毕业设计(论文)-等价无穷小量的性质及推广应用

PAGEPAGE18各专业完整优秀毕业论文设计图纸等价无穷小量的性质及推广应用摘要等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到洛比达法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小量.关键词：等价无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性

目录1引言 32文献综述 32.1国内外研究现状 32.2国内外研究现状评价 32.3提出问题 33等价无穷小量的概念及其重要性质 33.1等价无穷小量的概念 43.2等价无穷小量的重要性质 53.3等价无穷小量性质的推广 54等价无穷小量的应用 94.1求函数的极限 94.2等价无穷小量在近似计算中的应用 104.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 104.4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用 115等价无穷小量的优势 125.1运用等价无穷小量求函数极限的优势 125.2等价无穷小量在求函数极限过程中的优势 146结论 156.1主要发现 156.2启示 156.3局限性 166.4努力方向 16参考文献 171引言等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.2文献综述2.1国内外研究现状现查阅到的国内外参考文献[1—15]中，作者们都不同程度地探讨了等价无穷小的概念及其重要性质和应用。文献[1]同济大学应用数学系主编.高等数学.杨文泰的文献[2]都从不同程度上讲解了等价无穷小的概念。彭康青,马振民的文献[5]，尤晓琳,吴振芬的文献[4]屈红萍,赵文燕的文献[8]都对等价无穷小求极限进行了讲解研究并得出一些方法；文献[3]王斌对用罗比塔法则求未定式极限的局限性进行了探讨。冯录祥，段丽凌,杨贺菊，王强，龚萍，张云霞，陈大桥，张高明，李权，蹇小平，殷君芳等分别在文献[6，7,9-15]中对等价无穷小进行了一定的讲解与探究，提出了一些合理的应用方法和推广实例，但存在一定的极限.2.2国内外研究现状评价在查阅到的国内外参考文献[1-15]中，对等价无穷小作了一定的研究，给出了一些建议与方法，但系统性不强，比较零散，但在数学中，等价无穷小的应用是很重要的。2.3提出问题本文在查阅到的相关参考文献的基础上，对等价无穷小的应用，提出了开门见山直接导入，并通过相关例题说明其概念，性质及其应用。3等价无穷小量的概念及其重要性质无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。

常见性质有：

设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～β′，且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ

性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：

③若α～α′,β～β′，且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′证明：∵limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β

=lim1+c1+c=1

∴α+β～α′+β′而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′

④若α～α′,β～β′，且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′此性质的证明见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。3.1等价无穷小量的概念定义若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量.如函数,sinx,1-cosx,ln(1+x)均为当x→0时的无穷小量.对于数列只有一种情形,即n→∞,如数列{}为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列.注意：1)绝对值非常小的数不是无穷小量,0是唯一的是无穷小量的数;无穷小量无限趋近于0而又不等于0.2)无穷小量是变量,与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限.如函数当x∞时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量.3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.3.1.1无穷小量的比较1)若存在正数K和L,使得在某上有,则称与为当时的同阶无穷小量.特别当则称与是同阶无穷小.2)若=1,则称与是等价无穷小量,记为～.3)若=0,则称是高阶无穷小,记作=.注:并不是任意两个无穷小均可比较,如当x→0时,与都是无穷小量,但它们不能进行阶的比较.3.2等价无穷小量的重要性质设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小,若α～α′,β～β′,且lim存在,则lim=lim（）若α～β,β～γ,则α～γ.性质①表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质②表明等价无穷小量的传递性.3.3等价无穷小量性质的推广α～α′,β～β′,且lim=c(≠-1),则α+β～α′+β′.证明因为lim=所以α+β～α′+β′.而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(≠-1)”这个条件,千篇一律认为“α～α′,β～β′,则有α+β～α′+β′在同一变化过程中,～,～,且存在,则=.证明因为===.故结论得证.若α～α′,β～β′,且lim′存在,则当≠0且lim存在,有lim=lim′.证明因为,又α～α′,β～β′,于是,,,从而=1,即～同理可证～.故命题得证.(4)设在自变量的某一变化过程中,、、及、、都是无穷小量.=1\*GB3①若～、～、且存在且,则有～.=2\*GB3②若～、～、且存在且,则有～.=3\*GB3③若～、～、～且存在且,则有.证明=1\*GB3①因为==.又因为,故上式等于1.=2\*GB3②因为==.又因为,故上式等于1.=3\*GB3③要证成立,只需证,因为～,～,所以结论得证.性质（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim=c(≠-1)”,“≠0”的使用.注意1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.4等价无穷小量的应用等价无穷小量的应用在冯录祥老师的«关于等价无穷小量代换的一个注记»、王斌老师的«用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨»、华东师范大学数学系的«数学分析»、盛祥耀老师的«高等数学»、马振明老师和吕克噗老师的«微分习题类型分析»、ShivakumarN,G.MolinaH.SCAM:ACopyDetectionMechanismforDigitalDocuments[A].The2ndInternationalConferenceinTheoryandPracticeofDigitalLibraries[C].USAAustinTexas:[s.n]以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的«数学分析讲义»中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：4.1求函数的极限在求极限中经常用到的等价无穷小量有～～～～～～-1,

