2023届高三数学一轮阶段性测试题11算法框图、复数、推理与证明（含解析）新人教A版

PAGE1-阶段性测试题十一(算法框图、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分1５０分。考试时间1２0分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共6０分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.(2015·豫南九校联考）复数eｑ\ｆ(３－i,2+i）的实部与虚部之和为(）A．0ﻩB．1Ｃ.2 D．３［答案]A[解析］∵eｑ\f(3-i,2＋i)＝eｑ\f(3-i2-i,2＋ｉ2-i）=eｑ＼f(５－５i,5)=1-i，∴实部为１,虚部为-1,和为0,选A.2．（文)（2０15·东北育才学校一模)某流程图如图所示,现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（)Ａ．f(ｘ）＝eq\ｆ(｜x|,x）ﻩB.f(x）=ln(eq\ｒ(x２＋1）－x)C．ｆ(x)＝eｑ\ｆ(ｅｘ＋e-x,ex－e-x) D.f（x)=eq\f(＼r(1－ｘ2）,｜x+3|+|4-x|）［答案]B[解析]程序框图运行后输出的函数f(x)是有零点的奇函数，f(ｘ)=eq\ｆ（｜x|,x)是奇函数，但无零点；B中函数是奇函数、且有零点ｘ＝0;C中函数是奇函数，但无零点;D中函数f(x)＝eｑ\f(\ｒ(1-ｘ2)，7)为偶函数．(理)(２０1４·长春市一调）定义某种运算Ｓ=a⊗ｂ，运算原理如图所示，则式子［(2ｔaｎeq\f(5π，４))⊗lne]-[lg10０⊗(ｅq\ｆ(１，3)）－1]的值为(）A．-3 B．-4Ｃ.－8 D.０[答案］Ｄ［解析］由程序框图知,S＝a⊗ｂ=eｑ\b\ｌc＼{\rc\(\a＼vs4＼al\cｏ1(ａb+1，a≥b，,ab－1，a<b，))∵2taneq\f(5π,４)＝2,lｎｅ＝1，2⊗１=２×（１＋1)=4,ｌg1０0＝２，(eq＼f(1，3）)－1=3,2⊗3＝２×(3－1）＝4,∴［（２taneq\f(５π,４))⊗lne]-［lg100⊗(eq＼f（1,3))-1]=4－4＝0,故选D．3．(201５·赣州市博雅文化学校月考)在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若内角A、Ｂ、C依次成等差数列,且不等式-x2+6x－8>０的解集为{x｜a<x<ｃ}，则ｂ等于()A.eq\r(3)ﻩB．４C．3eq\r（３) D.2ｅｑ＼r(３)[答案]D[解析]∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，∵不等式-x２+6x-8>0的解集为{x｜２<x<4}，∴a=2,c＝４,故b2=a2+c2-2aｃcｏｓ60°=4+16-2×2×4×eq＼f(1,2）＝１２，∴b=2ｅｑ＼ｒ(3).４．(文)(２0１4·江西临川十中期中）若(m2－3m－4)+（m２-５ｍ-6)i是纯虚数,则实数ｍ的值为()A.-1 B.４Ｃ.-1或4ﻩD.不存在[答案]B[解析]由条件知,eｑ\b\lc＼{\rｃ＼(\ａ\vs4\ａｌ＼ｃo1(m2－3m－４=0，,m2-5m－６≠０，))∴eq\b＼lｃ\{\rc＼(\ａ\vｓ4\al\co1(ｍ＝－1或４,,m≠－1或m≠6,))∴m=4.（理)(20１5·山东师大附中模拟）已知ｉ是虚数单位，若复数（１＋ａｉ)（２+i)是纯虚数,则实数a等于()A．２ B.eq＼f(1,2)Ｃ.-eq\f(１,２)ﻩD.-２[答案］A[解析]利用复数的运算法则化简复数(1＋ａi)(2+i)＝2－a＋(1+２a)i，由纯虚数的定义知,eq\ｂ\ｌc\｛\rc\(\a\ｖs４\aｌ＼co１（2-ａ＝0，1+2a≠0)）,解得a=2,故应选A.5．（文）(2015·新乡、许昌、平顶山调研)如图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是()A.eq＼f(１,2)ﻩB．eq\f(3，4)C．ｅq\f(２,3) D.1[答案]C［解析]程序运行过程依次为:ｉ＝１,m＝0,n＝0,ｉ＜3成立→i=1＋1=２,m=0＋1=1，ｎ=0＋eｑ\f(1,1×2）＝eｑ＼f(1，2)，i＜3成立→i＝2+1=3,m＝1＋１＝２,n＝eq\f(１，2)+eq＼f（1,2×３)＝eq\ｆ（2,3),i＜３不成立,输出n的值eq\f(2,3)后结束．