高中人教B第二册案：4.2.1　对运算含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：4.2.1对数运算含解析4.2对数与对数函数4.2.1对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1。理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1。会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1）定义：在代数式ab＝N（a＞0且a≠1)，N∈(0,＋∞)中,幂指数b称为以a为底N的对数．（2）记法：b＝__logaN__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．（3)范围：N＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1）为什么负数和零没有对数？（2）对数式logaN是不是loga与N的乘积？提示:(1)因为b＝logaN的充要条件是ab＝N,当a＞0且a≠1时，由指数函数的值域可知N＞0,故负数和零没有对数．（2）不是,logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式（1）alogaN＝N．(2）logaab＝B．知识点常用对数与自然对数(1）常用对数：log10N，简写为lgN．(2）自然对数：logeN,简写为lnN，e＝2.71828…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念┃┃典例剖析__■典例1若a2020＝b(a＞0，且a≠1），则(A）A．logab＝2020 B．logba＝2020C．log2020a＝b D．log2020b＝a（2）对数式log（a－2)（5－a）中实数a的取值范围是(C)A．（－∞,5) B．（2，5)C．(2，3）∪(3,5) D．(2，＋∞）（3）下列指数式与对数式互化不正确的一组是(B）A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与9eq\s\up4(\f（1,2）)＝3C．8－eq\s\up4(\f(1,3））＝eq\f(1，2）与log8eq\f（1,2)＝－eq\f（1,3)D．log77＝1与71＝7［分析]（1）根据对数的定义转化．（2）对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0．(3)根据对数式的定义判断．[解析］(1）若a2020＝b（a＞0，且a≠1）则logab＝2020．（2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＞0，，a－2≠1，，5－a＞0，))解得2＜a＜3或3＜a＜5．(3）由指、对数式的互化可知，A、C、D正确;对于B选项log39＝2可化为32＝9，所以B选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路（1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．┃┃对点训练__■1．(1)如果a5＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则（A)A．logab＝5 B．loga5＝bC．log5a＝b D．log5b＝a(2）若对数式log(t－2）3有意义，则实数t的取值范围是（B)A．[2，＋∞) B．（2,3）∪（3，＋∞）C．（－∞,2) D．（2，＋∞）［解析](1）如果a5＝b（a＞0，且a≠1，b＞0）则化为对数式为logab＝5．（2）由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（t－2＞0,t－2≠1）)，解得t＞2且t≠3．所以t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞）题型利用指数式与对数式关系求值角度1利用指数式与对数式的互化求值┃┃典例剖析__■典例2求下列各式的值：（1）log381;(2)log4eq\f（1，16)；(3)logeq\s\do8(\f(1,2))8；（4）lg0.1．［解析］（1）因为34＝81,所以log381＝4．(2)因为4－2＝eq\f(1,16)，所以log4eq\f(1,16)＝－2．(3）因为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)））－3＝8，所以logeq\s\do8（\f（1，2）)8＝－3．（4）因为10－1＝0。1，所以lg0.1＝－1．角度2两个特殊对数值的应用典例3已知log2［log3(log4x)]＝log3［log4（log2y)]＝0,求x＋y的值．［解析]因为log2[log3(log4x）]＝0,所以log3(log4x)＝1,所以log4x＝3，所以x＝43＝64，同理求得y＝16,所以x＋y＝80．规律方法:对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0．2．使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．┃┃对点训练__■2．（1）log5［log3（log2x)］＝0，则x－eq\s\up4（\f（1，2））等于(C)A．eq\f（\r(3），6) B．eq\f(\r(3),9）C．eq\f（\r（2),4） D．eq\f(2,3)（2）log3eq\f(1，27）＝__－3__;log5625＝__4__．[解析］（1)因为log5［log3（log2x)］＝0，所以log3（log2x)＝1,所以log2x＝3,所以x＝23＝8,所以x－eq\s\up4(\f（1，2）)＝8－eq\s\up4（\f(1,2))＝eq\f(1，\r（8))＝eq\f(\r（2)，4）．(2)因为3－3＝eq\f（1,27），所以log3eq\f（1,27)＝－3；因为54＝625，所以log5625＝4．题型对数恒等式的应用┃┃典例剖析__■典例4计算:(1)71－log75；(2)4eq\s\up4(\f(1，2）)(log29－log25）；（3)alogab·logbc（a、b均为不等于1的正数，c＞0）．［解析]（1）原式＝eq\f（7,7log75)＝eq\f(7，5）．(2）原式＝2（log29－log25）＝eq\f（2log29,2log25）＝eq\f(9,5)．(3)原式＝（alogab）logbc＝blogbc＝C．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：（1)它们是同底的；（2）指数中含有对数形式：（3）其值为对数的真数．┃┃对点训练__■3．求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋（eq\f（1,9）)log34的值．[解析]原式＝3·3log36－24·2log23＋（10lg3)3＋（3log34）－2＝3×6－16×3＋33＋4－2＝18－48＋27＋eq\f（1,16)＝－eq\f(47，16)．易错警示┃┃典例剖析__■典例5求满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值．［错解]∵log（x＋3)(x2＋3x）＝1，∴x2＋3x＝x＋3,即x2＋2x－3＝0,解得x＝－3或x＝1.故满足等式log（x＋3）（x2＋3x）＝1中x的值为－3和1．［辨析]误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数,且底数不能等于1．［正解］由对数性质，得eq\b\lc\｛\rc\（\