2023年高考数学一轮复习教书用书第一章　集合与常用逻辑用语、不等式

主题一宝一章集合与常用逻辑用语、不等式

预备知识(必修第一册)

第1节集合

©:课程标准要求

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形

语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体

情境中了解全集与空集的含义.

3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集

与交集；

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;

⑶能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图

形对理解抽象概念的作用.

⑨亚激吻夯实四基

必备知识•课前回顾

IA知识梳理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号反和生表示.

(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N.）ZQR

■释疑

图表中所列举的字母符号均是集合的形式,不要加(｝,这是因为｛R｝不

是实数集,它表示一个集合,该集合中只有一个元素R.

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

如果集合A中任意一个元素都是

AGB或

子集集合B中的元素,称集合A为集o

B2A或诬^

合B的子集(即若x£A,则x£B)

如果集合AGB,但存在元素x£

A-B或

真子集B,且x阵A,则称集合A是集合B

BgA

的真子集

如果集合A的任何一个元素都是

集合集合B的元素，同时集合B的任

A=B

相等何一个元素都是集合A的元素，

那么集合A与集合B相等

■释疑

(DACB包含两层含义:AgB或A=B.

(2)0是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图

由所有属于集合A且属于集合B的AAB=

交集元素组成的集合,称为集合A与B的{x|x£A,cIAnn

交集,记作AAB且x£B}

由所有属于集合A或属于集合B的AUB=

并集元素组成的集合,称为集合A与B的{x|x£A,cIAUB5

并集,记作AUB或x£B}

对于一个集合A,由全集U中不属于

CiA=

集合A的所有元素组成的集合称为7

补集{x|xWU,

集合A相对于全集U的补集,记作匚3]

且x阵A}

uA

4.集合的重要性质

⑴AGA=A,AG0=0,AGB=BGA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)AA((uA)=0,AU([uA)=U,[u([uA)=A.

_重要结论

1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为21；真子集

个数为2-1,非空真子集个数为2-2.

2.AGB,AnB=A,AUB=B,CuBSCuA以及An([4)=。两两等价.

3.Cu(AGB)=([„A)U(CuB),Cu(AUB)=(CuA)n([⑻.

-j对点自测三—

1.(2021•新高考I卷)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则AGB

等于(B)

A.{2}B.⑵3}C.{3,4}D.{2,3,4}

解析：由2GA,3£A,44A,5阵A,可得AHB={2,3}.故选B.

2.(必修第一册P9习题1、2T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集

合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(，P)UQ等于(C)

A.{1}B.{3,5}

C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}

解析：根据补集的运算得(13P={2,4,6},所以(［甫)UQ-{2}4,6)U

{1}2,4}={1,2,4,6}.故选C.

3.已知集合A={1,2,5,6},B={5,X},若BGA,则X可以取的值为

(D)

A.1,2B.1,6

C.2,6D.1,2,6

解析：由BCA和集合元素的互异性可知,X可以取的值为1,2,6.故

选D.

4.(2021•云南昆明一中高三月考)已知集合A={(x,y)|x-y=0},B=

{(x,y)|-2x+y=3},则AGB等于(C)

A.(-3,-3)B.(3,3)

C.{(-3,-3)}D.{(3,3)}

=0,

解析：联立方程组卜及+，=3'解得x=-3,y=-3,所以AAB=

{(-3,-3)}.故选C.

12

5.已知集合A={x£N|y=*+3eZ},则列举法表示集合A=,集合

A的真子集有个.

12

解析：因为y=x+3ez且x£N,所以x=0或1或3或9,所以列举法表示

集合A为{0,1,3,9）,所以集合A的真子集个数为2,-1=15.

答案：{0,1,3,9}15

关键能力•课堂突破美“支砥实国

岐等点T集合的概念与表示

1.（多选题）下列各个说法中，正确的是（CD）

A.高三（1）班所有高个子的同学可以构成一个集合

B.若m£N,n£N且mWn,则m+n的最小值为2

C.四个集合合x=l},{y|（y-l）2=0},{x=l},{1}所表示的含义不完全

相同

D.若{x|x2+ax+b=x}={l},则a=-l,b=l

2.（2021•四省名校高三联考）已知集合人={区y）|yw"?,x,y£

N},则集合A中元素的个数为（B）

A.3B.4C.5D.6

解析：由已知可得满足条件的点有（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）,共4个,

所以集合A中的元素共有4个.故选B.