（理）(2０１5·豫南九校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的Ｎ是195，则输出的P=（)Ａ.11 B．１2Ｃ．13 D.１4［答案］D[解析]程序运行过程依次为:输入Ｎ=1９5,K=0,P=0,P＝０＋eｑ\f（1,＼r（０）+\r(0+1)）=1,Ｋ<N成立→K＝０＋1＝1，P＝1＋eｑ\ｆ(１,\ｒ(１)+\ｒ（1＋1))=１＋(eｑ\r(2)－1),K<Ｎ成立→K＝1+1=2,P=１+(eq\r(2）-1）+eq＼ｆ(1,\ｒ（2)＋\r（2+1))=1＋(eq\ｒ(2)-1）+(ｅq＼ｒ(3）－ｅq\r(2)）,…，K=194，P＝1+(eq\ｒ（2)-1)+…+(eｑ\r(195)-ｅq\r(194)),K＜N成立,K=19４＋１=1９5,P=1+(eq\r(2)－1)+…+(eq\ｒ（１96)－ｅｑ\r（195))，此时K<N不成立，输出P的值，∴Ｐ＝eq\r（1９６)＝1４.６．(2015·重庆南开中学月考)在复平面内，复数z＝ｅq\ｆ(ｉ,1＋ｉ)(其中ｉ是虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C．第三象限 D．第四象限［答案］A［解析］∵复数eq\f（i,1+i)=eq\f(i1－i，1＋ｉ1-i)=eq\f(1＋i,2)=eq\ｆ(1,2)＋ｅq\f(1,2）i,∴复数对应点的坐标是(eq\f(1,２),eq＼f(１,2))，∴复数ｅq\f(i，1＋i)在复平面内对应的点位于第一象限．7.（2014·吉林延边州质检)a、b、c表示不同直线,M表示平面，给出四个命题:①若a∥M,b∥Ｍ，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若ｂ⊂M,a∥ｂ,则a∥Ｍ；③a⊥ｃ,b⊥c，则ａ∥ｂ;④a⊥M,b⊥Ｍ,则a∥b，其中正确命题为()Ａ.①④ B．②③C.③④ D.①②［答案]A[解析]∵a∥M,b∥M，∴a，b异面或a,ｂ都在与平面Ｍ平行的平面内,此时,ａ与b相交或a∥b，故①正确；b⊂M，a∥b时，可以有ａ⊂M,也可以有a∥Ｍ，故②错；在正方体ＡBＣＤ－Ａ１B1C１Ｄ1中,AA1⊥ＡB,ＡＡ1⊥A1D１，但AB与A１Ｄ１不平行，故③错;垂直于同一平面的两直线平行,∴④正确，故选A.8．(文)(2０14·山西省太原五中月考)在△ABC中，若eq\o（ＡB，\s\uｐ6（→))2＝eｑ\o(ＡB，＼s\up６(→)）·eq\o（AＣ，＼s\up6(→))+eq\o(BA，\s\ｕp6（→))·eq\o(BC,\s\ｕp6(→）)+eｑ\o(CA,＼s\up6(→)）·eq＼o（CB,\ｓ\up６(→)),则△ABC是（)A.等边三角形 Ｂ．锐角三角形C．钝角三角形ﻩＤ．直角三角形[答案]D[解析]∵eq\o（ＡB，\ｓ\up6（→）)2＝ｅq\o(AＢ,＼s\ｕp６(→))·eq\ｏ（AC,\s\up６(→)）-ｅｑ\ｏ(AB,\ｓ＼up６(→))·(ｅq\o（AC,\ｓ\up6(→））-eｑ\o(AB，\s\up６(→)）)＋ｅq\o(AC,\s\up６(→))·eq\o(BＣ,\ｓ\ｕｐ6（→)）=eq＼o(AB,\s\up6(→)）２+eｑ\o(ＡC,＼ｓ\uｐ6(→))·eｑ\o(BC,\s\ｕｐ６（→))，∴eq\o（AC,\s\up6(→))·eｑ\ｏ(BC，\s\ｕp6(→)）=0,∴AC⊥BＣ，∴选D．(理)（2014·杭州七校联考)已知数列{an｝是等差数列，且ａ1∈[0,１]，a2∈[1,２］,a３∈[2,3］,则ａ４的取值范围是()Ａ．［3，4］ﻩB．[eｑ\f（８,3）,eｑ\f（１3，３）］C.[ｅｑ\f(５,2)，ｅq\ｆ(9,2)］ﻩD.[２,5］［答案］C[解析]设a１=x,d＝ｙ，则eq\b＼lc\{\rｃ＼(＼a\vs4\al\ｃo1(0≤x≤1,，1≤x＋y≤2，，2≤x＋2y≤3.))作出不等式组表示的平面区域，令z＝a4=a1＋３d=x＋３y,作直线ｌ0：x+3y＝0,平移l0可知当直线x+３ｙ=z经过可行域内的点A(0，eq\ｆ（３,2))时,zmaｘ＝eq\f（9,2)，经过点Ｂ(1,eq\f(1,2)）时,ｚmiｎ=eｑ\f（５,2),∴选C．