2023届高考数学全国卷核心考点强化训练12讲12-极坐标与参数方程

极坐标与参数方程一．极坐标题型1.记忆第1类：恰好过极点的圆在极坐标中，圆心在，半径为的圆：在极坐标中，圆心在，半径为的圆：典例.1如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.第2类：恰好过极点的直线的极坐标方程：题型2.化出极坐标方程.由，可先得出直角坐标方程再化成极坐标.典例2.圆心在，半径为的圆；（2）；（3）过点，倾斜角为的直线；（4）.题型3.求出极坐标方程.建，设，限，代，化.典例3．在极点为O的极坐标系中，直线上有一动点P，动点M在射线OP上，且满足，记M的轨迹为C．（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；二．极坐标的应用（画好图）1.算长度：极径的几何意义.典例4．已知曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：（），曲线与直线相交于两点，则为（）A． B． C． D．2.算面积:极径与极角的几何意义.典例3.（2）若，，均在曲线C上，求的面积．参数方程题型1.莫消参.当发现曲线的参数方程较复杂，同时题干主要涉及该曲线上的几个特殊点时（如与坐标轴的交点或坐标原点）可不必消参.如何求曲线与坐标轴的交点或水平，竖直线的交点或判断其是否过一个特殊点.典例4.已知曲线参数方程为，则该曲线被直线所截得的弦长为（）A.B.C.D.（3）（1）（2）.由于，故，所以有：.3.代入消参：（4）.1.求曲线上动点到直线的最大（最小）距离.典例5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．2.求动点的轨迹方程（相关点法）.典例6.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．3.直线参数方程的几何意义.(1)过点，倾斜角为的直线的参数为(2)由为直线的倾斜角知.2．直线参数方程中参数的几何意义参数的绝对值表示参数所对应的点到定点的距离，其中(1)当方向朝上时，．(2)当方向朝上时，，(3)当与重合时，.为直线上两点，其对应的参数分别为，线段的中点为，点所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：（1）；（2）；（3）（3）（5）【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数的系数的平方和为1时，才有几何意义且其几何意义为.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长.练习题1．在极坐标系中，点到直线的距离为（）A．3 B．4 C．2 D．12．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆的极坐标方程为A． B． C． D．3．已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为（）A．2 B．4 C． D．4．已知曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：（），曲线与直线相交于两点，则为（）A． B． C． D．5．已知点的直角坐标是，则点的极坐标是__________．6．在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，若，则实数的值为.7．在极坐标系中，已知两点的极坐标为,则（其中为极点）的面积为_____________.8．在极坐标系中,过点作圆的切线,则切线的极坐标方程是__________.9．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．10．在直角坐标系中，直线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为：.（1）求的极坐标方程和的普通方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，又：与轴交点为，求的面积.11．如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.12．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，动点在直线上，将射线逆时针旋转得到射线，射线上一点，满足，点的轨迹为曲线，（1）求曲线的极坐标方程；（2）设射线和射线分别与曲线交于两点，求面积的最大值.13．如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．14．已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.参考答案1．D2．A3．D4．B5．6．或.7．8．.9．解析：（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）将代入得得，所以因为的半径为1，则的面积为10．【详解】（1）∵直线：∴直线的极坐标方程为：，又∵的极坐标方程为：∴即的普通方程为：；（2）联立与的极坐标方程，设，则有，∴∴，，，又∵直线的极坐标方程为，∴直线的一般方程为，即，又∵：与轴交点为，∴∴点到直线的距离为，∴.11．【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.，,.(2)解方程得，此时P的极坐标为解方程得或，此时P的极坐标为或解方程得，此时P的极坐标为故P的极坐标为,,,.12．【详解】（1）设，则，因为动点在直线上，所以，整理得：，即曲线的极坐标方程为；（2）因为射线和射线分别与曲线交于两点，设点，则，，，，当时，的最大值.13．【详解】（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN|＝|．显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直