3.（2021•河北石家庄模拟）已知集合A={0,a+b,可，B={0,l-b,1},a,b

£兄若人=8,则a+2b等于（D）

A.-2B.2C.-lD.1

7z+b=l-b,

解析：因为A=B，①当a时,

1

解得a=b=3,所以a+2b=l.

"a+b=1,

②当白-=1-b时，

[a=0,

解得5=1,此时A={0,1,0),与集合中元素的互异性矛盾.

综上，a+2b=1.故选D.

4.已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x£A,yeA,y-x£A},则集合B中

的元素的个数为(C)

A.4B.5C.6D.7

解析：因为集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|xGA,y£A,y-xGA),所以当

x=l时,y=2或y=3或y=4,当x=2时，y=3或y=4,当x=3时，y=4,所以

集合B中的元素个数为6.故选C.

5.已知集合A={a+2,(a+l)2,a2+3a+3},若1£A,则2023a的值

为.

解析:①若a+2=l,即a=-l,则(a+l)2=0,a2+3a+3=l,不满足集合中元素

的互异性；

②若(a+1尸=1,则a=-2或a=0,

当a=-2时，则a+2=0,a2+3a+3=l,不满足集合中元素的互异性；

当a=0时，则a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意；

③若a2+3a+3=l,则a=-l或-2,由①②,可知均不满足集合中元素的互

异性.综上,实数a的值为0,故2023”的值为1.

答案：1

一题后悟通

1.求解描述法表示的集合问题,首先要明确构成集合的元素以及元素

满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.常见的集合的意

义如下表:

{x|f(X){x|f(X){x[y=(y|y={(x,y)1

集合

=0}>0}f(x)}f(x)}y=f(x)}

函数y=

方程不等式函数y=函数

集合的f(x)图

f(x)=0f(x)>0f(x)的y=f(x)

意义象上的

的解集的解集定义域的值域

点集

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,

要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

3.求解集合相等问题,要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.

圜考点二集合间的基本关系

1.(2021•山东潍坊高三联考)已知集合人={-1,0,l},B={(x,y)|x£

A,y£A)£N},则集合B的子集个数为(D)

A.4B.8C.13D.16

解析：因为x£A,y£A,，£N,所以满足条件的有序实数对为

(-1,-1),(0,-1),(0,1),(1,1).由于集合B中含有4个元素，因此集合

B的子集个数为2'=16.故选D.

2.(2021•江西重点中学协作体模拟)已知集合人=仁4-5x-6<0},若

BGA,则B可以是(D)

A.{x|-2<x<0}B.{x|x<6}

C.{x|x>-l}D.{x|0<x<2}

解析：因为x?-5x-6<0,所以-l<x<6,所以A={x|-l<x<6},因为BGA,则B

可以为{x|0<x<2}.故选D.

ic1k2

3.设集合加极限二+片,1<£2},加{*鼠=忆+各,1<£2},贝1」(B)

A.M=NB.McN

C.NGMD.无法确定

k1

解析：由集合M={x|x=3+fik£Z}得

k12i+l

X=3+6=6,分子是奇数，

k2

由集合N={x|x=6+3,k£Z}得

k2k+4

x=k+工7一,分子可以是奇数也可以是偶数,则MCN,故选B.

4.已知集合A={x|TWxW3},集合B={x|1-mWxWl+m}.若BUA,则m

的取值范围是（A）

A.（-8,2]B.[-1,3]

C.[-3,1]D.[0,2]

（I-mN-1,

解析：当m20时,要满足BGA,只需ll+mW工解得0WmW2;当m<0

时，所以此时B=0,满足BCA.综上,m的取值范围为mW2.故

选A.

一题后悟通

1.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合，只需

要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系,对于用描述法表示的

集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要

统一形式后判断.

2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化

为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.合理利用

数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时,

一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.

