所在的象限？第10页，共34页，2023年，2月20日，星期四oxy在坐标轴上画出角-32o,328o,-392o并找出它们的共同点?它们的终边都相同.3．终边相同的角的表示

探究（一）：与α终边(射线)相同的角都可以表示成集合：{β|β=α＋K·3600，K∈Z}与α终边(直线)相同的角都可以表示成：{β|β=α＋K·1800，K∈Z}第11页，共34页，2023年，2月20日，星期四xy

o3003900-33003900=300+3600=300+1x3600-3300=300-3600=300

-1x3600300=300+0x3600与300终边相同的角的一般形式为300+K·3600，K∈Z第12页，共34页，2023年，2月20日，星期四终边在坐标轴上角的表示xyo900+K·36001800+K·360000

+K·3600或3600＋K·36002700+K·3600或-900＋K·3600第13页，共34页，2023年，2月20日，星期四思考：写出终边落在y轴上的角的集合。解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为S1={β|β=900+K∙3600,K∈Z}={β|β=900+2K∙1800,K∈Z}={β|β=900+1800的偶数倍}终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为S2={β|β=2700+K∙3600,K∈Z}={β|β=900+1800+2K∙1800,K∈Z}={β|β=900+（2K+1）1800

，K∈Z}={β|β=900+1800的奇数倍}第14页，共34页，2023年，2月20日，星期四S=S1∪S2所以终边落在ｙ轴上的角的集合为={β|β=900+1800的偶数倍}∪{β|β=900+1800的奇数倍}={β|β=900+1800的整数倍}

={β|β=900+K∙1800，K∈Z}变式练习：写出终边落在x轴上的角的集合第15页，共34页，2023年，2月20日，星期四探究（二）：终边(射线)落在象限内表示成集合：第一象限：{α|k·3600<α<900+k·3600，k∈Z}第二象限：{α|900+k·3600<α<1800+k·3600，k∈Z}第三象限：{α|1800+k·3600<α<2700+k·3600，k∈Z}第四象限：{α|2700+k·3600<α<3600+k·3600，k∈Z}第16页，共34页，2023年，2月20日，星期四注意以下四点：①k∈Z；②是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.第17页，共34页，2023年，2月20日，星期四方法介绍：已知α的象限，求α／n象限step1：把各象限n等分step2：从x轴正方向起逆时针依次标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳstep3：标号与α的象限一致的即为α／n的象限几何法例：α在第一象限，n=3时xyoⅠⅡⅡⅡⅠⅠⅢⅢⅢⅣⅣⅣα／3在第1、3、4象限第18页，共34页，2023年，2月20日，星期四代数法因为α在第一象限,即k·3600<α<900+k·3600α／3在第1、2、3象限万能方法第19页，共34页，2023年，2月20日，星期四例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角（1）-120°（2）640°（3）-950o12'解（1）-120°=-360°+240°所以与-120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角。

例题选讲第20页，共34页，2023年，2月20日，星期四（2）640°=360°+280°所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角。

（3）-950o12’=-3×360°+129o48‘所以与-950o12’角终边相同的角是129o48’角，它是第二象限角。

第21页，共34页，2023年，2月20日，星期四例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º～720º的角写出来：(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=k·360º+60º(k∈Z)},S中在－360º～720º间的角是－1×360º+60º=－280º；0×360º+60º=60º；1×360º+60º=420º．第22页，共34页，2023年，2月20日，星期四(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是0×360º－21º=－21º；1×360º－21º=339º；2×360º－21º=699º．(3)β|β=k·360º+363º14’(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是－2×360º+363º14’=－356º46’；－1×360º+363º14’=3º14’；0×360º+363º14’=363º14’．第23页，共34页，2023年，2月20日，星期四例3写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合变式练习：把下图中终边落在阴影部分的角用集合表示出来(包括边界)oxy第24页，共34页，2023年，2月20日，星期四小结：1.任意角的概念正角：射线按逆时针方向旋转形成的角负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角1)置角的顶点于原点2)始边重合于X轴的非负半轴2.象限角终边落在第几象限就是第几象限角3.终边与角ａ相同的角

＋K·3600，K∈Z4：判断一个角是第几象限角的方法第25页，共34页，2023年，2月20日，星期四动手试一试1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间[0º,90º]内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间[0º,90º]内的角不是锐角．第26页，共34页，2023年，2月20日，星期四2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)410º，(2)－420º，(3)500º，(4)－110º．答：(1)第一象限角；(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角.第27页，共34页，2023年，2月20日，星期四3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C第28页，共34页，2023年，2月20日，星期四5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角C第29页，共34页，2023年，2月20日，星期四7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)第30页，共34页，2023年，2月20日，星期四9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]范围内，终边与角的终边相同的角为______