上海市上海交大附中高三下学期5月月考数学试题

2022届上海市上海交大附中高三下学期5月月考数学试题一、单选题1．“”是“”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【答案】A【分析】分析的充要条件再判断即可【详解】则当时，；当时，，故成立；又当时成立，无意义，故“”是“”的充分非必要条件故选：A2．已知，是数列的前n项和，则（

）A．和都存在 B．和都不存在C．存在，不存在 D．不存在，存在【答案】A【分析】利用数列的通项公式，判断两个极限即可.【详解】，是数列的前项和，可得是一个定值故和都存在，故选：A3．设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则A．9 B．6 C．3 D．2【答案】C【详解】本题考查抛物线标准方程和几何性质，平面几何知识.抛物线的焦点设则又的重心是所以；根据三角形面积公式得，即则.故选C4．存在函数满足，对任意都有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对ACD，根据函数的性质，取特殊值推出矛盾判断即可；对B，令再化简分析即可【详解】对A，取可得，即，再取可得，即，故A错误；对B，令，此时，即，符合题设，故B正确；对C，取，有；取，有，故C错误；对D，取得，再取可得，故D错误故选：B二、填空题5．已知集合，，，则实数________．【答案】【分析】由交集的概念求解【详解】由题意得或，解得，经检验，当时，故答案为：6．已知函数为奇函数，则方程的解是________．【答案】【分析】根据奇函数满足可得，再求解即可【详解】因为函数为奇函数，故，解得，故即，故，解得故答案为：7．过点且一个法向量为的直线的点法向式方程为___________．【答案】【分析】由法向量与直线的方向向量垂直可得【详解】设是直线上任一点，，则，即。故答案为：。【点睛】本题考查直线方程的点法向式，解题根据是法向量与直线的方向向量垂直，它们的数量积为0。因此过点且一个法向量为的直线方程的点法向式为：。8．已知，，则________．【答案】【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】因为，因为，则，因此，.故答案为：.9．的展开式中x的系数为______.【答案】【分析】根据二项式展开式的通项公式，令展开式中的指数为1，即可求出的系数．【详解】解：在的的展开式中，通项公式为，令，解得；展开式中的系数为：．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，着重考查了二项展开式的通项公式，属于基础题．10．若实数x、y满足，则的最大值为________．【答案】8【分析】根据约束条件，画出可行域，平移直线，由直线在y轴上的焦距最大时，目标函数取得最大值求解.【详解】解：由实数x、y满足，画出可行域，如图所示：平移直线，当直线经过点时，直线在y轴上的焦距最大，此时，目标函数取得最大值，最大值为8，故答案为：811．若从总体中随机抽取的样本为、、、、、、、、、，则该总体标准差的点估计值是________（精确到）【答案】【分析】计算可得样本数据的平均数，由总体标准差点估计值公式可直接求得结果.【详解】样本数据的平均数为，该总体标准差的点估计值为.故答案为：.12．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于的扇形，则这个圆锥的体积是________．【答案】【分析】由圆锥的定义与体积公式求解【详解】由题意得圆锥母线长，底面圆周长，得，故故答案为：13．安排4名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人单独完成，则不同的安排方式共有________种【答案】240【分析】根据题意，分2步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组全排列，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，先将5项工作分成4组，则有2项工作为1组，有种分组方法，将分好的4组全排列，对应4名志愿者，有种情况，则有种不同的安排方式.故答案为：240.14．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．【答案】.【详解】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域.（2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.15．已知椭圆中a、b、c成等比数列，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB倾斜角分别为、，则________．【答案】【分析】根据a、b、c成等比数列，可求得椭圆的离心率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合椭圆的方程求得，再化简代入求解即可【详解】因为a、b、c成等比数列，故，即，故，因为，解得.由题意，，，设，则，，因为椭圆，故，所以，故，又，故，代入故答案为：16．设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有________个．【答案】2【分析】由作差法比较大小后判断【详解】不妨设，，记为①式，为②式，以此类推，由，故①>②，，故②>③，，故①>④，同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，最多有②④或③⑥两项可同时取150，令，得其一组解为，故答案为：2三、解答题17．如图，已知正方体的棱长为2，分别是、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据三棱锥的体积公式，结合正方体的性质，可以计算出三棱锥的体积；（2）连结，可知为异面直线与所成角，利用锐角的三角函数中的正切函数定义可以求出的正切值，最后用反正切函数表示即可.【详解】解：（1）因为的面积为，点到平面的距离即，所以；（2）连结，因为，所以为异面直线与所成角，根据勾股定理可知：，因此是直角三角形中，所以，即，故异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了正方体的性质，考查了异面直线所成的角，考查了数学运算能力.18．函数定义的第k阶阶梯函数其中，的各阶梯函数图像的最高点，（1）直接写出不等式的解；（2）求证：所有的点在某条直线上．【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）利用分段函数的性质直接求解即可（2）先求出的解析式，研究其单调性，从而得到的第k阶阶梯函数图像的最高点的坐标，然后求出的坐标进而求得过两点和过两点的直线的斜率都为，进而证得所有点在一条直线上【详解】（1）（2）由题可得是增函数；，x∈是减函数∴的第k阶阶梯函数图像的最高点为第k+1阶阶梯函数图像的最高点为所以过这两点的直线的斜率为．同理可得过这两点的直线的斜率也为所以的各阶阶梯函数图像的最高点共线，直线方程为即，故所有点在定直线上【点睛】本题考查分段函数的解析式及单调性，分段函数的最大值，归纳推理的思想，考查直线方程，注意计算的准确性，是中档题19．已知三角形花园，顶点、、为花园的三个出入口，满足，，（单位：米）．(1)求三角形花园的面积（精确到平方米）；(2)若三角形个内角均小于，到三角形三个顶点距离之和最短的点必满足、、正好三等分点所在的周角，该点所对三角形三边的张角相等，均为．所以这个点也称为三角形的等角中心．请根据此知识求出三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和（满足到三个出入口的距离和最小）．【答案】(1)平方米(2)米【分析】（1）由余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果；（2）利用三角形面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得，进而可求得的值，即可得解.【详解】(1)由余弦定理可得，则为锐角，所以，，所以，（平方米）.(2)解：中，最长，，则为锐角，故为锐角三角形，由（1）可知，所以，，根据余弦定理可得，同理可得，，以上三个等式相加可得，所以，，因此，，则（米）.因此，三角形花园的最佳会合点到三个出入口的最小距离和为米.20．已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于、两点．(1)若直线，试求的面积；(2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．【答案】(1)(2)是，且定值为(3)【分析】（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，求出、的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得结果；（3）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，求得，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】(1)解：设点、，联立可得，解得或，即点、，直线过椭圆的左焦点，所以，.(2)解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，.(3)解：不妨设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，，由题意可得，整理可得，则，所以，，则.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.21．已知有穷数列：，，，……，的各项均为正数，且满足条件：①；②.（1）若，，求出这个数列；（2）若，求的所有取值的集合；（3）若是偶数，求的最大值（用表示）.【答案】（1），，；（2）；（3）．【详解】试题分析：（1）根据通项公式求具体的项；（2）根据题意分类讨论，列出所有可能的情况建立关于的方程；（3）假设从到恰用了次递推关系，根据的奇偶性分类讨论.试题解析：解：