中考点三集合的基本运算

口角度-给定具体集合的基本运算

⑴（2021•广东深圳高三二模）已知A={x£N|x<7},B={5,6,

7,8}，则集合AUB中的元素的个数为（）

A.7B.8C.9D.10

（2）（2021•安徽合肥高三三模）已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5）,

B={-2,0,1,2}之间关系的Venn图如图所示,则图中阴影部分表示的

集合为（）

A.{-2,0}B.{-2}

C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1}

解析：(1)由A={x£N|x<7}可知A={0,1,2,3,4,5,6},结合B={5,6,7,

8},因此AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8},共9个元素.故选C.

(2)由题意画出Venn图，如图所示.则阴影部分的集合为{-2,0}.故

选A.

1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其

关系并进行运算.

2.涉及与集合的补集有关的集合运算问题,要求出补集后再求解.

3.由Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的

运算关系后再求解.

4.若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交

集问题,可以利用解方程组的方法求解,涉及点集时,也可以利用列举

法求解.

口角度二含参数的集合运算

CSB）（1）（2021•广东江门高三调研）已知集合人={1,2}8=瓜同，

若AGB={5}，则AUB等于（）

11

A.{1,2}B.{-1,2}

11

C.{-1,1,2}D.{b,1,2}

2

(2)(2021•宁夏高三联考)已知集合A={1,a(aeR)},B={-l,0,1},若

AUB=B，则A中元素的和为()

A.0B.1C.2D.-l

(3)(2021•安徽示范高中高考模拟)若集合A={x|x<a},B={x|lgx》

0},且满足AUB=R,则实数a的取值范围是()

A.(1,+8)B.[1,+°°)

C.(0,+8)D.[0,+8)

i1

解析：⑴因为集合A={1,2}且ACB={Z,所以2a=2解得a=-l,则

1

b=2

1

所以41^={-1,1,才.故选C.

(2)因为AUB=B,所以AGB,所以a2=0,则a=0,所以A={1,0},

因此集合A中元素的和为0+1=1.故选B.

(3)因为集合A={x|x<a},B={x11gx20},所以由题意得B={x|xel},

因为AUB=R,所以a》l.所以实数a的取值范围是[1,+8).故选B.

解题策略

求解含参数的集合运算问题,主要有以下方法

(1)涉及离散的集合运算求参数，要注意所求参数是否满足集合中元

素的性质.

⑵与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集

合之间的关系.

⑶涉及与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参

数有关的不等式（组），此时要注意集合端点的取值.

口角度三抽象集合的运算

（S运）（1）（2021•江苏、福建等八省高三联合模拟）已知M,N均为R

的子集,且CRMCN,则MU（CRN）等于（）

A.0B.MC.ND.R

（2）（2021•百校联盟高三联考）已知全集为U且P,Q为U的子集,PG

（CuQ）=P，则QG（luP）等于（）

A.oB.PC.QD.U

解析：（1）法一因为［RMGN,所以M3CRN,所以MU（CRN）=M.故选B.

法二如图，由〔RMCN易知MU（CKN）=M.

⑵由题意可知全集为U,

P,Q为U的子集，

且PG（1「Q）=P,

如图所示,可得Qn（uP=Q.故选C.

解题策略

涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图，

结合Venn图求解.

［针对训练］

1.（2021•河南新乡高三一模）已知集合人=匕,22-2,0}5={2",2+1）},若

AGB={-1},则b等于（）

A.-lB.-2C.0D.1

解析:因为AGB={T},所以-1GA,-1QB.又a=-l或a-2=-l,且ar

a2-2W0,得a=l.因为2a>0,所以a+b=T,即b=-2.故选B.

2.（2021•山东滨州高三二模）设全集

U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3},B={x|（x-3）（x-2）=0},则图中阴影部分

所表示的集合为（）

A.{-3,2,3}B.{-3,-2,0,2)

C.{3}D.{-2,0}

解析:因为B={x[(x-3)(x-2)=0}={2,3},A={-3,3},

所以AUB={-3,2,3},又全集U={-3,-2,0,2,3},所以图中阴影部分所

表示的集合为[u(AUB)={-2,0}.故选D.

