高中人教B第二册案：4.2.3第2课时　对函的性质与图像的应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：4.2.3第2课时对数函数的性质与图像的应用含解析NNN第2课时对数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1。进一步理解对数函数的图像和性质．2．能运用对数函数的图像和性质解决相关问题．通过本节课的学习，理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题，提升数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点y＝logaf(x）型函数性质的研究（1)定义域：由f(x)＞0解得x的取值范围,即为函数的定义域．（2）值域：在函数y＝logaf（x）的定义域中确定t＝f(x）的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．(3)单调性：在定义域内考虑t＝f（x）与y＝logat的单调性，根据__同增异减__法则判定(或运用单调性定义判定)．（4）奇偶性:根据奇偶函数的定义判定．（5）最值：在f(x)＞0的条件下，确定t＝f（x）的值域,再根据a确定函数y＝logat的单调性,最后确定最值．知识点logaf(x）＜logag(x)型不等式的解法(1)讨论a与1的关系，确定单调性．（2)转化为f(x)与g(x）的不等关系求解，且注意真数大于零．关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的图像┃┃典例剖析__■典例1如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a取eq\r（3）,eq\f(4，3）,eq\f（3,5)，eq\f（1,10)，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为（A)A．eq\r（3)、eq\f（4，3）、eq\f(3,5)、eq\f（1,10) B．eq\r(3)、eq\f(4，3)、eq\f(1，10）、eq\f（3，5）C．eq\f(4，3）、eq\r（3)、eq\f(3，5)、eq\f（1,10) D．eq\f（4,3）、eq\r（3)、eq\f(1,10）、eq\f（3，5)[解析]解法一：观察在(1，＋∞）上的图像，先排C1、C2底的顺序，底都大于1,当x＞1时图像靠近x轴的底大,C1、C2对应的a分别为eq\r(3）、eq\f(4，3).然后考虑C3、C4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图像靠近x轴的底小，C3、C4对应的a分别为eq\f(3，5）、eq\f（1，10）.综合以上分析,可得C1、C2、C3、C4的a值依次为eq\r（3)、eq\f（4,3)、eq\f（3,5）、eq\f（1，10)。故选A．解法二：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1,得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小,所以C1、C2、C3、C4对应的a值分别为eq\r（3)、eq\f(4，3）、eq\f(3,5)、eq\f(1，10），故选A．规律方法：函数y＝logax（a＞0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响．观察图像，注意变化规律：（1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大,图像越靠近x轴,0＜a＜1时,a越小,图像越靠近x轴．(2)左右比较:比较图像与y＝1的交点,交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．┃┃对点训练__■1．(1)如图,若C1、C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图像，则(B）A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞1[解析]如图,作直线y＝1,则直线与C1、C2的交点的横坐标分别为a、b，易知0＜b＜a＜1．（2）函数f（x）＝loga（3x－2)＋2的图像恒过点__（1,2）__．[解析]根据题意，令3x－2＝1,解得x＝1，此时y＝0＋2＝2，所以函数f（x)的图像过定点（1，2)．题型形如y＝logaf（x)的函数的单调性┃┃典例剖析__■典例2求函数y＝logeq\s\do8（\f（1，2））（1－x2）的单调区间．[分析]求函数的单调区间,必须先求函数的定义域．［解析]要使函数有意义，应满足1－x2＞0,∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为（－1,1）．令u＝1－x2，对称轴为x＝0．∴函数u＝1－x2在(－1，0]上为增函数，在［0，1）上为减函数,又∵y＝logeq\s\do8(\f(1,2)）u为减函数．∴函数y＝logeq\s\do8（\f（1，2）)（1－x2）的单调递增区间为［0，1)，递减区间为（－1，0]．规律方法：1。求形如y＝logaf（x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f（x）＞0，先求定义域．2．求此类型函数单调区间的两种思路：（1)利用定义求解；（2）借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf（x）的单调性．