9．（2０15·洛阳市期中)执行下边的程序框图，若输出的S是１27,则判断框内应该是()A.n≤5ﻩB.n≤6Ｃ.n≤７ﻩD．n≤8[答案]B［解析]由框图知该程序是求数列{2ｎ-1}的前n＋1项和，由于输出Ｓ＝1２７，由1２7＝1+２＋２２+…+2n＝eq＼f(１×2n+1-1，２-1）＝２n+1－1,∴n＝６,故最后加上的一项为26,此时n=7,故条件应为ｎ≤６.10.(2014·武汉市调研)设a，b∈R,则“ａeｑ\ｒ(1－b2)+bｅｑ\r(1－a２)=1”是“a2＋ｂ2＝1”的（)Ａ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A［解析］若aｅｑ\r（1-ｂ2)+beq\r(１－a２）＝１,则aeq\r(１-b2）＝1－beq\ｒ(１－a２)，两边平方得，a2(1－b2)＝1＋b2(1－a２)-2beq＼r(1-ａ2),∴a２－b2－1＝-２beq\r(1－a２),两边平方得，a4＋b４－2a2＋2b2－2ａ２b２＋1＝４b2-4ａ2b2,∴ａ4＋ｂ4-2a2－2ｂ2+2ａ２b2+1＝０,∴（a2＋ｂ2-１)2=０,∴a2＋ｂ2＝１;若a2＋b2＝1，则aeq＼r(1-ｂ２)＋beq＼r（1-a２）＝ａ·|ａ｜＋b·|b|＝１不一定成立，故选A．11．(文)（２015·广东揭阳一中期中)定义一种新运算:ａ⊗b＝eq＼b＼lc＼{\rc＼(\a\vs４＼al\co1(b,a≥b,a,a<b)),已知函数f(x)＝(1＋eq＼f(4,x）)⊗log2ｘ，若函数g（ｘ)=f(x）-ｋ恰有两个零点，则k的取值范围为（)A．（１,2]ﻩB.(1,2)C．(０,２) Ｄ.(0,１)［答案]B[解析］由a⊗b的定义知,ａ⊗b取a与ｂ中的较小值，当ｘ=4时，y1＝1＋eq\f(４，x)＝2，ｙ2＝log２ｘ＝2,当０<x≤４时，f（x)=ｌog２x，当x>4时,ｆ(ｘ)=1+ｅｑ\f（4，x)，g(x)恰有两个零点⇔y＝ｆ(x)的图象与直线ｙ=k恰有两个交点，故1<k<2．(理)(２015·山西大同市调研）如图,偶函数f（x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N，若方程f(ｆ（ｘ)）＝０，f(g(x）=0的实根个数分别为m、n，则m＋ｎ＝()A.1８ﻩB．16C．1４ﻩD.12[答案]A[解析]由图象知,f(x)＝0有3个根，０,±eｑ\f(3,2),ｇ(x)=０有3个根,其中一个为0，设与x轴另两个交点横坐标为±x0(0＜x0<1）.由ｆ(g(x）)＝0,得ｇ(x）＝０或±eq\f（3,２),由图象可知ｇ(x)所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g（f(x)）=０,知f(x)＝0或±ｘ0,由图象可以看出f(ｘ）=0有3个根,而f(x)＝x0有4个根，f(x)＝-ｘ0只有2个根，加在一起共有9个根,即n＝9,∴m＋n＝9+9=１8，故选A．1２.(文)如图，正方体ＡＢＣD-Ａ1B1Ｃ1D１的棱长为2eｑ＼r(３),动点Ｐ在对角线BD1上，过点P作垂直于BＤ1的平面α,记这样得到的截面多边形(含三角形）的周长为ｙ，设BP＝x,则当x∈[1,５］时，函数ｙ=f(x)的值域为()A．[2eq\r（６),6eq\r(6)] Ｂ.[2eq＼ｒ(6），18］C．[3eq＼r(6），1８] D.[3eｑ\r(6),6eq\r(6)］[答案]D[解析]因为棱长为2ｅｑ＼ｒ（3），所以体对角线ＢD1=６,根据对称性，只需研究x∈［1,3］时,函数ｙ＝f(x)的值域，连接AB１,B1Ｃ，AC，则BD１⊥平面AB1C,此时BP=2，当BP=１时，截面周长为截面AＢ1C周长的一半,即３eq＼r(6),当BP=３时，即当截面过体对角线BD1的中点时,此时截面为正六边形，其顶点为各棱的中点，如图所示，截面周长为６eｑ\r(6),所以函数y=ｆ(x)的值域为[3eq\r(６)，6eq\r（6)].(理)(2０1５·山东师大附中模拟)设向量a＝(a1,b1),b＝(a２，ｂ2),定义一种运算“⊕”．