3.若集合M={(x,y)|3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0}，则()

A.MAN=MB.MUN=M

C.MUN=ND.MAN=0

解析：因为集合M={(x,y)13x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},

俨=。，

因为V+尸一=0,所以MAN={（0,0）}=N,所以MUN=M.故

选B.

4.（2021•江苏连云港高三联考）若非空且互不相等的集合M,N,P满

足：MGN=M,NUP=P，贝!JMUP等于（）

A.0B.MC.ND.P

解析：由MGN=M可得,MGN,NUP=P可得NGP.故MGP.因此MUP=P.

故选D.

■备选例题

CffiD(2021•湖北武汉模拟)已知全集1]=仁£用0&<8}^^(CuB)=

{1,2},Cu(AUB)={5,6},BPI(C£)={4,7},则集合人为()

A.{1,2,4}B.{1,2,7}

C{1,2,3}D.{1,2,4,7)

解析:U={1,2,3,4,5,6,7},根据题意得到如图所示的Venn图，

所以A={1,2,3}.故选C.

CW(2021•山东潍坊三模)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},

B={3,4},则集合⑸等于()

A.CU(AUB)B.(C由U(C而

C.(CuA)UBD.(C,B)UA

解析:AUB={1,2,3,4},则[v(AUB)={5},故选项A正确;[£={3,4,5},

C出={1,2,5},所以([uA)U(C口)={1,2,3,4,5},故选项B错误；[毋=

{3,4,5},所以([uA)UB={3,4,5},故选项C错误；[出={1,2,5},所以

(C/)UA={1,2,5},故选项D错误.故选A.

G®(2021•福建厦门高三二模)已知集合A={La},B={x|log2X<a},

且AGB有2个子集,则实数a的取值范围为()

A.So]B.(0,1)U(1,2]

C.[2,+°°)D.(-°°,0]U[2,+°°)

解析：由题意得B={x|log2x<l}=(0,2),因为ACB有2个子集,所以A

GB中的元素个数为1.

因为(AGB),所以a庄(AAB),即a在B,所以aWO或a22,即实数a

的取值范围为(-8,o]U[2,+8).故选D.

C»(2021•陕西西安中学高考模拟)集合A={x|x〈T或x2

3}1=限陵+，0},若恒儿则实数2的取值范围是()

1

A.[-31)

1

B.[-31]

C.(-°°,-1)U[0,+8)

1

D.[-30)U(0,1)

解析：由题知BWA,

①当B=o时，即ax+IWO无解，此时a=0,满足题意.

②当BWo时，即ax+IWO有解,当a>0时，可得xWf

a>0,

要使BGA,则需要I«'解得O〈a〈l.

1

当a<0时,可得x2-。，

avo,

要使BGA,则需要I"1'解得NWa〈0.

1

综上,实数a的取值范围是&1).故选A.

的(多选题)(2021•江苏徐州高三期末)对任意A,BGR,记A㊉

B={x|x£AUB,x在AGB},并称A㊉B为集合A,B的对称差.例如,若

A={1,2,3},B={2,3,4},则A^B={1,4},下列命题中,为真命题的是

()

A.若A,BcR且A®B=B,贝ijA=0

B.若A,BcR且A㊉B=o,则A=B

C.若A,BcR且A㊉BGA,贝I」A£B

D.存在A,BGR,使得A㊉B=[RAeCRB

解析:对于A选项，因为A㊉于B,所以B={x|xGAUB,AAB),

所以AGB,且B中的元素不能出现在APB中，因此A=o,即选项A正确;

对于B选项，因为A㊉B=0,所以0={x|x£AUB,x阵AGB},

即AUB与AGB是相同的,所以A=B,即选项B正确；

对于C选项,因为A㊉BGA,所以{x|x£AUB,x&AnB}GA,

所以BGA,即选项C错误；

对于D选项，设A={x|x<2},B={x|x>l),

贝!|AUB=R,AGB={x|l〈x<2},

所以A®B={x|x=^l或x22},又]RA={X|X》2},[RB={X|XW1},

(CRA)U(CRB)={X|XWI或x22},([RA)n(CRB)=0,所以(CRA)®(C

RB)={X|XW1或X22},因此A㊉B=〔RA®CRB,即选项D正确.故选ABD.

