辐射探测中的统计学详解演示文稿

辐射探测中的统计学详解演示文稿1目前一页\总数九十三页\编于十九点优选辐射探测中的统计学2目前二页\总数九十三页\编于十九点过程的随机性结果的统计性每次测量得到的结果都是有同有异的异结果（例如计数值）是不同的：100，99，103，98，100……当然，偶尔也会有相同的结果同服从同样的统计分布在同样的测量条件下，不同次的测量结果之间存在的差异，称之为统计涨落——fluctuation。统计涨落是辐射测量过程中的内在属性，是无法消除的。统计涨落决定了辐射测量过程精度的极限，实际的精度只能比这个精度差（因为还要再考虑其它客观因素的影响）研究统计规律的意义：探测装置是否正常？不同次测量，结果过分不一致，仪器可能不稳定不同次测量，结果过分一致，也有问题“猜测”！如何理解测量结果——单次测量结果提供了什么信息？如何确定实验条件，例如：为了测源的活度，测量时间应为多久？3目前三页\总数九十三页\编于十九点辐射测量过程中的统计规律√§7.1 概率论基础知识§7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布§7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布§7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落§7.5 辐射粒子与信号的时间分布§7.6 计数统计误差的传递§7.7 测量数据的检验4目前四页\总数九十三页\编于十九点§7.1 概率论基础知识一些基本概念分布函数与数字表征几种典型的概率分布随机变量的运算与组合5目前五页\总数九十三页\编于十九点一.一些基本概念：随机事件、概率和随机变量随机试验：一定条件下的每次观测。随机事件：随机试验的各种结果。随机变量：代表随机事件的数量ξ。样本：由N次测量中随机变量的取值构成：6目前六页\总数九十三页\编于十九点概率实验的平均值：概率：描述在某种随机试验中的各个随机事件出现的可能性出现事件A的次数总试验次数事件A发生的概率7目前七页\总数九十三页\编于十九点随机变量随机变量可以分为两类：离散型随机变量：可取值是有限个或“可列个”分立的数值。该类型随机变量用ξ表示，其可取值用xi表示。连续型随机变量：可取值是整个数轴或某一区间内的所有数值。连续型随机变量及其可取值则用X和x表示。8目前八页\总数九十三页\编于十九点二.随机变量的分布函数与数字表征离散型随机变量ξ连续型随机变量X可取值分布函数概率分布概率密度函数相互关系归一性9目前九页\总数九十三页\编于十九点数字表征随机变量有两个重要的数字表征：数学期望方差数学期望：E(ξ)或E(X)，简称为期望，又称为平均值、均值。描述的是随机变量的平均值。对于离散型随机变量ξ，其数学期望的定义为：对于连续型随机变量X，其数学期望的定义为：10目前十页\总数九十三页\编于十九点算术平均值：将若干次实验中随机变量所取的数值加在一起，再用实验次数除后，得到的平均值成为算术平均值。算术平均值→数学期望：当实验次数无限增加时，算术平均值将无限的接近数学期望。11目前十一页\总数九十三页\编于十九点方差、均方根偏差方差：D(ξ)或D(X)，描述的是随机变量偏离其均值的程度。在应用中引入与随机变量具有相同量纲的量，它是方差的平方根，称为标准差、均方根偏差，记作：对于离散随机变量ξ，其方差D(ξ)为：对于连续型随机变量X，其方差D(X)为：12目前十二页\总数九十三页\编于十九点相对均方偏差相对均方偏差在实用中，我们会经常用到相对均方偏差（与以后将要学习到的能量分辨率有关），也称为相对均方涨落。相对均方偏差：相对均方根偏差：方差反映的是随机变量在绝对意义上的分布离散程度。相对方差反映的是随机变量在相对意义上的分布离散程度。13目前十三页\总数九十三页\编于十九点相对均方根偏差(示例)期望值：400实测平均值：401.16均方根偏差：20.68相对均方根偏差：5.17%期望值：100实测平均值：100.54均方根偏差：9.66相对均方根偏差：9.66%√相对离散度小，测量结果更精确哪个结果更精确14目前十四页\总数九十三页\编于十九点一些相似概念的区分偏差(deviation)和残差(residual)偏差残差期望值平均值当真值未知的情况下，一般以残差代替偏差。15目前十五页\总数九十三页\编于十九点准确度与精密度准确度(accuracy)测量值与被测对象真值的一致程度。可用测量值的平均值与真值的差来描述。精密度(precision)测量的可重复性或可靠性。可用测量的均方偏差来描述。2008北京：4.4环2004雅典：脱靶（普拉纳尔）埃蒙斯16目前十六页\总数九十三页\编于十九点系统误差与偶然误差系统误差(systematicerrors)由于：仪器本身的不准确或实验方法粗略或实验原理不完善而导致的测量值与实际值之间的误差。系统误差难于发现。无法通过统计的方法来进行分析，因为所有的数据都同时偏大或者偏小。偶然误差(randomerrors)由于各种偶然因素对：实验者测量仪器测量对象的物理量构成影响而导致的测量误差。利用大量的实验数据，可以实现对偶然误差的统计分析。偶然误差可以对通过对大量测量值进行平均的方法来进行削弱。所有的实验结果都有系统误差和偶然误差的问题!17目前十七页\总数九十三页\编于十九点系统误差影响测量的准确度偶然误差影响测量的精密度在核辐射的测量中，偶然误差是一项主要的误差，其来源有二：核事件的随机性导致的统计涨落；测量仪器在正常工作条件下的测量误差；其中，统计涨落是由核事件的内在物理属性所决定的，无法消除。关于偶然误差18目前十八页\总数九十三页\编于十九点三.几种常用的概率分布在本课程中将会遇到的几种概率分布：二项分布(BinomialDistribution)泊松分布(PoissonDistribution)高斯分布(GaussianDistribution)

