希尔伯特简介

希尔伯特和他的23个问题1希尔伯特简介：希尔伯特

(Hilbert,David，1862～1943)德国数学家。1884年获得哥尼斯堡大学数学专业博士学位；1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活和工作,于1930年退休。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。在数学的各个领域都作出了具有深远影响的工作。2第二次国际数学家大会1900年8月6日庞加莱宣布第二次国际数学家大会开幕。

希尔伯特应邀参加并在会上作了题为《数学问题》的重要演讲。这一演说成为数学史上一个重要的里程碑，为20世纪的数学发展掀开了光辉的第一页，为20世纪数学的发展起了巨大的推动作用。3首先他提出：历史教导我们，科学的发展有连续性。每一个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边，并为新的问题所替代。如果我们想对最近的将来数学知识的可能发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的、期望在将来能够解决的问题。希尔伯特的演说4接着他指出问题在数学发展中的重要性：某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。只要一门科学分支中充满大量问题，它就充满生命力；缺乏问题预示着独立发展的衰亡或终止。希尔伯特的演说5他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰易懂性；难而又可解决；意义深远。

同时他还分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。希尔伯特的演说6就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”：

希尔伯特的23个问题71、证明“连续统假设”即证明任一实数集或者能与自然数集建立一一对应，或者能与全体实数集建立一一对应。1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。

希尔伯特的23个问题82、研究算术公理的相容性。欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。希尔伯特的23个问题93、两个等底等高的四面体的体积相等。问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。希尔伯特的23个问题104、直线作为两点间最短距离的问题。此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。希尔伯特的23个问题11希尔伯特的23个问题126、物理学的公理化。希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。希尔伯特的23个问题137、某些数的无理性和超越性。1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。希尔伯特的23个问题148、素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。希尔伯特的23个问题159、在任意数域中证明最一般的互反定律。该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。希尔伯特的23个问题1610、丢番图方程的可解性。能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。希尔伯特的23个问题1711、系数为任意代数数的二次型。H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。12、阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。希尔伯特的23个问题1813、不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程。七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。希尔伯特的23个问题1914、证明某类完全函数系的有限性这和代数不变量问题有关，1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。希尔伯特的23个问题2015、舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。希尔伯特的23个问题2116、代数曲线和代数曲面的拓扑问题。这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。希尔伯特的23个问题2217、正定形式的平方和表示。一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。18、用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。希尔伯特的23个问题2319、正则变分问题的解一定是解析的吗？

对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。20、一般边值问题。

这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。希尔伯特的23个问题2421、具有指定单值群的线性微分方程解的存在性证明。已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。22、通过自守函数使解析函数单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。希尔伯特的23个问题2523、变分法的进一步发展。这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。希尔