；里氏山灵活夕点方致梃怩

涯!选题明细表

知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练

集合的概念与表示1,3,8,9

集合间的关系4,611,15

集合的运算2,5,7,1012,13,1416

A级基础巩固练

1.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a£A,b£A},则集合B中元素的个

数为(C)

A.1B,2C.3D,4

解析：由A={1,2}及题意得B={x|x=a+b,aGA,beA}={2,3,4),则集合

B中元素的个数为3.故选C.

2.(2020・全国I卷)设集合人=仅卜2-4忘0},8=收|2乂+2忘0},且AA

B={x|-2WxWl},则a等于(B)

A.-4B,-2C.2D.4

解析:人=收|一2・乂忘2},13=收1"72}.

由AAB={x|-2WxWl},知6=1,所以a=-2.故选B.

2

3（2021•百校联盟联考）设集合A={2,3,a2-3a,a+»+7},B={|a-21,0）.

已知4£人且448,则实数a的取值集合为（D）

A.{-1,-2}B.{-1,2}

C.{-2,4}D.{4}

解析：由题意可得①当a2-3a=4且|a-2|#4时,解得a=-l或4.

a=-l时,集合A={2,3,4,4）不满足集合中元素的互异性,故aWT.

23

a=4时,集合A={2,3,4,2},集合B={2,0},符合题意.

2

②当a+1+7=4且|a-2|W4,解得a=T,由①可得不符合题意.综上,实

数a的取值集合为{4}.故选D.

4.设P={y|y=-x，l,x£R},Q={y|y=2'x£R},贝ij（C）

A.P£QB.Qcp

C.[RPGQD.QSCBP

解析：因为P={yIy=-x2+l,x£R}={y|yW1},Q={y|y=2x,x£R}={y|y>0},

所以[F={y[y>l},所以[KP^Q.故选C.

5.（2021•福建厦门外国语学校高三模拟）已知全集U={1,2,3,4,5）,

A={2,3,4},B={3,5},则下列结论正确的是（B）

A.BGAB.[uA={l,5}

C.AUB={3}D.AGB={2,4,5}

解析：已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={3,5}.可知BQA,A选

项错误；[uA={l,5},B选项正确;AUB={2,3,4,5},C选项错误;An

B={3},D选项错误.故选B.

6.（2021•江苏南通高三四模）已知集合人={1,2,3},B={-1,0,1,2},若

MGA且MGB,则M的个数为（C）

A.1B.3C.4D.6

解析：因为集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},所以AAB={1,2},又MGA

且MCB,所以（AAB）,即Me{1,2},所以M的个数为2?=4.故选C.

7.（2021•浙江杭州二中模拟）定义集合A={x|f（x）=B?},B=

{x|x-2x-3<0}，贝！JAnB=,AU[1；B=.

解析:因为集合A={x|f&）="1*}={*|一1,*忘1},集合B={x|x2-2x-

3<0}={x[T<x<3},所以[RB={X|XWT或x23},故AGB={x|T〈xW

1},AUCRB={X|XW1或X23}.

答案：{X|T〈XW1}{X|XW1或X23}

8.（2021•湘豫名校高三联考）设集合A={T,0,1},集合B={x|x>t},

若A,B两集合的关系如图，则实数t的取值范围为.

解析：由题意可知AGB=o,结合集合A={-1,0,1},集合B={x|x>t}可

知

答案：［1,+8)

9.已知A={x|-l<x<k,xeN},若集合A中恰有3个元素,则实数k的取

值范围是.

解析:因为A={x|-l〈x〈k,x£N},且集合A中恰有3个元素,所以集合

A={0,1,2},所以2<kW3.

答案：（2,3]

10.学校运动会上某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加

比赛的学生中，参加田赛的有16人,参加径赛的有23人,则田赛和径

赛都参加的学生人数为.

