上海实验学校高三冲刺模拟卷（四）数学试题

2022届上海实验学校高三冲刺模拟(四)数学试题一、单选题1．集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由题意，时，方程的两根为和，∵，∴时.【解析】解不等式，充分必要条件.2．函数，，…，，…，则函数是（

）A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数【答案】A【分析】根据奇偶函数的定义，先判断是否恒为0，再通过定义证明为奇函数．【详解】当时，若，则，∵当时，…∴当时，则∴不可能既是奇函数又是偶函数的定义域为若为奇函数，则即也为奇函数现在为奇函数为奇函数为奇函数…所以对为奇函数故选：A．3．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=A．2 B．4 C．3 D．【答案】C【详解】试题分析：作出不等式组的可行域，如图（阴影部分），区域内的点在直线上投影构成线段，，即，而，由得，即，由得，即，则，故选C.【解析】1、线性规划的应用；2、两点间的距离公式.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.对于比较复杂的目标函数，可以根据划归思想、数形结合思想先找到最优解再解答.4．.定义规范数列如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中的个数不少于，则不同的“规范数列”共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据数列新定义确定首末项分别为0、1，应用分类讨论及组合数求总排法数.【详解】依题意，由“规范01数列”得：第一项为0，第项为1，当时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”.①若0后接00，如：0001.后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有种；②若0后接01，如：0011.后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有种；③若0后接10，如：0101.在10后若接0，则后面有种；在10后若接1，即010101，第五个数字一定接0，另两个位置0、1随意排，有种；综上，满足题意的排法有种.故选：C.二、填空题5．向量在向量方向上的投影为________.【答案】【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.【详解】依题意得，因此向量在向量方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.6．已知正数满足，则行列式的最小值为________．【答案】3【详解】试题分析：首先把行列式化简为普通代数式，，又，即，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为3.【解析】行列式的定义与基本不等式.7．设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.【答案】4.【分析】求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.【详解】，因为方程有两个虚根，所以.又原方程可化为，故两虚根为，两个虚根为共轭复数，故，故，填.【点睛】对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.8．在中，所对边分别为，若，则____________.【答案】.【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得，解出即可.【详解】由正弦定理可得，故，通分得到，.因为，所以，故即.因为，故，填.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.9．已知数列的首项，其前项和为．若，则．【答案】【详解】已知数列的前项和的关系，要求项，一般把已知中的用代换得，两式相减得，又，，所以数列从第二项开始成等比数列，因此其通项公式为．10．某地球仪上北纬纬线长度为cm，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为________cm（精确到0.01）．【答案】【详解】试题分析：如下图球中，是北纬纬线圈的圆心，，，，，，在中，两点间的球面距离即所对的大圆弧长为约等于【解析】球面距离．11．对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最大值为________．【答案】【解析】不等式恒成立，转化为，其中，令，两次利用基本不等式即可得出结果.【详解】不等式恒成立，可得转化为，其中，令，当且仅当时取等号，，解得，实数a的最大值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方12．已知点为圆与圆公共点，圆+1，圆+1，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为_________．【答案】2．【详解】试题分析：设，则，令，则，同理可得，因此为方程两根，由韦达定理得，从而点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为【解析】直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．13．已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为________．【答案】【详解】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得,且,所以考点:本题主要考查三角函数的性质.14．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是___________．【答案】【详解】试题分析：，则；，则；，则；，则；，则；其中，由此可得时，可以找到实数，使，但当时，上述区间没有公共部分，故的最大值为.【解析】取整函数.15．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．【答案】4【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．16．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______.【答案】8.【详解】，又，因此即最小值为8.【解析】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．三、解答题17．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【详解】（Ⅰ）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，，，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是.【解析】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．18．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】(1)(2)在10时至18时实验室需要降温【分析】（1）先把解析式化简，得到，利用三角函数的性质求出在上取得最大值12，取得最小值8，即可求得；（2）依题意列不等式，直接解得.【详解】(1)因为，又，所以，，当时，；当时，；于是在上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为(2)依题意，当时实验室需要降温.由（1）得，所以，即，又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温.19．已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F（x）的最小值m（a）；（ⅱ）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）（ⅰ）．（ⅱ）．【详解】试题分析：（Ⅰ）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（Ⅱ）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值．试题解析：（Ⅰ）由于，故当时，，当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（Ⅱ）（ⅰ）设函数，，则，，所以，由的定义知，即（ⅱ）当时，，当时，．所以，．【解析】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（Ⅱ）根据的取值范围求出的最大值，进而可得．20．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．试题解析：（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【解析】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.21．设数列A：，,…().如果对小于()的每个正整数都有＜，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得>，则；（3）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3,…,N）,则的元素个数不小于-.【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）关键是理解“G时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；（Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可；（Ⅲ）当时结论仍然成立即可.试题