向量a⊕b=(ａ1,ｂ1)⊕(a2,b２）=(ａ2ｂ1,a1b2)，已知m=(2,eq＼f(1,２)),n＝(eq＼f(π,3），0),点P（x，y)在y=ｓinｘ的图象上运动,点Q在ｙ=f(x)的图象上运动且满足eq\ｏ(OQ,＼s\up6(→)）＝m⊕eq\ｏ(OＰ，\s＼up６(→))+n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最小值为()A.－1ﻩB．-2C．2ﻩD．eｑ\f(1,2)[答案］B[解析]由题意设点Ｐ的坐标为(t,sint),则eq\o(OQ，\s\up６（→）)=m⊕eq\ｏ(OP，\ｓ\up6(→）)＋n=（eq\ｆ(1,２）t,2siｎｔ)+(eq\f(π,3），0)＝（eq\f（1，2)t＋eq\f(π,3)，2sｉｎｔ),又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y＝f(x)的解析式，设Q(x，y)，则eq\b\ｌc\{\rc\（＼a\vs４\al＼cｏ1(x=＼f(1,2）t＋\f（π,3）,,ｙ=２sint,))消去t得,ｙ=２ｓiｎ(2x－eq＼f(2π，3))．所以函数ｙ＝f(ｘ)的最小值为－2，故应选B．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题４分，共16分,把正确答案填在题中横线上．)1３．(文)(2０１4·三峡名校联盟联考)观察下列不等式:1＋eｑ\f(1，２２)＜eq＼f(３，2)，1+eｑ＼f(1,2２)+ｅｑ\ｆ(1,32）<eq\f(5，3）,1+eq\ｆ(1，22)＋eq＼ｆ(1,32)＋ｅｑ\f(1,42)<eｑ＼f(７,4)，……照此规律，第五个不等式为___＿__＿___＿__＿____.[答案]1+eq\f(１，2２）+eq\f(１,3２)＋eq\f(１,42）＋eq\ｆ(1,52)＋eq\ｆ(1，６2)＜eq\f（11,６)[解析]本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(ｎ≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…,(n＋1）2;右端分母为n＋１,分子成等差数列，因此第n个不等式为１+eｑ\ｆ(1,２2)＋ｅq\f(1,32）＋…＋eq＼f(1,n+１2)＜eq\f(２n＋1，n＋1),所以第五个不等式为：1＋eq＼f(1,２2)+ｅq\f(1,32）+eｑ\f(1，42）＋eq\ｆ(１,52)＋eｑ\ｆ(１,62)<ｅｑ\f(11,６）.(理）(2014·海南省文昌市检测)将全体正奇数排成一个三角形数阵：13579111315１7１9……按照以上排列的规律，第ｎ行(n≥３)从左向右的第3个数为________．［答案]n2-ｎ＋５［解析]第一行有1个数，第二行有2个数，…，第n行有n个数,∴第一行到第n－1行共有eq\f(ｎ－1n－1+1,２)＝ｅq\ｆ(nｎ-1,2）个数，因此第ｎ行的第一个数为n（n－1)＋1，第３个数为n２-n+5．１4.(２015·深圳市五校联考）下图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数M的值是＿__＿____．［答案]4[解析］程序运行过程依次为：n=１，S＝1，n≤M成立→S＝1+2１＝3,n＝1＋1＝2,Ｓ≤Ｍ成立→S＝3＋22=7,n=2+1＝3，S≤M成立→S=7＋23＝15，n=3＋1=4,S≤M成立→S=15+２４=3１，n=4+１=5,由于输出结果为3１,故此时S≤M不成立,∴M＝4.1５．(文）（2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考）定义一种运算“＊”对于正整数满足以下运算性质：(1)2].[答案]31005［解析]令aｎ＝(２n)＊2014，由（1)知a1=1;由(2)知,aｎ＋１=3an，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列,∴ａn＝3ｎ－1，∴2０１2](理)(2０14·福建安溪一中、养正中学联考)已知定义域为(０,＋∞）的函数f(x）满足:对任意x∈(0，＋∞）,恒有ｆ(2x）=２f(x)成立；当ｘ∈（1,２]时，f（x)＝2－x.给出如下结论:①对任意m∈Z，有ｆ（2m)=０；②函数f（x）的值域为[０，+∞）;③存在n∈Ｚ，使得f(２n+１)＝9；④“函数f(ｘ)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k∈Ｚ,使得(a,b)⊆（2k，2k＋１）”.