统计学课件-时间序列分析

第11章时间序列分析第11章时间序列分析§1时间序列的描述§2时间序列的分解法§3时间序列的平滑法§4ARMA模型学习目标1、掌握时间序列的概念2、掌握时间序列描述的水平和速度指标3、掌握时间序列分解方法4、掌握长期趋势分析方法§1时间序列的描述

§1.1时间序列概述§1.2水平变动描述

§1.3速度变动描述§1.1时间序列概述一、概念1.定义：同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列.2.要素：时间和观察值二、种类表11-1国内生产总值、总人口、居民消费水平等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094时间序列的分类时间序列平均数序列绝对数序列相对数序列时期序列时点序列特点§1.2时间序列的水平分析一、发展水平、平均发展水平（1）发展水平（2）平均发展水平不同类型的时间序列有不同的计算方法。二、增长量、平均增长量（1）增长量：逐期增长量、累计增长量（2）平均增长量序时平均数的计算1.绝对数时间序列（1）时期序列（2）时点序列间隔相等、间隔不等时间序列2.相对数时间序列3.平均数时间序列绝对数时期序列平均数计算【例11.1】

根据表11.1中国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值。

时期序列绝对数时点序列平均数计算

11间隔不相等间隔不相等间隔相等绝对数时点序列平均数的计算表11-2某种股票2014年各统计时点的收盘价统计时点1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日收盘价(元)15.214.217.616.315.8【例11.2】设某种股票2014年各统计时点的收盘价如表11-2，计算该股票2014年的年平均价格。绝对数时点序列平均数计算【例11.3】

根据表11-1年末总人口数序列，计算1991～1998年间的年平均人口数。

相对数、平均数时间序列平均数一、观测值通常由两个绝对数相比而成二、平均发展水平先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母bi

的平均数，再进行对比。基本公式为相对数序列的序时平均数计算【例11.4】已知2004~2008年我国的国内生产总值及构成数据如表11-3。计算2004~2008年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重。表11-3我国国内生产总值及其构成数据年份20042005200620072008

国内生产总值(亿元)

其中∶第三产业(亿元)

比重(%)46759.414930.031.958478.117947.230.767884.620427.530.174772.424033.332.179552.826104.332.8

相对数序列的序时平均数解：第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重增长量、平均增长量一、增长量1.定义2.种类逐期增长量Δi=Yi-Yi-1

累积增长量Δi=Yi-Y0

注意：各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量二、平均增长量1.定义2.计算公式：增长量的计算【例11.5】根据表11.1国内生产总值的数据，计算1996-2007年我国国内生产总值的逐期增长量、累计增长量和平均增长量。表11.31996-2007年国内生产总值的增长单位：亿元18平均增长量的计算解：根据逐期增长量和累计增长量的公式得表11.3。我国国内生产总值的平均增长量为19平均增长量的计算§1.2时间序列的速度分析发展速度

环比发展速度、定基发展速度增长速度(率)平均发展速度平均增长速度（率）环比发展速度与定基发展速度环比发展速度：定基发展速度

3.关系：增长速度概念：增长量与基期水平之比，又称增长率，说明现象的相对增长程度种类：环比增长速度、定期增长速度计算公式为环比增长速度与定基增长速度环比增长速度报告期水平与前一时期水平之比定基增长速度报告期水平与某一固定时期水平之比发展速度与增长速度的计算表11-4第三产业国内生产总值速度计算表年份19941995199619971998国内生产总值(亿元)14930.017947.220427.524033.326104.3发展速度(%)环比定基—100120.2120.2113.8136.8117.7161.0108.6174.8增长速度(%)环比定基——20.220.213.836.817.761.08.674.8【例11.5】

根据表11-3中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度

平均发展速度、平均增长速度一、平均发展速度1、概念：观察期内各环比发展速度的平均数，说明现象在整个观察期内平均发展变化的程度2、计算方法（1）几何平均法（2）高次方程法二、平均增长速度平均发展速度与平均增长速度【例11.6】