或者称为

正态分布(NormalDistribution)伯努力试验(Bernoullitrial)19目前十九页\总数九十三页\编于十九点伯努力试验伯努力试验(Bernoullitrial)一次试验，其结果只有两种可能，A和A’：例如：投掷硬币，正面朝上还是背面朝上？新生的婴儿，是男孩还是女孩？蚊子在经受杀虫剂后是否会死掉？一个原子核在经过时间T之后，是否发生了衰变？衰变的概率：p没有衰变的概率：1-p将这样的试验重复做N次，如果各次试验的结果互不影响，就得到了N重伯努力试验。20目前二十页\总数九十三页\编于十九点伯努力试验、二项分布N重伯努力试验：数学期望：……t=012Nt=T123x-1xp……方差：当p很小时，方差：x的取值范围为：x=n的概率为：若每个原子核在T时间后发生衰变的概率为p以x表示在T时间后发生衰变的原子核的数目，则：二项分布21目前二十一页\总数九十三页\编于十九点二项分布、泊松分布若N很大(≥100)，p很小(≤0.01)时：N很大p很小N>>n二项分布→泊松分布二项分布的期望值22目前二十二页\总数九十三页\编于十九点泊松分布泊松分布只有一个参数，即数学期望值m方差：m均方根偏差：不同期望值的泊松分布23目前二十三页\总数九十三页\编于十九点高斯分布当m>>1时,泊松分布可以简化为高斯分布泊松分布高斯分布24目前二十四页\总数九十三页\编于十九点例题源发射粒子的数目服从泊松分布，用泊松分布来做的难处是什么？25目前二十五页\总数九十三页\编于十九点例题解：所求概率当K=1,2,3时，相应的概率分别为0.683,0.955,0.99726目前二十六页\总数九十三页\编于十九点四.随机变量的运算与组合复杂随机变量往往可以分解为由若干简单的随机变量运算、组合而成。可用已知的简单随机变量的分布函数与数字表征来求复杂随机变量的分布函数和数字表征。27目前二十七页\总数九十三页\编于十九点相互独立随机变量的运算组合设随机变量Y=f(X1,X2,...,Xi,...,Xn)是若干随机变量X1,X2,...,Xi,...,Xn的函数，其函数的表达形式可以是这些变量的四则运算，也可能是更复杂的函数形式；Y的可取值及其概率分布是受各Xi的可取值和概率分布共同决定的。一般来说，Y的概率分布是比较复杂的；一些简单情况下Y与Xi的概率分布或数字表征之间的关系：相互独立的随机变量的和与差的方差是各随机变量的方差的和。相互独立的随机变量的积的方差并非是各随即变量的方差的积。相互独立的服从泊松分布的随机变量之差常数不服从泊松分布服从和28目前二十八页\总数九十三页\编于十九点示例29目前二十九页\总数九十三页\编于十九点串级（或级联）随机变量设对应于试验条件组A定义一个随机变量1对应于另一试验条件组B定义另一随机变量2且二者相互独立按以下规则定义一个新的随机变量：辐射测量中经常会遇到级联、倍增过程的涨落问题这些问题可以用串级型随机变量的概念及运算规则来处理。30目前三十页\总数九十三页\编于十九点再按条件组B作1i次试验，实现了随机变量2的1i个可取值；什么是串级随机变量?先按条件组A作一次试验，实现了随机变量1的一个可取值1i；将这些可取值加起来得到一个值i，并将此值定义为一个新的随机变量的一个可取值；这里，随机变量为随机变量1与2的“串级”随机变量。1为此串级随机变量的第一级2为此串级随机变量的第二级31目前三十一页\总数九十三页\编于十九点串级随机变量的特点(1)期望值：(2)方差：(3)相对方差：重要结论：假如第一级随机变量的数学期望很大，那么就可以忽略第二级随机变量的相对方差对串级随机变量的相对方差的贡献。注意这里！32目前三十二页\总数九十三页\编于十九点串级随机变量的特点(4)由两个伯努利型随机变量1和2串级而成的随机变量