其中所有正确结论的序号是__＿____＿．[答案]①②④[解析]∵对任意x∈（0,＋∞），都有f(2x)=2ｆ（ｘ)成立，∴对任意m∈Ｚ，有f(2m)＝2f(2ｍ－１)=２2f(２m-2)＝…=2m-1f(２)＝２ｍ-1×(2－2)＝0，∴①成立；∵ｆ（2x)=2f(x)(ｘ>0）且当ｘ∈（1,2]时，ｆ(ｘ)＝2－ｘ，∴ｘ∈(2ｎ,2n＋1]时(n≥１，n∈Ｚ),f(x)=2ｎ+1－x≥0,当x∈(eq\f(１,２),１]时,２x∈(1，2],∴f(2ｘ)＝２－2x＝2f(x)，∴ｆ(x)=1-ｘ；当ｘ∈(eq\f(1,2n)，eｑ\f（1,２n－1）]时,f（x)＝eq\ｆ（1,2n-1）-x，综上知,对任意n∈Z，有x∈(2n,２n+１］时，f(x)=2n+１－x≥0,且在每个区间(2ｎ，2n+1]上f(x)为减函数，从而②④正确；∵2ｎ<２n+１<２n＋１,∴f(2n+1)=2n+1－2n-1＝2n-1，令2n－１=9,得2n＝10,这样的整数n不存在,∴③错．1６．(２01５·武汉市调研）平面几何中有如下结论：如图1,设O是等腰Rt△ABC底边BＣ的中点，AＢ=1,过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Ｑ，Ｒ,则有eｑ\f(１,AＱ)+eq\f（1,AR)＝２．类比此结论，将其拓展到空间得:如图2,设Ｏ是正三棱锥A-BＣD底面BＣD的中心,AB,AC，ＡD两两垂直,AＢ=1,过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q,R，P,则有_＿_＿_____＿______．[答案］eq\f(1,AQ)＋ｅｑ\ｆ(1，AR）+ｅｑ\f(1,AP)＝3[解析]设Ｏ到各个平面的距离为d，而VR－AQP＝eｑ\f(1,3)S△AＱP·ＡＲ=eｑ＼f(１,3)·eｑ＼f(１，２)·ＡQ·AP·AＲ=eq\f(1,6）AQ·AP·AＲ，又∵ＶR-ＡQP＝VO－AQP+VO－ＡRP+VO-AQR＝ｅq＼f(1,3)S△AＱP·d＋eｑ\f（１，3)Ｓ△ARＰ·d＋ｅｑ\f(1,3)Ｓ△ＡQＲ·d,＝eq\ｆ（１,6)(AＱ·AP+AR·AP＋AＱ·ＡR）d,eq\ｆ(１，６)AＱ·AP·AR=eq＼f(1,6)(AQ·AP+AR·ＡＰ＋AQ·ＡR)d，即eq＼f（1,ＡQ)+ｅq\f(1，AR)+eq＼f(1,AＰ)＝eq＼f(1,ｄ),而VA－BDC=ｅq\ｆ(１,3)S△BDC·h＝eq\f（1,3)·eｑ＼f(＼ｒ（3),4)·(eq＼ｒ(2）)２·ｅq\f(＼r(３),3)＝eq\ｆ（1,6）,VＯ－ABD=eq＼f（１，3)ＶA－BDＣ=eq\f(1,18),即eq\f（1,3)·Ｓ△AＢD·d＝eq\f(１,3)·eq\f（１,２）·ｄ＝eq\f(1,１8)⇒d=ｅq\ｆ(１,3),∴eq\f(1，AQ)＋eq\ｆ(1,AＲ)+ｅq＼ｆ(1,ＡP)=3.三、解答题(本大题共６个小题,共74分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（本小题满分１2分）(2０14·山东省烟台市期末)在平面直角坐标系中,角α，β的始边为x轴的非负半轴,点P(1，２ｃos2θ)在角α的终边上,点Q(ｓiｎ2θ,－1）在角β的终边上，且eq\ｏ（ＯP,＼s\up6(→))·ｅq\o（OQ,＼ｓ\uｐ6（→))=－1．(1)求cos２θ;(2）求P,Q的坐标并求sin（α+β）的值.[解析]（１)∵ｅq\o(ＯP,\s\up6（→)）·eq\o(OQ，\ｓ\up6(→）)＝－１，∴ｓｉｎ2θ－2cｏｓ2θ=-１，∴eq\f（1－cos2θ,２)－（１＋ｃos2θ)=-1，∴ｃos２θ=eｑ＼ｆ(１,３).(２）由(1）得:ｃos２θ＝eｑ\f（1＋cos２θ,2）＝eq\f(2,3)，∴P(1，ｅq\f(4,3)),ｓiｎ2θ=eq\ｆ(1-coｓ2θ,2)＝eq\ｆ(1,3),∴Q（eq＼f(1,３),-1),∴|OP|＝ｅq\r(12＋\f(4,3）2)=eq＼f（5,３)，|OＱ|=eｑ＼r(\f(１,3)2+-１２)＝ｅq\f（＼ｒ(10),3)，∴sｉnα=eq\ｆ（4，5),cosα＝eq＼f(3,5）,sｉｎβ=－eｑ\f(3\r(１０),1０),ｃosβ＝eq\f(＼r(１0)，10),∴sin（α＋β)=sｉnαｃosβ＋coｓαsinβ＝-eq\f(\r(１0)，１０)18．