【数学竞赛】七年级数学思维探究(13)一元一次不等式(组)

b≥0≥丘成桐，当代数学大师，现任哈佛大学客座教授，因解决了卡拉比猜想、正质量猜想等众多难，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支1983年菲尔兹奖，2010年沃夫奖，是第一位兼得两项奖的华裔数学家，他说“我研究数学，就是因为它很b≥0≥．一元一次不等式（组）解读课标面对大量的同类量，最容易使人想到的就是它们有大小之分，不等式是现实世界中不等关系的种数学表示形式，既是现阶段学习的重点内容，又是后续学习的重要基础．不等式与方程都是反映客观事物变化规律及其关系的模型，类比等式是学习不等式的重要方法等式两边都乘（或除）以同一个数时，仅需考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘（或除）同一个数时，既要注意这个数是否为零，又要考虑这个数的正负性；解方程组时我们可以对几个方进代入或加”的加工而不等式组时们能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，得不等式组的解集．问题解决例（1）已知不等式3≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的值范围；（2已知关于的等式组5x≥

无解，则a的值范围是_．试一试对于题知不等式的解在≤x的围内；对于数上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分．例（1）若关于

的不等式

的解集为，

的值为（A0

B

C．或2

D．≥（2若不等式组1x

有解，则a的值范围是（AaB．a≥．a≤D．a试一试由不式的解集建立a的式与不等式．例解列于x不等式（组（1

≤2

；（2

．试一试对于≥0、两情况讨论，去掉绝对值符号；对于为的形式，再就

a

的正负性讨论．例已3b，关于不等式ax3试一试由条先求出ab的值．

的解集．例已a、、c是三个非负数，并且满足3ab，ac，mac，记为m的大值，为最小值，求xy的．

分析本例合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的数式来表示m，过解不等式组，确定这个字母的取值围，在约束条件下，求出x，的．b解由件得2c,

c解得bc,

则c．≥由得

7≥7≥≥0

75，解得≤≤，而x，y，故xy1111777

．感悟不等例甜料有糖的质量分数，那么，给糖水添上一点糖，糖水就更甜了．请把这一生活常识用数学式子表达出来．分析与解从生活常识数学不等式历经以下三个步骤：（1用字母

a

、b

表示相应的量；a（2根据质量分数的定义，写出加糖前后的质量分数，；

1a1（3“甜”表示为不等式b

，其中ba，m0．进一步追问：（1怎样证明上述不等式？（2将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数变大了吗？数学冲浪知识技能广场a．若不等式组2≤0

有解，则的值围________________．2．若不等式组bx

的解集是x，则

____________．≥0．已知关于x的等组5

只有4个数解，则的值范围__________．n小杯中依次盛有，b…，克水，并且分别含糖a，，，a克．若这杯水的浓度a相同，则有连等式：．bb现将这杯水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度还是一样的，这个尽人皆a知的事实，说明了一个数学定——比定理：若，bab

abbb

．a若这n杯水的浓度互不相同，不妨，现将这b糖水的浓度一定大于__________且小于___________．

杯糖水合到一个大空杯中，则合杯这个尽人皆知的事实，又说明了一个数学定——等比定理：若

ab

，则__________．．若不等式2x4的集能使关于的一次不等式

x

成立，则的值范围是（A1≤B．a≤7C．或a≥7D．．若a则下列式子中正确的是（1AB．Ca

D．．若方程组

4yx

的解满足条件

0x

，则取值范围是（A．0CkD．．不等式组

xxxm

的解集是2，

的取值范围是（Am≤2

B≥2

C．m≤1Dm．试确定

的取值范围，使不等式组a2．解下列关于x的等

只有一个整数解．

yy（1yy

≤3

；（2

ax≥ax

．11．已知关于、的方程组

xy2xy

的解满足

xy

，化简

3

．思维方法天地．关于的等式

x

的所有非负整数解的和为_______________．．当a时不等式axx的解集是x，___________．c．若实数a、、c满a，的取值范围．．已知非负数、、c足条件a，ac，sab7c的大值为m，最小值为，的值____________．．已知a、b为常数，若0的集为

13

，则bx的集是（AB．x．xD关于

的不等式组

7≥06x

的整数解仅为3么合这个不等组的整数对

n共有（A49对B．对．36D．13对3．关于的等式组只个数解，则

的取值范围是（111111AB．≤C≤D．≤≤．若

a

、b为数，则下列命题中正的是（Aa

Ba

C．a

Daba

．已知

25x≥32

，求

x

的最大值和最小值．．已知非负数

，，

满足

x2y4

，设

wz

，求

w

的最大值与最小值．应用探究乐园．探索：先观察并计算下列各式，在空白处填“、、，完成式后的问题．①2，4__________2，7

，

2…试用含有

、b的子表示述规律________________．②

27，

27，

，

27，试用含有a、bc的子示上述规律____________________．应用：用边长为的正方形铁片，在四个角上剪去四个长相同的小正方形，然后将对边剩余部分分别折起来（如图做一无盖的长方体盒，问怎样剪可使得到的盒子的容积最大？最大容积为多少？

x知整数xxx

满足①≤x≤2

n

；③x1求x

2

2008

．的最大值与最小值．

问题解决a例（1）由≤3

．一元一次不等式（组），得9≤a12）a≥30例（1）A由条件得,

，推得a）A．≥0例（1）由得≥；得，盾．故原不等式的解集x≤2,2≤≥4为≥8；（2）由原不等式得

，当，

n时，其解集为x2

；当2，即

3n3时解为2m即时且解集为有数222

且≤3时原不等式无解．例x数学冲浪．．1．≤aaa．；；bbbb．A．．A．．a≤2）≤x≤）0，即x当a时解集为当0时解集为切数．11．当2≤3时原式3；当≥时原式2a2．原不等式等价于2．2

1；当0时解集为xa

；．

1a

由条件得0aa，aa．．，n12，ms，≤c≤．B

m．B由≤x6共有对．．

，得m，，3，4，5，，7；19，，21，2223，24

n．解不等式得≤，原式≤

，从而知最大值为，最小为

311

．

．设

xz34

，则2，

y

≥，4，题意得≥0≥,2解得≤≤，于是3

w

．21所以≤k≤，即≤w≤33

，故w的最小值为19，大值为

13

．．①

；

；

；

≥2

（，等号成)②

；

；

；abc（时等号成立)．设长方体盒子的容积为，小正方形的边长为

，则有1x1515Vx30xx≤2000时