┃┃对点训练__■2．（1）函数f（x）＝ln(x2－2x－8）的单调递增区间是（D)A．（－∞，－2) B．（－∞，1)C．(1，＋∞) D．（4,＋∞)［解析]由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4．令g(x)＝x2－2x－8，函数g(x）在（4，＋∞）上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减,∴函数f(x)的单调递增区间为（4，＋∞)．(2）若函数f(x)＝ln(x2－ax＋1）在区间（2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（C)A．(－∞，4] B．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(5,2）））C．eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，\f（5,2）)） D．eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4））[解析]设g（x）＝x2－ax＋1．要使f（x)＝ln（x2－ax＋1)在区间（2，＋∞）上为单调递增，则由复合函数的单调性得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(－a,2）＝\f（a，2）≤2，g2＝5－2a≥0））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a≤4，a≤\f(5，2）)），解得a≤eq\f(5，2)，即实数a的取值范围是(－∞，eq\f(5，2)］．题型形如y＝logaf(x）的函数的奇偶性┃┃典例剖析__■典例3判断函数y＝lg(eq\r(x2＋1）－x)的奇偶性．［分析]判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称．［解析］∵eq\r(x2＋1)＞x，∴eq\r(x2＋1)－x＞0恒成立，∴函数的定义域为R．f(－x）＝lg(eq\r(x2＋1)＋x)＝lgeq\f(\r（x2＋1)－x\r(x2＋1）＋x，\r（x2＋1)－x)＝lgeq\f(1,\r（x2＋1）－x)＝－lg(eq\r（x2＋1)－x)＝－f(x），即f(－x）＝－f（x）,∴函数y＝lg(eq\r(x2＋1）－x）是奇函数．规律方法：判断函数的奇偶性，必须先求函数的定义域，因为定义域关于原点对称是函数具有奇偶性所需具备的条件．若定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义判断f(x)与f(－x)的关系．┃┃对点训练__■3．已知f（x）＝logaeq\f(1＋x,1－x)（a＞0且a≠1）．（1）求f(x）的定义域；(2）判断函数f（x)的奇偶性．［解析］(1）由题意得eq\f(1＋x,1－x)＞0，∴（x＋1)(x－1)＜0，∴－1＜x＜1．∴函数f（x)的定义域为(－1,1)．(2)由(1）知函数f(x）的定义域关于原点对称．又f(－x)＝logaeq\f(1－x，1＋x)＝logaeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1＋x,1－x)）)－1＝－logaeq\f(1＋x,1－x)＝－f(x），∴函数f（x)为奇函数．题型形如y＝logaf（x)的函数的值域┃┃典例剖析__■典例4求函数f（x）＝logeq\s\do8(\f（1,2））（x2－6x＋17）的值域．［分析]利用对数函数的真数大于0及内函数的值域求解．［解析]∵x2－6x＋17＝（x－3）2＋8＞0，∴函数f（x）的定义域为R,令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，又0＜eq\f(1,2)＜1,∴y＝logeq\s\do8（\f(1，2））t在[8,＋∞）上是减函数，∴f(x)≤logeq\s\do8（\f（1，2))8＝－3,故所求函数的值域是(－∞，－3]．规律方法：对于形如y＝logaf（x）(a＞0，a≠1）的复合函数，求值域的步骤:（1）分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；（2）求logaf（x）的定义域;（3)求u的取值范围；（4)利用y＝logau的单调性求解．┃┃对点训练__■4．求函数y＝logeq\s\do8(\f(1，2））eq\r（3－2x－x2）的值域．[解析］∵3－2x－x2＞0，∴－3＜x＜1，∴函数的定义域为（－3,1)．令t＝3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4,∵－3＜x＜1，∴0＜t≤4．又0＜eq\f（1,2)＜1，∴y≥logeq\s\do8(\f（1，2)）eq\r（4）＝－1，∴所求函数的值域为［－1，＋∞）．易错警示┃┃典例剖析__■典例5已知y＝loga（2－ax)在[0,1］上是减函数（x是自变量),则a的取值范围是(B)A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2） D．［2，＋∞)[错解]选A．令u＝2－ax,因为u＝2－ax是减函数，所以a＞0．在对数函数中底数a∈(0，1)，所以0＜a＜1.故选A．［辨析］本题解答时犯了两个错误：（1)忽略真数为正这一条件；（2）对数函数的底数含有字母a，忘记了对字母分类讨论．［正解]设u＝2－ax，由y＝log