《三角恒等变换章末总结》教师版

PAGE16《三角恒等变换章末总结》教师版《三角恒等变换》章末总结08.10.10一、教学目的：对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结，对重点、热点题型进行归纳总结。二.重点、难点：公式的灵活应用三、知识分析：1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 是的半角，是的倍角等。 （3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。 （4）求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。 ②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。 ③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。 （5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。 （6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。 （7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法： ①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。3、题型归纳 （1）求值题例1.已知，，且，求。 分析：由已知条件求，应注意到角之间的关系，，可应用两角差的余弦公式求得。 解：由已知，得 又 由，得 又 由，得 点评：<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键； <2>常见角的变换：，等。 （2）化简题例2.化简：，其中。 分析：式中有单角α与半角，可用倍角公式把α化为。 解：原式 ∴原式 （3）证明题例3.求证： 分析1：从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，逐步化成左边。 证法1：右边 ∴原命题成立 分析2：由配方，得。将左边约分，达到化简的目的。 证法2：左边 ∴原命题成立 分析3：代数证明中的作差法也适用于三角证明。 证明3：左－右 ∴左＝右 ∴原式成立 （4）与向量、三角形等有关的综合题例4.平面直角坐标系内有点。 （1）求向量与的夹角θ的余弦； （2）求的最值。 解析：（1）∵ （2） 又 ，即 【模拟试题】一.选择题（每小题4分，共48分）1.的值为（） A. B. C. D.2.可化为（） A. B. C. D.3.若，且，则的值是（） A. B. C. D.4.函数的周期为T，最大值为A，则（） A. B. C. D.5.已知，则的值为（） A. B. C. D.6.已知，则（） A. B. C. D.7.设，则（） A.4 B. C. D.8.的值是（） A. B. C. D.9.在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形10.要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（） A.30° B.45° C.60° D.正弦值为的锐角11.已知向量，向量，向量，则向量与的夹角范围为（） A. B. C. D.12.已知：，则的值为（） A. B.4 C. D.1二.填空题（每小题3分，共12分）13.已知，则_____________。14.函数的最小正周期为_____________。15.已知，且满足关系式，则_____________。16.已知。若，则可化简为_____________。三.解答题（每小题10分，共40分）17.求值：18.已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合； （3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性。19.若已知，求的值。20.已知α、β为锐角，且。 求证：

[参考答案]一.选择题：1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.C二.填空题：13. 14.15. 16.三.解答题：17.解：原式 18.解： （1） （2）当 即时， 当 即时， （3）当 即时，单调递增。 当 即时，单调递减。 故的