仍是伯努利型随机变量。即

仍是只有两个可取值(0,1)的伯努利型随机变量。

(5)由遵守泊松分布的随机变量1与伯努利型随机变量2串级而成的随机变量

仍遵守泊松分布。若伯努利型随机变量1

的正结果发生概率为

p1,2

的正结果发生概率为

p2，则

正结果发生概率为：设1的平均值为m1,而2的正结果发生概率为p2，则

的平均值为：33目前三十三页\总数九十三页\编于十九点串级随机变量的特点对N个相互独立的随机变量1,2…

,N串级而成的N级串级随机变量，有：可以得到什么启示？串级随机变量的相对均方偏差主要决定于第一级随机变量的相对误差。（成立条件是什么？）闪烁体的分辨率，与PMT阳极收集到的电子数NA有关，NA是三级串级变量：闪烁光子数nph对每个闪烁光子PMT第一打拿极收集到的电子数TPMT的倍增系数M34目前三十四页\总数九十三页\编于十九点√§7.1 概率论基础知识§7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布§7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布§7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落§7.5 辐射粒子与信号的时间分布§7.6 计数统计误差的传递§7.7 测量数据的检验35目前三十五页\总数九十三页\编于十九点§7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布核衰变数的涨落放射性测量的统计误差36目前三十六页\总数九十三页\编于十九点一.核衰变数的涨落放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规律为：在0~t

时间内，原来N0个放射性核中，发生了衰变的核的平均数为：当N0很大时，对一个核而言，它在0~t时间内发生衰变的概率为：37目前三十七页\总数九十三页\编于十九点每一个放射性原子核在时间t内发生衰变是一个概率事件。是伯努力事件!发生衰变的概率：不发生衰变的概率：N0个原子核，彼此之间相互独立，则发生的衰变是N0重伯努力事件，总衰变原子核数N服从二项分布。38目前三十八页\总数九十三页\编于十九点例如137Cs源：半衰期为30.17年在有限的时间t（秒、分、小时、天）范围内，满足二项分布→泊松分布的两个条件：p很小：≤0.01N0很大：≥100所以，在