～,

～,(→0).例1

求.解当→0时,～,～.原式=

=..例2

求.解原式=

=(∵～,～)

=.此题也可用洛必达法则做,但不能用性质=2\*GB3②做.所以,==0,不满足性质=2\*GB3②的条件,否则得出错误结论0.4.2等价无穷小量在近似计算中的应用如：例3解因为时,.所以.故4.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限例4求极限解由于函数的分母中～（0）,因此只需将函数分子中的与分母中的cosx和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即：,,.所以.例5由拉格朗日中值定理,对任意的＞-1,存在,使得.证明.解因,所以,根据题设所给条件有即,所以,.以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用.4.4等价无穷小量在判断级数收敛中的应用在正项级数的审敛判别法中,用得比较多的是比较审敛法的极限形式,它也是无穷小的一个应用.比较审敛法的极限形式：设和都是正项级数,①如果=l(0≤l<+∞),且级数收敛,则级数收敛.②如果=l>0或l=+∞,且级数发散,则级数发散.当①=1时,∑,∑就是等价无穷小量.由比较审敛法的极限形式知,∑与∑同敛散性,只要已知,∑中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性.例6解.,所以,收敛.例7研究的敛散性解∵=

=1而∑发散,∴发散.从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用.在很多题目中,我们需要综合运用罗比达法则、等价无穷小量的性质、泰勒级数等相关知识,才能达到简化运算的目的.5等价无穷小量的优势这一部分的内容是我在听了郑老师和郭老师的数学分析课以后,由于他们教学方法的鲜明对比而深受启发,在他们讲解数学分析其他部分的比较与分析时,我也希望自己能找到一个他们没有整理过的知识点经过自己的努力完成对它的比较与分析,因此我选择了这一部分内容.请看下面的内容：5.1运用等价无穷小量求函数极限的优势例8求解解法一（等价无穷小量替换）：,由无穷小替换定理有：=.解法二（两个重要极限）：由于,=.解法三（洛必达法则）：=.由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样.其中包括极限的运算法则、两个重要极限、洛必达法则以及无穷小替换等等.所以我们求解一道题时要进行全方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法.对上例的几种不同解法进行比较,我们很容易地发现恰当利用无穷小替换能够快速、准确地求解一些函数极限.例9

求解法一（等价无穷小量替换）：由于当x→-∞时,有,,则由无穷小替换定理有：=.解法二（洛必达法则）：=.我们知道通常碰到求解未定式极限的问题时,大家总是习惯使用洛必达法则.但是由此例看求解上述极限时,很显然利用等价无穷小量替换更简单、便捷.另外,值得注意的是对本例在使用洛必达法则计算时,如果不把写到分母上,而是继续使用洛必达法则,就会出现循环计算,将永远得不到结果.由此更能体现等价无穷小量替换的重要性.同时本例还说明不仅是在极限存在时而且在极限为无穷大时同样都可以使用等价无穷小量替换.5.2等价无穷小量在求函数极限过程中的优势如果直接使用洛比达法则,而,分母上的求导运算将越来越复杂.若对上式中分母上的无穷小量用等价无穷小量来替换,便可将上式化为较为简单的式子,虽然让使用洛比达法则,但是其运算过程就变的很简单了.请看下面的例题：例10