根据表11.4中的有关数据，计算1994～1998年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率§2时间序列的分解§2.1时间序列的分解模型§2.2时间序列的分解步骤§2.3利用时间序列分解模型预测27§2.1时间序列的分解模型时间序列的变动分解长期趋势（T）在较长时期内持续上升或下降的发展态势季节变动（S）一年内重复出现的周期性波动循环变动（C）较长时间内上下起伏的周期性波动不规则变动（I）所有没有明显规律性的变动28§2.1时间序列的分解模型1.加法模型：2.乘法模型：29§2.2时间序列的分解步骤1．图形描述2．长期趋势的测定3．季节变动的测定4．循环变动的测定5．不规则变动的测定30§2.2时间序列的分解步骤【例11.6】表11.4是2000-2008年我国社会消费品零售总额月度时间序列。选择恰当的分解模型将该时间序列分解，并分别测算各个变动。表11.42000-2008年我国社会消费品零售额月度数据

单位：亿元31§2.2时间序列的分解步骤1．图形描述32图11.2社会消费品零售额月度时序图§2.2时间序列的分解步骤2．长期趋势的测定（1）移动平均法（2）线性模型法图11.3零售总额长期趋势图移动平均法1.定义：将一定时间间隔内的观测值平均数作为趋势值或预测值的方法。具有拟合趋势和预测功能。2.计算：移动平均间隔长度K：周期（季度4、月份12）K为奇数时，一次移动平均K为偶数时，二次移动平均移动平均法计算表11-61981～1998年我国汽车产量数据年份产量(万辆)年份产量(万辆)19811982198319841985198619871988198917.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3519901991199219931994199519961997199851.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.00【例11.7】已知1981～1998年我汽车产量数据如表11-6，分别计算三年和五年移动平均趋势值，作图与原序列比较。

移动平均法年份产量(万辆)三项移动平均数五项移动平均数198117.56198219.63198323.98198431.64198543.72198636.98198747.18198864.47198958.35199051.40

199171.421992106.671993129.851994136.691995145.271996147.521997158.251998163.0020.3925.0827.3133.1131.1937.4536.7042.6344.8049.5450.1456.6751.6858.0758.5660.3970.4676.5083.54102.6599.21124.40117.98137.27133.20143.16143.52150.35150.15156.26线性模型法现象的发展按线性趋势变化时，可用线性模型表示线性模型的形式为

—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量线性模型法1、趋势方程未知常数

a、b

按最小二乘法求回归分析最小二乘法原理实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线2、根据趋势线计算出各个时期的趋势值线性模型法1.根据最小二乘法求解a和b

的标准方程为时间序列中间时期为原点时t=0，上式化简为解得：解得：线性模型法表11-8汽车产量直线趋势计算表年份时间t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例11.8】利用表11-6中的数据，根据最小二乘法（简捷法）确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，预测2000年的汽车产量。线性模型法

根据上表得a和b汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为年份产量(万辆)时间TTYT*T198117.56-17-298.52289198219.63-15.00-294.45225198323.98-13.00-311.74169198431.64-11.00-348.04121198543.72-9.00-393.4881198636.98-7.00-258.8649198747.18-5.00-235.925198864.47-3.00-193.419198958.35-1.00-58.351199051.401.0051.41199171.423.00214.2691992106.675.00533.35251993129.857.00908.95491994136.699.001230.21811995145.2711.001597.971211996147.5213.001917.761691997158.2515.002373.752251998163.0017.002771289合计1453.580.009205.91938最小二乘法（简捷法）构建趋势直线方程§2.2时间序列的分解步骤3．季节变动的测定季节指数可以描述现象由于受季节因素的影响偏离其总平均水平的相对程度。步骤如下：1.对多年同季数据进行简单平均，以消除不规则运动。2.将同季平均数与总平均数作比，得到季节指数。43按月(季)平均法表11-151978～1983年各季度农业生产资料零售额年份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度19781979198019811982198362.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3【例11.9】

我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如表11.15。用按季平均法计算各季的季节指数.按月(季)平均法表11-16农业生产资料零售额季节指数计算表年份销售额(亿元)一季度二季度三季度四季度全年合计19781979198019811982198362.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3293.7324.0346.0347.5388.5423.3合计456.5644.3582.4439.82123.0同季平均76.08107.3897.0773.3088.46季节指数(%)86.01121.39109.7382.86100.00§2.2时间序列的分解步骤46图11.4零售总额季节指数图§2.2时间序列的分解步骤4．循环变动的测定1.测定方法：剩余法2.具体步骤：先消去季节变动，求得无季节性资料再消去趋势值，求得循环及不规则波动相对数将结果进行移动平均（MA），以消除不规则波动，即得循环波动值

