2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（黑卷）试题

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（黑卷）试题一、单选题1．若，，则（

）A． B．C．2 D．1【答案】B【分析】先计算，再求.【详解】∵，，∴，故.故选：B.2．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得，所以，又，所以；故选：A3．2021年全运会的吉祥物以四个国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型，分别取名“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”．某同学共有5个吉祥物娃娃，其中2个“朱朱”，“熊熊”“羚羚”“金金”各1个，从中随机抽取两个送给同学，则抽取的吉祥物中含“朱朱”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用古典概型，组合数公式，即可求解.【详解】两个都是“朱朱”，有1种方法，若有1个“朱朱”，则有种方法，所以抽取的吉祥物含“朱朱”的概率.故选：C4．我国第七次人口普查的数据于2021年公布，将我国历次人口普查的调查数据整理后得到如图所示的折线图，则下列说法错误的是（

）A．从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态B．2000-2020年年均增长率都低于1.5%C．历次人口普查的年均增长率逐年递减D．第三次人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点【答案】C【分析】根据折线统计图分析即可；【详解】解：由折线统计图可得，所有的增长率均为正数，所以从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态，故A正确；年年均增长率都低于，其中最高，增长率为，故B正确；年均增长率在是逐年递增，是逐年递减，故C错误；第三次（1982年）人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点，故D正确；故选：C5．已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据可确定的范围，由此可得；利用二倍角正弦公式可求得，由此可得结果.【详解】，，又，，，，.故选：A.6．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得出，解出，然后将代入计算即可得解.【详解】由已知可得，解得，当时，则.故选：D.7．的展开式中的系数为（

）A． B．23 C． D．27【答案】B【分析】将代数式变形为，利用展开式的通项即得.【详解】∵，由展开式的通项为，∴的展开式中的系数为.故选：B.8．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.【详解】若方程表示圆，则，解得：；，，甲是乙的充分不必要条件.故选：A.9．在长方体中，点，，，分别为，，，的中点，则下列结论成立的是（