(本小题满分1２分）（文）(2０14·课标全国Ⅱ文)如图，四棱锥Ｐ-AＢCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD，E为PＤ的中点.（１)证明:PB//平面AEC；(2)设ＡＰ=1,ＡD＝eq\ｒ（3),三棱锥P－ABD的体积V=eq\f（\r(3),4）,求A到平面PＢC的距离．[解析]（1）设BD与AＣ的交点为O,连结EO,因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PＤ的中点,所以EＯ∥PB.EO⊂平面AEＣ，PB⊄平面AEC,所以PB∥平面ＡＥＣ.（２）V=ｅq＼f(1,6）PA·ＡＢ·AD＝ｅq\f(\r(3),6)AB．由V=eｑ＼f(\r(3),4)，可得AB＝eｑ\ｆ(3,2).作AＨ⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAＢ,所以ＢC⊥AH，故AH⊥平面ＰBC，∵在Rｔ△ＰAB中,由勾股定理可得PB＝eq\f(＼r(1３),2),∴AＨ=eq\ｆ(PＡ·AＢ,ＰB）=eq＼f(3\r(13),13)．所以A到平面PBＣ的距离为eｑ＼ｆ(３＼r（13）,13）.(理)如图,直角梯形ＡBCD与等腰直角三角形ＡBE所在的平面互相垂直．AB∥ＣD，AB⊥BC,AＢ=２CＤ=2BC,EA⊥EＢ.(１)求证:AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值;（3)线段ＥA上是否存在点F,使EC∥平面ＦＢD?若存在，求出ｅｑ\f(EＦ,EA)的值;若不存在,请说明理由．［解析］(1)证明:取AB的中点O，连接ＥO,DO．因为EB＝ＥＡ，所以ＥO⊥AＢ．因为四边形AＢCD为直角梯形,AB＝２ＣD＝２BC，AB⊥BC，所以四边形ＯBCD为正方形，所以AB⊥OD．所以ＡＢ⊥平面EOＤ,又ED⊂平面EＯＤ,所以ＡＢ⊥ED．(２)因为平面ABＥ⊥平面ABCD,且EO⊥AB,所以EO⊥平面ＡBＣＤ，所以EO⊥OＤ.由OB、ＯD、OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为三角形EＡＢ为等腰直角三角形,所以OA＝OＢ=ＯD＝ＯE,设OＢ＝1,所以O(０,０,0),A(－1,０,0),B（1,０,0)，C(１,1,０)，Ｄ(0，1,0)，E(0，０，１）．所以ｅｑ\o（EC,\ｓ＼uｐ6（→))=(1,１,-1），平面ABE的一个法向量为eq\o(OD,\s\up6(→))＝（0,1,０）.设直线EC与平面AＢＥ所成的角为θ,所以ｓinθ＝|ｃｏs〈eq\ｏ(EC，＼s＼up6(→)),ｅq\ｏ(OD,\s\up6(→）)〉|＝eｑ＼ｆ(|\o(EＣ,\s\up６(→))·＼o(OD，\s\up6(→))|,|＼o(EC,\ｓ\up6(→))||\ｏ(ＯD,\s\up6(→）)|)=eq\f(\ｒ(３）,3)，即直线EC与平面ABＥ所成角的正弦值为eq\ｆ(＼r(3)，3)．(3)存在点F,且eq＼f（EＦ,EA)=eｑ\ｆ(1，3)时,有ＥC∥平面FＢD.证明如下：由eq\o(EF,\ｓ＼up6（→))＝ｅq＼ｆ(1，3)eq\o（EA,\ｓ\up6(→)）＝(－eq\f(１，３），0,-eq\f(１，3）），F(-eｑ\f（１,3),０，ｅq\ｆ(2,3)）,所以eq\o（FＢ，＼s\up6(→)）=(eq\ｆ(4，3)，0，－eq\f(2,3))．设平面FBD的法向量为v＝(a，b,c),则有ｅｑ\b\lｃ＼｛＼rｃ\(\a\ｖs４\al\ｃo1(ｖ·\o(BD,\s\ｕp6（→）)＝0,,v·\o(FB,＼s\ｕｐ６(→)）=0,))所以eq＼b＼lｃ\｛\rｃ\(＼a\vs４\aｌ＼co1(－a+b＝0，,\f（4,3）a-\ｆ（2,3)c＝0,))取a＝1,得v=(1，1,2).因为ｅｑ\o(EC，\s\uｐ6(→))·v＝(1，１,-1）·(1,１,２)＝０，且EＣ⊄平面FBD,所以ＥC∥平面ＦBD，即点Ｆ满足eq\f(ＥF,EA）＝eq\f(1,3)时,有ＥC∥平面FＢD．19.