解析:设田赛和径赛都参加的学生人数为x,

因为62名学生中有一半的学生没有参加比赛,所以参加比赛的学生

有31人，

故16-x+x+23-x=31=x=8,故田赛和径赛都参加的学生人数为8.

答案：8

B级综合运用练

11.已知集合M={x|x2-3x+2^0},N={x|y=^X-a},若MAN=M,则实数a

的取值范围为(D)

A.(1,+°°)B.[1,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

解析：因为x2-3x+2W0,所以&-1)G-2)或0,所以1WXW2,所以

M={x|lWxW2}.

因为x-a^O,所以x2a,所以N={x|x2a}.

因为MGN=M，所以MGN,所以aWl.所以实数a的取值范围为(-8,1].

故选D.

12.(多选题)(2021•山东济南三模)图中阴影部分用集合符号可以表

示为(AD)

A.An(BUC)B.AU(BAC)

C.An[u(BnC)D.(AnB)U(AAC)

解析：图中阴影部分用集合符号可以表示为AG(BUC)或(AGB)U(A

CC).故选AD.

13.(多选题)已知全集U=Z,集合A={x|2x+120,xez},B={-l,0,1,2),

则(ACD)

A.AnB={0,1,2}

B.AUB={x|x^O}

c.(CiA)AB={-I}

D.AAB的真子集个数是7

1

解析泊=次|2乂+120M£2}=小反/)M£2},8={-1,0,1,2},

AAB={0,1,2},故A正确；

AUB={x|x2T,x£Z},故B错误;

1

CuA={x|x<-2,xez},

所以([uA)CB={-1},故C正确；

由AGB={0,1,2},则AnB的真子集个数是23-l=7,故D正确.故选ACD.

14.(多选题)(2021•湖北重点中学高三联考)已知非空集合A,B满足:

全集U=AUB=(-l,5],AnC„B=[4,5],则下列说法不一定正确的有

(ABD)

A.ACB=0B.ACBWo

C.B=(-1,4)D.Bn[L；A=(-1,4)

解析：因为AA[出=[4,5],U=AUB=(-1,5],

所以B=U-AG[出=(T,4),所以C正确.

则集合A一定包含[4,5],当A=[4,5]时，

AAB=0,所以B错误.

当A=(3,5]时,AnB=(3,4),所以A错误.

此时】UA=(-1,3],BnCcA=(-l,3],所以D错误.故选ABD.

15.若集合A={x|x?+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},若(:四CuA,则实数a的

取值集合是；若BCA,则实数a的取值范围是.

解析:A={-3,2}.由[uBECuA可知AGB,因此{-3,2}qB,则方程

x2+x+a=0的两个根是-3,2,因此a=-6.

对于x2+x+a=0,结合BGA可知

1

(1)当△=l-4a<0,即aX时，B=o,BGA成立；

11

(2)当A=l-4a=0,即a=4时,B={-2},BGA不成立;

1

(3)当A=1-4a>0,即a<.时，若BUA成立,则B={-3,2},

所以a=-3X2=-6.

1

综上,a的取值范围为a>彳或a=-6.

1

答案：{-6}a>*或a=-6

C级应用创新练

16.若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；

若两个集合有公共元素但不互为对方的子集,则称两个集合构成“偏

食”.已知集合A={x|旧。}和集合B={x|x?-x-2<0},若集合A,B构成

“偏食”，则实数t的取值范围为.

解析:集合A={x|<t)={x|-t<x<t,t>0},集合

B={xN-x-2<0}={x[T<x<2},因为集合A,B构成“偏食”，

ft>0,p>0,

所以<T<2<「或Id<-1<t<2,

解得l<t<2.

所以实数t的取值范围为(1,2).

答案：(1,2)

第2节常用逻辑用语

©课程标准要求

1.通过已知的数学实例，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数

学定义与充要条件的关系.

2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

©招教物夯实四基

必备知识•课前回顾

品知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

P是q的充分不必要条件p=q且q冷p

P是q的必要不充分条件p今q且q=p

P是q的充要条件P=q

P是q的既不充分也不必要条件P冷q且qAp

■释疑

若P是q的充分条件,则q是P的必要条件.反之，若P是q的必要条

件,则q是P的充分条件,而如果P=q,那么P与q互为充要条件.

