高中数学双曲线及其标准方程

高中数学双曲线及其标准方程第1页，共26页，2023年，2月20日，星期四双曲线的定义把平面内与两个定点F1、F2的距离的___________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这_________叫做双曲线的焦点，_______________叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？自学导引1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离第2页，共26页，2023年，2月20日，星期四提示

(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．第3页，共26页，2023年，2月20日，星期四双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__________(a>0，b>0)________(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝_______2．a2＋b2第4页，共26页，2023年，2月20日，星期四提示如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．第5页，共26页，2023年，2月20日，星期四对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a，当2a<|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F1F2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．名师点睛1．第6页，共26页，2023年，2月20日，星期四(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a、b大小则不确定．

2．第7页，共26页，2023年，2月20日，星期四(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论．第8页，共26页，2023年，2月20日，星期四题型一求双曲线的标准方程【例1】第9页，共26页，2023年，2月20日，星期四第10页，共26页，2023年，2月20日，星期四第11页，共26页，2023年，2月20日，星期四第12页，共26页，2023年，2月20日，星期四规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．第13页，共26页，2023年，2月20日，星期四

求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．解

(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2得，b2＝c2－a2＝42－32＝7.【变式1】第14页，共26页，2023年，2月20日，星期四(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．题型二双曲线定义的应用【例2】[思路探索](1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．第15页，共26页，2023年，2月20日，星期四(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为6或22.(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得第16页，共26页，2023年，2月20日，星期四第17页，共26页，2023年，2月20日，星期四规律方法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．第18页，共26页，2023年，2月20日，星期四由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，【变式2】第19页，共26页，2023年，2月20日，星期四题型三与双曲线有关的轨迹问题【例3】第20页，共26页，2023年，2月20日，星期四第21页，共26页，2023年，2月20日，星期四【题后反思】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．第22页，共26页，2023年，2月20日，星期四

如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；【变式3】圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