2014年考研数学一真题及详细解答

PAGEPAGE62014硕士研究生入学考试数学一一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（）（A）（B）（C）（D）2．设函数具有二阶导数，，则在上（）（A）当时，（B）当时，（C）当时，（D）当时，3．设是连续函数，则（）（A）（B）（C）（D）4．若函数，则（）（A）（B）（C）（D）5．行列式等于（）（A）（B）（C）（D）6．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（）（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件7．设事件A，B想到独立，则（）（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.48．设连续型随机变量相互独立，且方差均存在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．曲面在点处的切平面方程为．10．设为周期为4的可导奇函数，且，则．11．微分方程满足的解为．12．设是柱面和平面的交线，从轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分．13．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是．14．设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限．16．（本题满分10分）设函数由方程确定，求的极值．17．（本题满分10分）设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．应该选（B）．6．【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．7．【详解】．所以，．故选择（B）．8．【详解】，，故应该选择（D）．9．【详解】曲面在点处的法向量为，所以切平面方程为，即．10．【详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．11．【详解】方程的标准形式为，这是一个齐次型方程，设，得到通解为，将初始条件代入可得特解为．12．【详解】由斯托克斯公式可知．其中取上侧，．13．【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．14．【详解】，所以，由于是的无偏估计，故，．15．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】16．【详解】解：在方程两边同时对求导一次，得到，（１）即，令及，得到函数唯一驻点．在（１）式两边同时对求导一次，得到把代入，得到，所以函数在处取得极小值．17．【详解】设，则，;，由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：其中为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为．故非齐次方程通解为．将初始条件代入，可得．所以的表达式为．18．【详解】设取下侧，记由所围立体为，则高斯公式可得在取下侧上，，所以=19．【详解】（1）证明：由，及可得，所以，由于级数收敛，所以级数也收敛，由收敛的必要条件可得．（2）证明：由于，所以由于级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数收敛．20．【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：，得到方程组同解方程组，得到的一个基础解系．显然B矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵B对应的三列分别为，，，即满足的所有矩阵为，其中为任意常数．21．【详解】证明：设，．分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：，所以A的个特征值为；而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；所以B的个特征值也为；对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且，从而可知阶矩阵与相似．22．【详解】（1）分布函数当时，；当时，；当时，；当时，．所以分布函数为（2）概率密度函数为，．23．【详解】（1）先求出总体X的概率密度函数，；（2）极大似然函数