）A． B．平面平面C．直线与平面的夹角为 D．平面平面【答案】D【分析】由题可得可判断A，由与不平行可判断B，由题可知即为直线与平面的夹角，且可判断C，由面面垂直的判定定理可判断D.【详解】连接，由正方体的性质可得，所以，所以四边形为平行四边形，，所以与不平行，故A错误；若平面平面，因为平面平面，平面平面，则，由题可知与不平行，故B错误；由题可知，平面，平面，进而可得平面，同理平面，而，所以平面平面，故直线与平面的夹角和直线与平面的夹角相等，由正方体的性质可知，即为直线与平面的夹角，且，故C错误；由题可知平面，平面，所以平面平面，故D正确.故选：D.10．已知函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则函数图象的一个对称中心是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的最小正周期以及对称性，即可求得；再求的对称中心即可.【详解】∵函数的最小正周期为，∴，则，则，∵图像关于直线对称，∴，即，∵，∴当时，，则，由，解得，当时，，即函数图象的一个对称中心为.故选：B.11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，计算出点到直线的距离，分析可得，可得出，进而可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，点到直线的距离为，连接，由双曲线的定义可得，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，故，可得，所以，，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.12．已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，，当时，若函数的图象和直线有个交点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知函数为偶函数，且函数是以为周期的周期函数，作出函数与的图象，数形结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为函数的图象关于直线对称，将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，由可得，故函数是以为周期的周期函数，如下图所示：因为直线过定点，当时，要使得函数的图象和直线有个交点，则，解得，故选：C.二、填空题13．已知抛物线的准线方程为，若上有一点位于第一象限，且点到抛物线焦点的距离为，则点的坐标为______．【答案】【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，进而可得.【详解】因为抛物线的准线方程为，∴，即，∴，又点到抛物线焦点的距离为，∴，即，又点位于第一象限，∴，，即.故答案为：.14．已知向量，均为单位向量，，，，则与的夹角为______．【答案】【分析】根据，结合向量的模的求法及数量积的运算律求出与的夹角的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：，，，所以，又，所以与的夹角为.故答案为：.15．的内角，，的对边分别为，，，面积为，，且，则______．【答案】【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由，可得，又，所以，又，∴，∴，解得.故答案为：.16．已知菱形中，沿对角线进行翻折，当三棱锥的体积最大时，______．【答案】433433【分析】当为直二面角时，三棱锥的体积最大，取的中点，接，由面面垂直的性质得到面，设，，令，对求导，求出的单调性，即可求出三棱锥的体积最大时的值.【详解】因为在翻折过程中，三棱锥的底面为三角形是不变的，所以当为直二面角时，三棱锥的体积最大.如图，取的中点，连接，则，因为面面，且面面，所以面，所以，菱形中，设，所以，，令，或（舍去）当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，所以当时，三棱锥的体积最大，此时.故答案为：.三、解答题17．设数列满足，．(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由递推公式可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式求出的通项公式；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；【详解】(1)解：因为，，所以，即又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以(2)解：由（1）可得，所以①，所以②，①②得即，所以；18．如图，四棱锥中，四边形为菱形，，且，．(1)求证：平面；(2)若，，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，证明出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）取的中点，连接，分析得出，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】(1)证明：连接交于点，连接，则为的中点，因为四边形为菱形，则，因为，为的中点，则，，平面，平面，则，，，平面.(2)解：取的中点，连接，因为四边形为菱形，，则，且，故为等边三角形，因为为的中点，则，因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，则，设平面的法向量为，，，则，取，则，，由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为.19．自中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议提出“坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位”的发展战略以来，某公司一直致力于创新研发，并计划拿出100万对，两种芯片进行创新研发，根据市场调研及经验得到研发芯片后一年内的收益率与概率如下表所示：收益率10%20%30%概率研发芯片的收益（万元）与投资额（万元）满足函数关系．(1)若对研发芯片投资60万，芯片投资40万，求总收益不低于18万元的概率；(2)若研发芯片收益不低于投资额的10%，则称芯片“研发成功”，否则为“研发失败”，若要使总收益的数学期望值不低于10.5万元，能否保证芯片“研发成功”，请说明理由．（参考数据：）【答案】(1)0.3；(2)能，详见解析.【分析】（1）由题可得对芯片投资的收益，进而可得投资芯片的收益率不低于，结合条件可得；（2）若对芯片投资万元，则可得，然后可得投资芯片获得收益的分布列，进而可得投资总收益的数学期望值，结合条件列出不等式，即可判断.【详解】(1)设“总收益不低于18万元”为事件M，对芯片投资40万的收益为（万元），要使总收益不低于18万元，则投资芯片的收益不低于12万元，即收益率不低于，由表可知，即总收益不低于18万元的概率为0.3；(2)若对芯片投资万元，则，要保证芯片“研发成功”，需满足，解得或（舍去），故，对研发芯片投资万元，则投资芯片获得收益的分布列为收益概率对研发芯片投资收益的数学期望为，则投资总收益的数学期望值为，由，可得（负值舍去），满足，所以能保证芯片“研发成功”.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为A，若，且椭圆的长轴长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形，从而可得，从而求得，再根据求得，结合长轴长即可得出答案；（2）设，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，再根据，分析运算从而可得出答案.【详解】(1)解：由题意可知为等腰直角三角形，，则，故，所以，又因椭圆的长轴长为，即，所以，所以椭圆的标准方程为；(2)解：设，联立，消得，则，所以，令，则，故，因为，所以，所以.21．已知函数．(1)从下列条件中选择一个作为已知条件，求的单调区间；①在处的切线与直线垂直；②的图象与直线交点的纵坐标为．(2)若存在极值，证明：当时，．【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为；(2)详见解析.【分析】（1）由题可得，结合条件可得，进而可得，然后利用导数与单调性的关系即得；（2）令，分类讨论利用导数研究函数的性质可得，当时，存在极值，进而利用导数求的极小值，结合条件即证.【详解】(1)∵，定义域为，∴，选①，由在处的切线与直线垂直，∴，故，所以，由，可得，所以当时，，当时，，故函数的单调减区间为，单调增区间为；选②，，令，可得，即，所以，由，可得，所以当时，，当时，，故函数的单调减区间为，单调增区间为；(2)由上可知，令，则，由，可得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，，函数单调递增，没有极值，当时，，且，因为，故有唯一的零点，且，由可得，即，当时，，，当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，，所以，即.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．(1)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；(2)过的直线与曲线交于，两点，求中点的极坐标方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）将曲线的参数方程化为直角坐标方程，再由极坐标公式化为极坐标方程；（2）设，由向量的知识和几何关系知，运用向量数量积运算可求得方程为，再由极坐标公式化为极坐标方程.【详解】(1)曲线的普通方程为：，即，所