2023届贵州省毕节市高三诊断性考试（二）数学（理）试题

2023届贵州省毕节市高三诊断性考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（

）A．{x|或} B．{x|或}C． D．{x【答案】A【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义求解作答.【详解】全集，集合，则或，而，所以或.故选：A2．已知复数，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由复数的四则运算结合模长公式求解即可.【详解】，.故选：C3．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或，若，因为，则，若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，因为，所以，又，所以，综上若，则，故B正确；对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.故选：B.4．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法．如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分．若双曲线C的两条渐近线分别平行于，则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立坐标系，由得出，进而作出判断.【详解】设双曲线OC的方程为.将题设中双曲线C的一部分平移到平面OAB内，以点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：因为圆锥的高与底面半径均为2，所以，则.即渐近线的方程为，即，故.选项ABCD中满足的只有选项C.故选：C5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（

）A．36种 B．18种 C．24种 D．30种【答案】D【分析】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，后分两种方法安排丙、丁.第一种安排丙、丁到第三个舱中；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中.【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有种安排方法.后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有种.故选：D6．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的对称轴中与y轴距离最近的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平移变换得出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求解.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.由可得，函数的对称轴为.其中y轴距离最近的是.故选：D7．有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图的花海大世界，其中大圆半径为8，大圆内部的同心小圆半径为3，两圆之间的图案是对称的．若在其中阴影部分种植红芍．倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.【详解】由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为.所以阴影部分的面积为.设“恰好处在红芍中”为事件，则故选：C8．已知，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出的范围.【详解】，根据指数函数在上单调递减得，，根据幂函数在上单调递增知，则，，根据对数函数在上单调递减得，综上.故选：D.9．已知函数，则的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定的函数，由时的单调性排除两个选项，当时，利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答.【详解】函数的定义域为，当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，因此函数在上递增，BD错误；当时，，求导得：在上递增，，，而，即有，则存在，使得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.故选：A10．等腰三角形内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，则的最大值为（