t

时间内发生的总衰变数N服从泊松分布！对于长寿命核素构成的放射源衰变常数很小总原子核数目很大10μCi的源，总的原子核数目N0为：5.1×1014个39目前三十九页\总数九十三页\编于十九点总衰变数N服从泊松分布：N的期望值：N的方差：泊松分布：“期望值”=“方差”当总衰变数N较大时，泊松分布→高斯分布源的活度较大，即N0较大时间t延长40目前四十页\总数九十三页\编于十九点二.放射性测量的统计误差放射性核衰变具有统计分布探测器输出计数的统计分布辐射探测数据的统计误差射线与物质相互作用过程的随机性因此在某个测量时间内对样品进行测量得到的计数值同样是一个随机变量41目前四十一页\总数九十三页\编于十九点探测器输出脉冲数的统计分布脉冲探测器的特点：输出脉冲数t时间内射入探测器的粒子数放射源在t时间内发射出的总粒子数脉冲计数器的测量过程可以划分为三个基本过程en3为一个三级串级型随机变量。源的发射粒子数n1：0～t时间段内，n1服从泊松分布进入探测器的粒子数n2：n2亦服从泊松分布被探测器测到的粒子数n3：n3服从泊松分布Ωγ未被探测到4π-Ω未射入探测器的γ若源非各向同性，结论依然成立，只是立体角因子要做修正42目前四十二页\总数九十三页\编于十九点结论：放射源在t时间内发射的粒子数n1遵守泊松分布探测器相应的输出脉冲数n3也遵守泊松分布探测器输出脉冲数的平均值为源发射的平均粒子数与几何因子及探测器效率之积如果源非各向同性，上述结论仍然成立，只是立体角（几何）因子需要进行调整探测器输出脉冲数的统计分布43目前四十三页\总数九十三页\编于十九点辐射探测数据的统计误差粒子计数——探测器输出的脉冲信号数目服从统计分布：m较小：～泊松分布m较大：～高斯分布方差为m当m比较大时，m与有限次测量值的平均值或者单次测量值N相差不大。则对标准偏差的估计可以如下进行：注意：这里表示的标准偏差仅仅由统计涨落引起，不包含其它因素引起的标准偏差。44目前四十四页\总数九十三页\编于十九点样本方差是总体方差的无偏估计，可以由样本方差来估计有限次测量的方差σS不仅包括统计误差，也反映了测量过程中其它偶然因素的贡献，可用于数据检验：若计数测量结果遵从泊松分布，则可以表示为：任意一次测量值ni落在区间内的概率为68.3%置信区间置信度在测量过程中：以相对标准偏差来表示测量值的离散程度：45目前四十五页\总数九十三页\编于十九点示例请大家作一个估算：欲使探测器计数测量值的相对均方根偏差（反映数据的精度）达到20%,10%,1%，计数的测量值分别应该达到多少？计数的测量值分别应为：25，100，10000为了提高探测器计数的测量精度，应该怎么办？增大立体角增大探测器的探测效率(本征)增大源强延长测量时间46目前四十六页\总数九十三页\编于十九点√§7.1 概率论基础知识§7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布§7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布§7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落§7.5 辐射粒子与信号的时间分布§7.6 计数统计误差的传递§7.7 测量数据的检验47目前四十七页\总数九十三页\编于十九点电离过程的涨落与法诺(Fano)分布带电粒子射入物质与原子的核外电子发生非弹性碰撞电离过程的涨落：“电子－正离子”对（气体）“电子－空穴”对（半导体）通过库仑力使之电离碰撞是随机性的N次碰撞，N很大，形成的离子对数目为：每次碰撞都是一个伯努力试验：形成离子对或不形成，概率为E0：入射带电粒子能量W：产生一个离子对所需能量。是泊松分布吗？产生的离子对的数目是有涨落的N重伯努力试验二项分布泊松分布48目前四十八页\总数九十三页\编于十九点前述模型比较粗略，并不准确这种电离过程涨落的分布称之为：法诺分布总的碰撞次数是不确定的碰撞过程是不独立的碰撞产生的总离子对数目并不能简单地用泊松分布来表达引入法诺因子(Fanofactor)UgoFanoBornJuly28,1912