解原式=

（用罗比塔法则）

=（分离非零极限乘积因子并算出非零极限）=

（用罗比塔法则）

=

.出现循环,此时用罗比塔法则求不出结果.怎么办？用等价无穷小量代换.因为x～sinx～tanx(x→0)所以,原式==1而得解.例11求解原式=（∵～）.若使用洛必达法则可知原式==继续运用洛必达法则会将上式越变越复杂,难于求出最后的结果.而通过运用无穷小的等价替换,将分母替换成,又将分子分解因式后进行等价替换,从而很快地求出正确结果,由此可以看出单单运用洛必达法则有时并不能达到较好的效果,适时地运用等价替换可以简化替换.通过上面的两个例子可看到洛必达法则并不是万能的,也不一定是最佳的,它的使用具有局限性,只要充分地掌握好等价无穷小量的4条性质就不难求出正确的结论.6结论6.1主要发现极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容,等价无穷小量代换又是极限运算中的一个重要的方法.利用等价无穷小量代换计算极限,主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法,通常与洛必达法则一起使用,目的是使解题步骤简化,减少运算错误.进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换.即在等价无穷小量的代换中,可以分子分母同时进行代换,也可以只对分子（或分母）进行代换.当分子或分母为和式时,通常不能将和式中的某一项以等价无穷小量替换,而应将和式作为一个整体、一个因子进行代换,即必须是整体代换；当分子或分母为几个因子相乘积时,则可以只对其中某些因子进行等价无穷小量代换．简言之,只有因子才可以进行等价无穷小量替换.6.2启示等价无穷小量的性质掌握好了有利于我们方便快捷简单的解得答案，不一定要用洛必达法则，而且洛必达法则不是每个题都适用的，.所以我们求解一道题时要进行全方位、多角度的思考,找出最适合、最恰当的解题方法。同时让我们知道数学是一个永无止境的领域，我们只有多学习，多研究，探讨，争论，掌握更多的知识才能用快而且好的方法来解决问题。6.3局限性有关等价无穷小量优越性和等价无穷小量的性质及性质的推广应用的例题还有很多，本文探讨了重要的一些例子，对于什么时候用等价无穷小量的性质，什么时候用洛必达法则，什么时候有等价无穷小量和洛必达法则一起使用就没有一一举例了。6.4努力方向无穷小时数学分析的基础概念，贯穿于数学分析的始终。我们明白极限计算是大学基础数学的一个重要内容，尤其在进一步学习数学中，极限思想广泛应用，而等价无穷小量代换又是极限运算中的一种重要方法。但还是要具体问题具体分析，同时结合洛必达法则，选择合理恰当的方法进行求解利用等价无穷小量代换极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等级无穷小量的性质，进行计算。通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误。进行等价无穷小量的代换原则是整体代换或对其中的因子进行代换。了解数学史我们发现无穷思想的发展并不是一帆风顺的，也是充满争论的，正是在不断的争论,不断的思考中，我们的数学理论才不断的完善,严谨。参考文献[1]同济大学应用数学系主编.高等数学.第5版[M].高等教育出版社,2002,756-59.[2]杨文泰.等价无穷小量代换定理的推广[J].甘肃高师学报,2005,10（2）：11-13.[3]王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨[J].黔西南民族师专学报,2001,12(4):12-15.[4]尤晓琳,吴振芬.极限的等价无穷小替换研究[J].河南教育学院学报(自然科学版)2011(3):4-6.[5]彭康青,马振民.用等价无穷小代换求极限[J].甘肃高师学报,2009,14(5):90-91.[6]冯录祥.关于等价无穷小量代换的一个注记[J].伊犁师范学院学报,2006(3):25-26.[7]段丽凌,杨贺菊.关于等价无穷小量替换的几点推广[J].河北自学考试,2007,(06):20-22.[8]屈红萍,赵文燕.等价无穷小代换求极限的方法推广[J].保山学院学报,2011(02):54-57.[9]王强.无穷小量的阶[J].湘南学院学报,2013,34(3):71-72.[10]龚萍.等价无穷小的性质及其运用推广[J].河北理工大学学报(自然科学版),2009,31(03):102-105.[11]张云霞.\o"数学建模与高等数学教学"高等数学教学[J].山西财政税务专科学校学报,2001,(04):15-19.[12]陈大桥.等价无穷小代换在求极限中的常见应用及推广[J].成都师范学报,2014,30(5):117-119[13]张高明，李权.等价无穷小的妙用举例河套学院学报[J].2014,11(1):88-91.[14]蹇小平.极限求解中等价无穷小量替换条件的推广[J].湖北民族学院学报(自然科学版)2011,29(3):254-257.[15]殷君芳,用等价无穷小代换求极限的误区及一点补充[J].宜春学院学报,2011,33(4):25-26.基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究HYPERLINK"/detai