）A．2 B．5 C．14 D．16【答案】C【分析】由图可将化为，即可得答案吗.【详解】连接，因，则四边形为菱形，三角形，三角形OA与BC交于点D，则，，.则.则当三点共线时，最大，为，则的最大值为14.故选：C11．已知曲线，曲线，直线与曲线的交点记为，与曲线的交点记为．执行如图的程序框图，当取遍[－1，]上所有实数时，输出的点构成曲线C，则曲线C围成的区域面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由程序框图结合圆的方程得出曲线C的轨迹，进而得出面积.【详解】当时，曲线，即.当时，曲线，即.由程序框图可知，点在上，点在上，则曲线C的轨迹如下图所示：则曲线C围成的区域面积为.故选：A12．已知，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】根据题意构造函数求解出，根据选项构造函数，判断其单调性从而得出选项.【详解】，又，则，设，显然为增函数，因为，所以又，，则令，设，则，当时单调递增，则在上单调递增，故，解得.故选：B【点睛】思路点睛：①选择题中判断不等式关系：思路一：遇到解析式不相近，可考虑通过作差法进行大小比较；思路二：遇到解析式相近，可考虑构造函数，利用函数单调性与内外函数关系进行大小比较.②选择题中构造函数思路：可根据选项提示，将含同一类字母的的式子写在一般，观察不等号两边式子共性进行构造函数；若原式复杂，在不等式问题中可适当放缩后构造新函数.二、填空题13．已知，，则__________．【答案】【分析】首先根据题意得到，，再利用正弦二倍角公式求解即可.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：14．已知点P为抛物线C：上一点，若点P到y轴和到直线的距离之和的最小值为2，则抛物线C的准线方程为___．【答案】【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C的准线方程.【详解】过点分别作直线，和y轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为.点到直线的距离为.由定义可知，，则，当且仅当三点共线时，取等号，所以，解得，则抛物线C的准线方程为故答案为：15．已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为__________．【答案】【分析】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.注意到总有两根，，后结合图像可得答案.【详解】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.由，可得，，则.则问题等价于当方程在时有唯一实根时，实根的范围.即求直线与函数有唯一交点时，横坐标的范围.如下图可知，当时满足题意，则.故答案为：.16．已知四棱锥的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是线段AB上一点，且．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为，则＝___．【答案】或【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.【详解】在等腰梯形中，连接，如图，因为，，，则，，于是，取中点，连接，则，得均为正三角形，即有，即是梯形外接圆圆心，而O为四棱锥的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，则，而为球O的弦，则过点O垂直于的平面必过的中点E，连接，于是，而，即有，四边形为矩形，，因此球O的半径，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直于，而此截面圆半径为，则，连接，在中，，在中，，，即有，解得或，所以或.故答案为：或【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.三、解答题17．已知数列{}的前n项和为，且．(1)求数列{}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)（）．【分析】（1）由与的关系得出数列{}的通项公式；（2）由错位相减法得出前n项和．【详解】（1）由得，当时，，当时，满足，所以数列{}通项公式为（2）由，∴，两式错位相减得所以（）．18．某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．若a，b，c成等差数列，且成绩在区间内的人数为120．(1)求a，b，c的值；(2)估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)若用频率估计概率，从该中学学生中抽取5人，成绩在区间内的学生人数为X，求X的数学期望．【答案】(1)，，(2)中位数估计为73，平均数为(3)【分析】（1）根据直方图性质总面积为1和题意列式计算；（2）直方图平均数估算为各区间中点乘对应区间频率之和；以中位数为界，直方图左半部分面积等于右半部分面积；（3）根据二项分布性质计算即可.【详解】（1）依题意可得：又a，b，c成等差数列，且，解得：，．（2）设估计中位数为t，则，，解得：，即中位数估计为73，估计平均数为：．（3）由题意可知：成绩在区间内概率为，X的取值为0，1，2，3，4，5根据条件可知，，．19．正方体中，与交于点O，点E为的中点，点F在上，且平面平面．(1)求的值；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）连接交于M，连接，，通过平面平面可证明，由此得出，即可得出的值.（2）以A为坐标原点，为x轴，以为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，根据平面法向量与二面角关系进行求解.【详解】（1）证明：连接交于M，连接，，该几何体是正方体，为的中点，为的中点，，平面平面，平面平面，平面平面，，，是的中点，是的中点，．（2）以A为坐标原点，为x轴，以为y轴，以为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角的大小为，则为锐角，，二面角的余弦值为．20．在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线，垂足为D，点Q满足．当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与y轴正半轴交点为A，不过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，若，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)恒过点，理由见解析【分析】（1）设点，由得出，继而由圆的方程得出曲线的方程；（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，由得出，结合韦达定理以及数量积公式得出，进而得出定点.【详解】（1）设点∵，∴∵，，则曲线的方程为（2），设，由∴当直线轴时，△MAN为钝角三角形，且，不满足题意．∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为：由，化简得：∴∴整理得，∵，∴∴直线l的方程为：，恒过点．【点睛】关键点睛：对于第（2）问，关键是联立直线和椭圆的方程，由韦达定理结合数量积公式得出，进而由斜截式方程得出定点.21．已知函数．(1)求证：函数在上单调递增；(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求出函数的导数，判断导数在的取值范围，从而证明的单调性；（2）先判断或时不等式成立条件，再分离参数得到，求出导数，判断其单调区间，找出最小值即可.【详解】（1），当时，，，，，即，当时，恒成立，当时，恒成立，函数在上单调递增．（2）当或时，不等式显然成立．当时，，所以．令，，令，在上成立，在上为单调递增函数，且，当时，，即；当时，，即；在上单调递减，在上单调递增；，．【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题在定义域内，若恒成立，即；在定义域内，若恒成立，即.22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数，）．(1)求曲线的极坐标方程与曲线的普通方程；(2)点，若曲线与曲线有且只有一个交点M，求|PM|的值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由平方关系消元得出的普通方程，进而化为极坐标方程；讨论，，消参得出的普通方程；（2）联立与的方程，由以及求根公式得出，进而由直线参数方程的几何意义求解.【详解】（1）由两式相加得，的普通方程为∵，∴的极坐标方程为由（t为参数，当时，的普通