47循环变动测算9510010511011519781981循环波动%

图11-9生产资料销售额的循环波动（年份）§2.2时间序列的分解步骤5．不规则变动的测定不规则变动没有规律可循，因此也采用剩余法得到。将序列SI除以S，即得到不规则变动I49月度时间t零售总额Y移动平均数TC长期趋势T循环变动C(%)Y/TC=SI(%)季节指数S(%)不规则变动I(%)2000/712597.02861.492615.55109.3690.7692.3898.252000/822636.02886.992648.76108.9991.3192.5198.692000/932854.02907.452681.37108.4398.1699.4798.682000/1043029.02928.202714.38107.88103.44104.5398.962000/1153108.02950.772747.79107.39105.33103.71101.572000/1263680.02973.952781.62106.91123.74117.10105.672001/173332.82995.532815.86106.38111.26110.15101.012001/283047.13016.692850.53105.83101.01100.89100.122001/392876.13039.042885.62105.3294.6495.3399.272001/4102820.93064.092921.14104.8992.0692.8499.162001/5112929.63090.422957.10104.5194.8096.1898.562001/6122908.73118.212993.51104.1793.2894.9198.29§2.3利用分解模型进行预测具体步骤1.分析各历史观测值和建模2.分项预测未来值3.合成时间序列的预测值51§2.3利用分解模型展开预测【例11.10】在例11.9所建变动模型的基础上，对2009年1月至6月我国社会消费品零售总额进行预测。解：按照上述步骤，可以得到2009年上半年我国社会消费品零售月度总额的预测值，如表11.8。以2009年1月为例，其长期趋势为：52

（亿元）§2.3利用分解模型展开预测通过循环变动C的图形可以判断，该序列循环变动的周期较长，相对长期趋势的波动较和缓，图11.5所示。故直接选取2008年6月的循环变动值作为预测值：53图11.5零售总额的循环变动图§2.3利用分解模型展开预测已知该时间序列1月季节指数为110.15%，根据乘法预测模型我们可以得到2009年1月我国社会消费品月度零售总额的预测值：最终得到2009年上半年6个月的预测值见表11.8。表11.82009年上半年社会消费品月度零售总额预测值54（亿元）§2.3利用分解模型展开预测将2009年上半年社会消费品月度零售总额预测值与2000-2008年实际值联合绘图，可以看出预测值很好地沿承了原序列的变动特征。55图11.6零售总额的原序列与预测值图§3时间序列的平滑法平滑法基本思想通过加权平均等方式消除随机波动的影响，使序列平滑化，从而展示其长期的发展趋势。平滑技术分类移动平均指数平滑平滑法运用：描述序列趋势56§3时间序列的平滑法§3.1预测方法的评估§3.2移动平均法§3.3指数平滑法57§3.1预测方法的评估衡量预测误差常用指标（1）平均绝对误差

（2）均方误差（3）平均绝对百分比误差58§3.2移动平均法1．简单移动平均法第

期的预测值：第

期的预测值：59§3.2移动平均法【例11.11】根据表11.8中汽车产量数据，分别取k=3和k=5，采用简单移动平均法计算各年汽车产量的预测值，并对预测模型进行比较.解：移动平均的结果如表11.9。以3项移动平均为例，表11.9中1984年的预测值就是1981年、1982年、1983年3年的平均值；依次类推，1998年的预测值就是1995年、1996年、1997年3年的平均值。3项移动平均的均方误差是1993年至2007年误差平方的平均值。60年份产量三项移动

五项移动平均数198117.56198219.63198323.98198431.6420.39198543.7225.08198636.9833.1127.31198747.1837.4531.19198864.4742.6336.70198958.3549.5444.80199051.456.6750.14199171.4258.0751.681992106.6760.3958.561993129.8576.5070.461994136.69102.6583.541995145.27124.4099.211996147.52137.27117.981997158.25143.16133.201998163150.35143.52§3.3指数平滑法指数平滑法种类1.一次指数平滑2.二