集合的基本运算

集合的基本运算第1页，共54页，2023年，2月20日，星期四第2页，共54页，2023年，2月20日，星期四第3页，共54页，2023年，2月20日，星期四本节重点：交集与并集的概念．本节难点：弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别．第4页，共54页，2023年，2月20日，星期四1．一般地，由所有属于集合A

属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的并集，记作

，用描述法表示为

．(1)设A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝

．(2)设A＝{1,2}，B＝{a,3}，若A∪B＝{1,2,3}，则a＝

；若A∪B＝{1,2,3,4}，则a＝

.(3)设A＝{x|x<1}，B＝{x|x<－1}，则A∪B＝

．(4)设A＝{x|x<－1}，B＝{x|x>－2}，则A∪B＝

.(5)设A＝{x|x<－1}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝

．或A∪B{x|x∈A或x∈B}{1,2,3,4}1或24{x|x<1}R{x|x<－1或x>1}第5页，共54页，2023年，2月20日，星期四2．一般地，由所有属于集合A

属于集合B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集，记作

，用描述法表示为

．用Venn图表示为

.(1)设A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩B＝

．(2)设A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，则A∩B＝

.且A∩B{x|x∈A且x∈B}{2}∅第6页，共54页，2023年，2月20日，星期四D

第7页，共54页，2023年，2月20日，星期四(4)设A＝{1,2}，B＝{a,3}，若A∩B＝{1}，则a＝

；若A∩B≠∅，则a＝

.(5)设A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<－2}，则A∩B＝

.3．(1)A∩A＝

，A∪A＝

，A∩∅＝

，A∪∅＝

.A∩B

B∩A，A∪B

B∪A.(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)．A∩B⊆A，A∩B⊆B，A⊆A∪B，B⊆A∪B.11或2∅AA∅A＝＝第8页，共54页，2023年，2月20日，星期四(2)A⊆B⇔A∩B＝

⇔A∪B＝

.A∩B＝A∪B⇔A

B，A∪B＝∅⇔A＝B＝

.*(3)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．4．设A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝

，A∪B＝

．5．(2010·湖南文，9)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.[解析]

由题意知m＝3.[答案]

3AB＝∅{5,8}{3,4,5,6,7,8}第9页，共54页，2023年，2月20日，星期四6．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．[答案]

a≤1[解析]

将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．要使A∪B＝R，则a≤1.第10页，共54页，2023年，2月20日，星期四7．你会求解下列问题吗？集合A＝{x|－2≤x<1}．(1)若B＝{x|x>m}，A⊆B，则m的取值范围是

.(2)若B＝{x|x<m}，A⊆B，则m的取值范围是

.(3)若B＝{x|x<m－5且x≥2m－1}，A∩B＝∅，则m的取值范围是

.m<－2m≥11≤m≤3第11页，共54页，2023年，2月20日，星期四第12页，共54页，2023年，2月20日，星期四1．正确理解和区分集合的“交”、“并”运算：①A与B的交集是由A与B的所有的公共元素组成的集合．当两个集合A与B无公共元素时，A∩B＝∅.A与B的并集是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，当两个集合有公共元素时，公共元素在A∪B中只能出现一次．②要注意“且”与“或”的含义，注意“且”与“或”和“交”与“并”分别对应．第13页，共54页，2023年，2月20日，星期四2．利用数形结合的思想，将满足条件的集合用韦恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．3．集合元素的互异性在解决集合的相等关系、子集关系、交集等时常遇到，忽视它很多时候会造成结果失误，解题时要多留意．解决集合问题时，常常要分类讨论，要注意划分标准的掌握，做到不重、不漏，注意检验．第14页，共54页，2023年，2月20日，星期四第15页，共54页，2023年，2月20日，星期四若已知x∈A∪B，那么它包含三种情形：①x∈A且x∉B；②x∈B且x∉A；③x∈A且x∈B，这在解决与并集有关问题时应引起注意．第16页，共54页，2023年，2月20日，星期四[例1]

(1)若A＝{－1,1,3}，B＝{－2,1,2,3}，求A∪B.(2)设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B.[分析]

(1)由并集的定义求解．(2)结合数轴求解．[解析]

(1)A∪B＝{－2，－1,1,2,3}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．第17页，共54页，2023年，2月20日，星期四(1)已知集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－x－12＝0}，则A∪B＝________.(2)设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∪B＝________.[答案]

(1){－3,4，－4}第18页，共54页，2023年，2月20日，星期四(2){x|x是斜三角形}[解析]

(1)∵A＝{4，－4}，B＝{－3,4}，∴A∪B＝{－3,4，－4}(2)A∪B＝{x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}＝{x|x是斜三角形}.第19页，共54页，2023年，2月20日，星期四在求A∩B时，只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可．反之，若已知a∈A∩B，那么就可以断定a∈A且a∈B；若A∩B＝∅，说明集合A与B没有公共元素．第20页，共54页，2023年，2月20日，星期四[例2]设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝(

)A．{0,1}

B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]

∵M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故选B.第21页，共54页，2023年，2月20日，星期四若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于(

)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}[答案]

D[解析]

将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D.第22页，共54页，2023年，2月20日，星期四[例3]

