循环数列的通项公式

循环数列的通项公式大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集：｛1,2,3,…，n｝。因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。我们先从数列-1，1，-1，1，…谈起，大家利用得较多的是(-1)〃，三 一 兀角形式还可以写成cosn兀和sin(5-n兀)的形式。这样数列1，2,1，2,313131———，—+—，———，TOC\o"1-5"\h\z22 22 221，2，…可以构造成:31 31 31—+—，———，—+—，22 22 22它的通项公式可以写成：a=—+(—1)nx— (nEN)，n2 2或者写成：a=2+_Lsin7—n兀) (nEN)，n22 2或者写成：a='+】con兀 (nEN)，n22一般地，数列a，b，a，b，a，b，……它的通项公式可以写成：11a=—(a+b)+—(b—a)cosn兀 (nEN)。n2 2如何求数列(bn｝:1，2,3，1，2,3，1，2,3，……和数列｛%｝:1，2,3,4，1，2,3,4，1，2,3,4，……的通项公式呢？

注意到1,2,3可以分解成2-1,2+0,2+1的形式，如果我们能给出-1,0,1,-1,0,1,……的通项公式便可以了，这可以理解成周期为3的数列，我们，把它与周期为n的函数y=tanx进行改造，使它们能发生联系。事实上，当x分别为土，0,|，寻，-，?，……时，tanx的值分别为-伊，0，3,-插，0，$，……这样-1，0，1,-1,0,1,……的通项公式可以写成：1^tan（的通项公式可以写成：1^tan（乃一2）兀，v31b=2+-^tan（乃-2）兀（nEN）o下面再讨论数列{cn}:1,2,3,4,1,2,3,4,……的通项公式。我们先做以下变换：扩大2倍：2,4,6,8,2,4,6,8,……减去它们的平均数5:-3,-1,L3，-3,-1, L3, 分解成两个数列：（1） -1, L-1, L -1, L-1, L （2） -2, -2,2, 2, -2, -2,2, 2,……(1的通项公式为(-1)n易得，(2的通项只要求出+1,+1,-1,-1,+1,+1,的通项便可以了，它与(2相差一个系数(-2)o以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项:

c1nc1n一2,—2,2,2,—2,—2,2,2, 的通项为:TOC\o"1-5"\h\z1 1c=—2v'2sin~(n兀一一兀) (neN),2n 2 4—3,—1,1,3,—3,—1,1,3, 的通项为：1 1 ， 、c—(—1)n一2\：2sin(n兀一兀) (neN)3n 2 4则原数列(cn｝的通项为:1 1 1 ,一一、c=-2[5+(—1)n一2^2sin(2n兀一彳兀)] (neN)o此外还可以再把-1,—1,1,1,—1,—1,1,1,……分成两个数列：—1—1,0,1,0,—1,0,1,0,和0,—1,0,1,0,—1,0,经过化简便可得它们的通项公式分别为cos穿，和cosm,经过化简便可得TOC\o"1-5"\h\zA A到同上一样的答案。下面再讨论可转化成循环数列的一类数列的通项公式。{叩:1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,……;{b}: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3,4, 4, 4,……;n1a—(n+1)1a—(n+1)；当n为偶数时，n2对于数列{气}来说，当n为奇数时，气=2，则有：1—、1—(—1)〃」1+(—1)"a=—(n+1) +—n n2 2 2 21—[2n+1—(—1)n] (neN),4

也可以采用以下变形:扩大一倍得2{a}: 2,2, 4, 4, 6, 6,……,n减去n得{2a—n} ：1,0, 1, 0, 1, 0, ,n1 /一一、易得2a—n=4[1—(—1)n] (nEN)。讨论{b}:1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,n,,,乘以3得{3妇:3,3,3,6,6,6,9,9,9,12,12,12,,,,减去(n+1得{3b—(n+1)}:1,0,—1,1,0,—1,……,n由前面讨论得它的通项公式:b‘=—b‘=—Jtann兀

n <3 3(neN)(nEN)(nEN)即有：3b—(n+1)=—Ltan竺1兀n v3 (nEN)(nEN)1 1n+1整理可得：b=-(n+1)—一=tan——兀n3 3.3 3最后讨论£}:n的通项公式。1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,的通项公式。乘以(-4)得:—4,—4,—4,—4,—8,—8,—8,—8,—12,—12,—12,—12, ,加上血+4得：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,……,它的通项公式为:1 .— 1 1c，=^[5+(—1)n—2®2sin(mn兀一^兀)]又厂=-4c+(n+4)化简整理