Turin,ItalyDiedFebruary13,2001

Chicago,Illinois每次碰撞时所导致的离子对的动能也是不同的仅仅激发，没有电离。电离，离子对的动能是不同的。电离出的电子可以再次发生电离。49目前四十九页\总数九十三页\编于十九点IonizationYieldofRadiations.II.TheFluctuationsoftheNumberofIons，U.Fano(1947)快电子与介质原子的每次碰撞过程中，可能发生的三种情况的能量损失是不同的：激发而不电离电离，但只能发生一次电离，且次级电子也可以发生电离这三种反应各有其相应的反应截面：法诺因子F的范围：1/3～1/2(气体)0.1~0.15(半导体)不同材料的Fanofactor不同，需要依靠实验来测定。离子对数损失能量平均电离能入射粒子连续碰撞的结果之间是相互独立的。Fano因子Fano的结果对于H：F~0.47:100kV电子F~0.43:1kV电子50目前五十页\总数九十三页\编于十九点√§7.1 概率论基础知识§7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布§7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布§7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落§7.5 辐射粒子与信号的时间分布§7.6 计数统计误差的传递§7.7 测量数据的检验51目前五十一页\总数九十三页\编于十九点§7.4粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落探测器有三种主要的工作方式：脉冲型工作方式（对单个粒子进行探测）通过脉冲探测器对逐个辐射粒子进行探测测得的信号与单个入射粒子相对应脉冲计数的个数与入射的粒子数对应单个输出信号的幅度反映入射粒子的能量累计型工作方式（粒子束脉冲）粒子束脉冲在探测器内产生的总电离效果，形成一个大脉冲脉冲幅度与粒子束内粒子数和能量有关。累计型工作方式（稳定粒子束流）稳定粒子束流在探测器内产生的平均电离效应。又称电流型工作方式。输出一个直流电流(电压)信号，该信号的大小一般正比于粒子束流的大小。集装箱检测系统的探测器就是工作在粒子束脉冲的累计型工作方式。52目前五十二页\总数九十三页\编于十九点讨论粒子束脉冲（累计型）总电离电荷量的涨落问题高能物理领域辐射成像领域电子束电子靶入射X射线脉冲被检测物体透射X射线脉冲输出信号探测器eeee以集装箱检测系统为例：9MeV电子加速器轫致辐射（回想第6章）100mA，5μs持续时间3.1×1012个X光子/脉冲立体角：>2.86×10-8(4π)源探距离：10米探测器：6mm×6mm射入探测器的X光子为：n1=8.9×104个X光子/脉冲n1：被探测器测量的光子数目，是个随机变量，泊松分布n1n2n2：每个被探测到的光子在探测器内产生的离子对数目，服从法诺分布。εε：探测器对入射光子的本征探测效率。NN：粒子束脉冲在探测器内形成的离子对数目，与输出信号幅度成正比粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落53目前五十三页\总数九十三页\编于十九点n1in2j输出信号N输出信号N是n1和n2的串级型随机变量其总离子对数平均值相对标准偏差若n1服从泊松分布，n2服从法诺分布54目前五十四页\总数九十三页\编于十九点√§7.1 概率论基础知识§7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布§7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布§7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落§7.5 辐射粒子与信号的时间分布§7.6 计数统计误差的传递§7.7 测量数据的检验55目前五十五页\总数九十三页\编于十九点§7.5辐射粒子与信号的时间分布相邻信号脉冲（或粒子）的时间间隔相邻“进位脉冲”的时间间隔56目前五十六页\总数九十三页\编于十九点一.相邻两个信号脉冲的时间间隔核辐射事件及探测器的计数服从泊松分布单位时间内的脉冲数具有期望值m相邻两个脉冲的时间间隔T是一连续型随机变量T服从什么样的分布呢？对于一个平均计数率为m的情况，其脉冲间的平均时间间隔是多少？单位时间m个信号T：服从什么分布？m个信号(周期信号)tt时间内出现脉冲数为n的概率为：泊松分布脉冲的时间序列57目前五十七页\总数九十三页\编于十九点两个相邻脉冲时间间隔为t的条件：于是有：所以，随机变量T的概率密度函数为：即：0时刻tt+dt0~t…无信号…在第一个脉冲发生后的t时间内没有脉冲发生；在t后的dt时间内有一个脉冲发生。58目前五十八页\总数九十三页\编于十九点相邻两个脉冲时间间隔T服从指数分布。1/mm/em期望值：方差：表明：第二个脉冲出现在短时间内的概率较大。59目前五十九页\总数九十三页\编于十九点下一个信号什么时候到来？前面讲到的是两个相邻信号之间的时间间隔分布（实验员一直在监视、记录着所有信号）。实验员开始观察实验员开始观察Ts：服从什么分布？T：服从指数分布服从同样的指数分布阅读：RadiationDetectionandMeasurementP.98如果选择任意一个时间开始观察，那么下一个信号什么时候到来呢（实验员一觉醒来，什么时候能等到下一个信号呢）？60目前六十页\总数九十三页\编于十九点下一个信号“马上”就来！——你会担心什么？测量系统对入射粒子的有响应时间，叫做分辨时间。要控制计数损失<1%，允许计数率m<1104cps。对分辨时间为1s的系统，要实现控制计数损失<3%

：即分辨时间为1s的测量系统只能记录37%的脉冲！对平均计数率为m=106cps的辐射事件相邻事件的时间间隔大于1μs的概率：61目前六十一页\总数九十三页\编于十九点要控制计数损失<1%，允许的测量系统的最大分辨时间T为：对平均计数率为m=10ncps的辐射事件，要实现控制计数损失<3%