(本小题满分１2分)(20１5·广州执信中学期中)已知a1=2，点(ａn，an＋１)在函数f(ｘ)＝x2＋２x的图象上，其中n∈N*．(1）证明:数列{ｌg（1+an)}是等比数列;(２)设Tn=(1+a1）（1＋ａ２)…(1＋an）,求Tｎ;(3)记ｂn＝eq\f(１,aｎ）+ｅq\f（1，an+2),求数列{bn}的前项和Sn.[解析](1)由已知an＋1=aeｑ\o＼al(2,n）＋2ａn，∴an+１+１=（ａｎ＋1)2，∵a1＝2，∴ａn+1＞1，两边取对数得ｌg(１+an＋1)＝2ｌg(1+an)，即eq\f(lｇ1＋an＋1,lg1+an)=2,∴{lg(1＋ａｎ)}是公比为2的等比数列.(２)由(1)知lg(1＋ａn）＝２n－1·lg(１＋ａ1)=２n-1·lg３＝lg32n－1，∴1+ａn＝32n－1，（＊)∴Tn=(1＋a1)(1+ａ2)…(1＋an)＝３2０·321·322·…·32n－１＝３1＋2+2２＋…+2n－1＝32ｎ－1，即Ｔn=3２n－1.(３)∵aｎ+１=ａｅq＼o\al(2，ｎ)+2an，∴an＋1=an(an+2），∴eq\f(1，an＋1)＝eq＼f（1，2)(ｅq\f(1,an）-eq\ｆ(1,an+2）),∴eq\f(1，an＋2)=eq＼f(1,an)-eq＼ｆ(２,an＋１),又bn＝ｅｑ\f(１,an)＋eq＼f(1,ａn+２),∴bn＝２(ｅq＼f(1，aｎ)-eq\f(1,an+1)),∴Ｓn=b1+b2＋…＋bn＝２(ｅｑ\f(1，a1）－eq\f（1,a2)＋ｅq＼f(1,a２）－eq\f（１,a3)＋…+eｑ\f(１,an）－eｑ＼f(1，an+1))＝2(eq＼f(1,a1)－ｅq＼f(1,an＋1））．∵an＝32n－１－1,a１=2,ａｎ＋1＝32ｎ－1,∴Sn=１-ｅq\f(2,32n-1)．20.（本小题满分12分)(文)(2015·焦作市期中)201４年9月,河南省第十二届运动会在焦作举行，我市男子篮球队获得冠军,赛前集训期间,甲、乙两球员进行定点投篮训练,每人每组投篮１00次,各5组，如图所示茎叶图表示甲、乙两位球员的投篮命中次数，其中一个数字模糊,无法确认，在图中以X表示.(1)若X=８，如果你是教练，你会首先选择甲、乙中的哪位球员上场?并说明理由;(2)若乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数，从甲、乙两人投篮中次数不低于90次的５组中任选２组，求所选2组投篮命中次数差的绝对值不超过2次的概率.[解析](1）eq＼o(x,＼s＼up6(－))甲＝9０，eｑ\o(ｘ,\s＼uｐ6(－))乙＝90.Sｅq\o\al(2,甲）＝eq＼f(1，5)［(８8-9０)2＋(８9－90)2+(90－90）2＋(9１-９0)2+(92-90)2]=2，Seq\o\al(2,乙)＝ｅｑ\f(１,5)［（83－９0)2＋（8３-9０)2+(87－90)2+(９8-90)２＋(99-９0)2]＝50.4，Ｓeq\ｏ\al(2，甲)＜Seq\o\aｌ（2,乙）,∴甲更稳定,选择甲上场．(2)由题意知,eq\f(８３＋８３＋８7+9９＋90＋Ｘ,5）>eq＼f(８８+89＋９0＋9１+92,5），∴X>８，∴X=9.从5组数据中选取2组有：(92，91)，（92,90),(92,99）,(92,99）,(９1，90)，(9１,99)，(９1,99)，(90,99）,（９０,99）,（9９,99)共10种可能，其中符合条件的有4种：(92，91),（92,９0),(91,９0）,(9９，99)，∴P＝eq\f(４，10)＝eq\ｆ（2,5）.(理)(2014·天津河西区期末）某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者,20名学生的名额分配为高一12人,高二6人,高三２人.(1)若从20名学生中选出３人做为组长，求他们中恰好有１人是高一年级学生的概率；(２)若将４名教师随机安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的),记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析]（１）解:设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，则P(A)=eq＼f(C＼o\al(1，１2）C\o\al(２，８),C＼o\al(３,２0))＝ｅq\f(２８,95).