已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.第23页，共54页，2023年，2月20日，星期四第24页，共54页，2023年，2月20日，星期四已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝________.[答案]

{x|x是等腰直角三角形}[解析]

A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}.第25页，共54页，2023年，2月20日，星期四[例4]已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x＞2}，试求A∩B和A∪B.[分析]

借助于数轴直观解题．[解析]

根据A∩B、A∪B的定义，借助图形可知．A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．第26页，共54页，2023年，2月20日，星期四 总结评述：要注意A∩B与A∪B的区别与联系，特别注意端点位置的数是否在其中．第27页，共54页，2023年，2月20日，星期四设集合A＝{x|1≤x<3}，B＝{x|x>a}．(1)若A⊆B，则a的取值范围是________；(2)若A∩B≠∅，则a的取值范围是________；(3)若A∪B＝B，则a的取值范围是________；(4)求A∩B＝A，则a的取值范围是________．[答案]

(1)a<1

(2)a<3

(3)a<1

(4)a<1第28页，共54页，2023年，2月20日，星期四[解析]

借助数轴讨论，注意端点能否取到．第29页，共54页，2023年，2月20日，星期四第30页，共54页，2023年，2月20日，星期四[例5]

已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.[分析]

9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其它公共元素．{9}＝A∩B，说明A与B的公共元素有且只有一个9.第31页，共54页，2023年，2月20日，星期四[解析]

(1)∵9∈A∩B，∴9∈A∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.检验知：a＝5或a＝－3满足题意．(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，∴a＝5或a＝±3.检验知：a＝5时，A∩B＝{－4,9}不合题意，∴a＝－3.第32页，共54页，2023年，2月20日，星期四已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝{

}，求A∪B.第33页，共54页，2023年，2月20日，星期四第34页，共54页，2023年，2月20日，星期四[例6]高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？[分析]

借助Venn图可直观地得出有限集元素的个数．用card(A)表示集合A中所含元素的个数，则计数公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－Card(A∩B)第35页，共54页，2023年，2月20日，星期四[解析]

设U＝{高一(3)班学生}，A＝{高一(3)班参加语文小组的学生}，B＝{高一(3)班参加数学小组的学生}，则A∩B＝{高一(3)班既参加语文小组又参加数学小组的学生}．有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝15＋20＋22－10＝47(人)．故高一(3)班有47名学生．第36页，共54页，2023年，2月20日，星期四50名学生报名参加A、B两项课外活动小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没报名的人数比同时报名参加A、B两组人数的三分之一多1人．求同时报名参加两组的人数．第37页，共54页，2023年，2月20日，星期四第38页，共54页，2023年，2月20日，星期四第39页，共54页，2023年，2月20日，星期四一、选择题1．若集合M＝{(x，y)|x＋y＝0}，P＝{(x，y)|x－y＝2}，则M∩P等于(

)A．(1，－1) B．{x＝1或y＝1}C．{1，－1} D．{(1，－1)}[答案]

D第40页，共54页，2023年，2月20日，星期四2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值集合为(

)A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案]

C[解析]

如图．要使A∩B＝∅，应有a<－1.第41页，共54页，2023年，2月20日，星期四3．(09·辽宁文)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝(

)A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}[答案]

A[解析]

在数轴上分别表示出集合A、B，观察得出答案．第42页，共54页，2023年，2月20日，星期四4．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(

)A．3个 B．2个C．1个 D．无穷多个第43页，共54页，2023年，2月20日，星期四[答案]

B[解析]

M＝{x|－1≤x≤3}，N为正奇数集，∴M∩N＝{1,3}．第44页，共54页，2023年，2月20日，星期四二、填空题5．A＝{x∈N*|4<x<8}，B＝{x|x2－8x＋15＝0}，则A∪B＝________.[答案]

{3,5,6,7}[解析]

解A＝{5,6,7}，B＝{3,5}，∴A∪B＝{3,5,6,7}．第45页，共54页，2023年，2月20日，星期四6．若A＝{x|a≤x≤1}，则B＝{x|x≤b}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，A∪B＝{x|x≤2}，则a＋b＝________.[答案]

0[解析]

由A∩B知a＝－2，由A∪B知b＝2，∴a＋b＝0.第46页，共54页，2023年，2月20日，星期四7．(09·湖南文)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______．[答案]

12[解析]

如图，全班同学组成集合U，喜欢篮球的组成集合A，喜欢乒乓球运动的组成集合B，则A∩B中人数为：15＋10＋8－30＝3人，∴喜欢篮球不喜欢乒乓球运动的人数为15－3＝12人．第47页，共54页，2023年，2月20日，星期四8．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，若A＝{1,2}，B＝{0,3}，则集合A*B中所有元素之和为________．[答案]

9[解析]

由A*B的定义知，A*B＝{0,3,6}，所有元素的和为9.第48页，共54页，2023年，2月20日，星期四1．已知集合M＝{直线}，N＝{圆}，则M∩N的元素个数为(

)个．A．0

B．1C．2 D．不确定A2．若集合A＝{

}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝(

)A．{x|－1≤x≤1}

B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}

D．∅C第49页，共54页，2023年，2月20日，星期四3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(

)A．0

B．1C．2

D．44．若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，则A∩B等于(

)A．{x|2<x≤3}

B．{