,求允许的测量系统的最大分辨时间T为：若测量系统的分辨时间T为10-(n+1)，则能记录的脉冲为：62目前六十二页\总数九十三页\编于十九点在计数率比较高的时候，需要使用具有进位系数S的定标器来记录探测器的输出。此时，定标器每接受来自探测器的S个信号以后，才会产生一个定标器信号脉冲，称作进位脉冲。0时刻tt+dt0~tS-1个信号二.相邻进位脉冲的时间间隔设进位率为S，则相邻进位脉冲的时间间隔为t的条件为：(1)在第一个脉冲发生后的t时间内有S-1脉冲发生；(2)在t后的dt时间内有一个脉冲发生。进位脉冲探测器“电信号”63目前六十三页\总数九十三页\编于十九点相邻进位脉冲时间间隔T的概率密度函数为：T的期望值：T的方差：T的最可几取值，令：0～t时刻来S-1个信号的概率t～t+dt时刻来1个信号的概率64目前六十四页\总数九十三页\编于十九点65目前六十五页\总数九十三页\编于十九点√§7.1 概率论基础知识§7.2 核衰变数与探测器计数的涨落分布§7.3 电离过程的涨落与法诺（Fano）分布§7.4 粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落§7.5 辐射粒子与信号的时间分布§7.6 计数统计误差的传递§7.7 测量数据的检验66目前六十六页\总数九十三页\编于十九点§7.6计数统计误差的传递在一般的核测量中，常涉及函数的统计误差的计算，也就是误差传递(ErrorPropagation)。若是相互独立的随机变量，其标准偏差相应为，由这些随机变量导出的任何量的标准偏差可以用下面公式求出：下面分析一些常见情况：67目前六十七页\总数九十三页\编于十九点(1)和差关系68目前六十八页\总数九十三页\编于十九点辐射测量中，本底总是存在的。本底包括宇宙射线、环境中的天然放射性及仪器噪声等。这时，为求得净计数需要进行两次测量：样品的净计数为其标准偏差为例如：存在本底时净计数误差的计算第一次，没有样品，在时间t内测得本底的计数为Nb；第二次，放上样品，在相同时间内测得样品和本底的总计数为Ns。69目前六十九页\总数九十三页\编于十九点(2)倍数关系或70目前七十页\总数九十三页\编于十九点例如，计数率的误差：设在t时间内记录了N个计数，则计数率为n=N/t，计数率的标准偏差为：其相对标准偏差为：没有t？71目前七十一页\总数九十三页\编于十九点(3)乘除关系或72目前七十二页\总数九十三页\编于十九点(4)平均计数的统计误差对某样品重复测量k次，每次测量时间t相同(等精度测量)，得到k个计数则在时间t内的平均计数值为：由误差传递公式，平均计数值的方差为：73目前七十三页\总数九十三页\编于十九点多次重复测量结果表达：平均计数的相对标准偏差：t没有显性出现？74目前七十四页\总数九十三页\编于十九点(5)不等精度独立测量值的平均简单的求平均不再合理！需要进行加权平均使测量精度高的数据在求平均值时的贡献大，精度低的贡献小。？如何确定一个合适的权重因子不等精度测量:例如：对计数率进行了k次独立测量各次测量的时间并不相同，分别为ti，计数为Ni得到不同的ni75目前七十五页\总数九十三页\编于十九点先求各次测量的计数率及方差：可以设各次测量的权重为：设可以证明这是最佳权重方式76目前七十六页\总数九十三页\编于十九点计数率的加权平均值为：标准偏差为：相对标准偏差为：t没有显性出现？77目前七十七页\总数九十三页\编于十九点结果表示为：如果k次测量的时间均相等，则测量为等精度测量：

重要结论：就统计误差而言，无论是一次测量还是多次测量，只要总的计数相同，多次测量的平均计数率相对误差和一次测量的计数率的相对误差是一致的。78目前七十八页\总数九十三页\编于十九点示例：不等精度下的加权平均测量时间（秒）12345678910计数13253735488078799682计数率（cps）1312.512.38.759.613.311.19.8810.78.2测量时间（秒）11121314151617181920计数103115133114154182177175195198计数率（cps）9.369.5810.28.1410.311.410.49.7210.39.9计数率的简单平均结果：10.43cps计数率的加权平均结果：10.09cps进行一次不等精度测量的模拟实验：在模拟实验中，计数率的期望值为：10cps20次测量，测量时间分别为1，2，3，……，20秒，总测量时间为210秒。79目前七十九页\总数九十三页\编于十九点加权平均：计算所得期望值：10cps标准偏差：0.22cps简单平均：计算所得期望值：10cps标准偏差：0.30cps进行10000次模拟实验，利用简单平均和加权平均得到的计数率结果为：示例：不等精度下的加权平均80目前八十页\总数九十三页\编于十九点(6)存在本底时净计数率误差的计算第一次，在时间tb内测得本底的计数为Nb；第二次，在时间ts内测得样品和本底的总计数为Ns。样品的净计数率为：标准偏差为：相对标准偏差为：81目前八十一页\总数九十三页\编于十九点