所以恰好有1人是高一年级学生的概率为ｅq＼f(28,９5).（2)解:X的所有取值为０，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为eq\ｆ(1,3)，所以P（X＝０)＝Ceｑ\o\al(0，４)(eq\f(1，3）)０(ｅｑ\f(2，3))4＝eq\f(16,81)；P(X=1)＝Ceq\ｏ\al(1，4)(eｑ\ｆ(1,3))1(eｑ\f(2，3）)3=ｅq\f(32，81）P(X＝2)＝Ｃeq＼o\al(2，４）(eq\f(１,3))2(ｅｑ\ｆ(2，3）)2＝eq\f(２4，８1)=eq＼ｆ（8,27）；Ｐ(X=3)＝Ｃeq\o\al(３,４)(eq＼f(1,3））3(eq＼f（2，3））１=eq\f(8,８１）;Ｐ(X=４)=Ceq\o\al（４,4）(eq\f(1,3）)4（eq\ｆ(２,3））0=eq\f(1，81）．随机变量X的分布列为：Ｘ01234Peq＼f(16,８１)eq\f(3２,81)ｅq\f(8,27)eq\ｆ(8,81)eq\ｆ(1,81)E(X)＝0×eq\f(16,81)＋1×ｅq\f(32,8１)＋2×eｑ\f(24，8１)+３×eｑ\f（８,81)+4×eq\f(1,8１)=eｑ\ｆ(４,3).21.(本小题满分12分)(文)(２０１5·山东菏泽期中)已知函数f(ｘ)=lｎx－eｑ＼f（a,x).(1）若ａ>0,试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在［１，ｅ]上的最小值为eq＼ｆ(３,2),求ａ的值;(３）若f(ｘ)<x2在(1，＋∞)上恒成立,求a的取值范围.［解析](1)由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f′(x)=eｑ\f(１,x)＋eq\f(a,x2）=eq\f(x＋ａ,ｘ2),ａ>0，∴f′（x)>0，故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数．(2)由（１）可知,f′（ｘ)=eq＼f（x＋a,x2)．①若a≥－1,则x+ａ≥0,即f′(x)≥0在[1,ｅ］上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数，∴f（ｘ)mｉn＝ｆ(1)=-a=ｅq\f(３，2)，∴a＝－ｅｑ\f(3,2)(舍去)．②若a≤-e,则ｘ+a≤0，即f′(x)≤０在[1，e]上恒成立,此时ｆ(ｘ)在[１，e]上为减函数.∴f(ｘ）min＝f(e)=1－ｅq\f（a,e)＝eq\f(３,2),∴a＝-eq\ｆ(e,２)（舍去)，③若－e<a＜-1，令f′（x)=0得x=-a，当1<x＜-ａ时,ｆ′(ｘ）<0，∴f(x)在（1，-a)上为减函数；当-a<x<e时,ｆ′(x）>０,∴f(x)在(－a,ｅ)上为增函数,∴f(x)min=f（-a)=ln（-a)＋1=eｑ\ｆ(３,2),∴ａ＝－eq＼r(ｅ）.综上所述,ａ＝－ｅｑ\r(e).（3)∵f(ｘ)＜x2,∴lnx－eq＼ｆ（a,x)<ｘ２.又ｘ＞0,∴a>xlnx－x3,令g(x)＝ｘlnx-x3,h(x）＝g′(x)＝1＋lnx－３x2,ｈ′(x）＝eq＼f(1,x)－6ｘ=eq\f（1－6x2，x).∵x∈(1，＋∞)时，h′（x)<０，∴h(x）在(1,+∞)上是减函数．∴ｈ(ｘ）＜h(1)＝-2<0,即g′(ｘ）＜0,∴g（x)在(1，＋∞）上也是减函数．ｇ(x）<g(1）＝－1，∴当a≥-１时,f(ｘ)<x2在（1，＋∞）上恒成立.(理)（201５·北师大附中期中)设函数ｆ(x)定义在(0,＋∞)上,f(1)=0，导函数f′(x)=eｑ\f(1,ｘ)，ｇ（ｘ）=ｆ(ｘ)+ｆ′(ｘ）.(1）求g(ｘ)的单调区间和最小值;(２)讨论g(ｘ)与g(eq\f(1,x）)的大小关系；（３)是否存在x0>０，使得｜ｇ（x）－ｇ(x0)|<eq\ｆ(1，x)对任意x＞0成立?若存在,求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析］(1)由题知f(x)=lnx,g(x）=lnｘ+eq\ｆ(1,x),∴g′（ｘ)=eq＼ｆ(x－1,x２）,令g′(x)=０得x=1，当x∈(０