2,全称量词命题与存在量词命题

⑴短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符

号“上”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.

⑵短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，

并用符号“3”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.

■释疑

⑴全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命

题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.

⑵存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性

质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.

3.全称量词命题和存在量词命题的否定

量词命题量词命题的否定结论

ax£存在量词命题的否定是全称量词

Vx£M,—^p(x)

M,p(x)命题

vxe全称量词命题的否定是存在量词

mx£M,—»p(x)

M,p(x)命题

■释疑

一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的

两个命题;含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p（x）的同时，改

变量词的属性,即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.

对点自测

1.（必修第一册P31练习T1改编）已知命题p:Vn£N*,n2>n-l,则命题p

的否定-^为（C）

A.Vn£N*,nWnT

B.VnGN*,n2<n-l

C.3n£N*,CWnT

D.3nGN\n2<n-l

解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p:VneN；n2>

n-1的否定「p为"mn£N*,n2^n-lw.故选C.

2.（必修第一册P22习题1.4T2改编）设x£R,则“x>l”是“|x|〉修

的（A）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：当x>l时一定能够得到“|x|>1",但是|x|>1却不一定得到x>l,

也可以是.故选A.

3.命题”一次函数都是单调函数”的否定是（D）

A.一次函数都不是单调函数

B.非一次函数都不是单调函数

C.有些一次函数是单调函数

D.有些一次函数不是单调函数

解析:命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，

即“有些”.故选D.

4.（多选题）下列存在量词命题中的真命题是（ABC）

A.3xeR,xWO

B.至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数

C.土£{x|x是无理数},x2是无理数

D.2x^Z,K5x<3

解析:mx=O£R，使得xWO,故A为真命题.整数1既不是合数,也不是

素数,故B为真命题.若x=〜则x£{x|x是无理数},x2是无理数,故C

13

为真命题.因为l〈5x<3,所以所以"mx£Z,l〈5x<3"为假命题.

故选ABC.

5.已知命题p:“关于x的方程x2-4x+a=0有实根"，若非p为真命题

的充分不必要条件为a>3m+l,则实数m的取值范围是.

解析：由命题P有实数根,则A=16-4a20则aW4,所以非p为真命题

时a的取值范围为a>4.

又a>3m+l是非p为真命题的充分不必要条件,所以3m+l>4,m>l,则m

的取值范围为（1,+8）.

答案：（1,+8）

关键能力•课堂突破美中溶支砥实。

感考点一全称量词命题与存在量词命题

1.（2021•山东泰安高三三模）命题“奇函数的图象关于原点对称”的

否定是（C）

A.所有奇函数的图象都不关于原点对称

B.所有非奇函数的图象都关于原点对称

C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称

D.存在一个奇函数的图象关于原点对称

解析:全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存

在量词命题，所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存

在一个奇函数的图象不关于原点对称”.故选C.

2.(2021•广东中山纪念中学等校高三联考)命题“Vx>-1,ln(l+x)Wx

z

且ln(l+x)26”的否定是(C)

z

A.Vx>-1,In(1+x)>x或In(1+x)<1+l

z

B.Vx^-1,In(1+x)>x且In(1+x)<1+x

C.3x>-l,In(1+x)>x或In(1+x)<1+x

z

D.3x>-l,In(1+x)>x且In(1+x)<1+*

z

解析:命题uVx>-l,In(1+x)Wx且In(1+x)21+x”的否定是

z

2x>-l,In(1+x)>x或In(1+x)<1+x.故选C.

3.(2021•重庆南开中学高三模拟)下列命题为真命题的是(C)

A.VxGR,x2-|x|+1^0

B.Vx£R,

C.3x^R,(Inx)W0

D.3x^R,sinx=3

13

解析:因为x2-|x|+l=(|x|与)2+*>0恒成立，所以vx£R,x2-Ixl+IWO是

三11

假命题；当x=3时,COM=2,所以VxeR,-11是假命题；当X=1

时，Inx=0,所以mx£R,(Inx)WO是真命题；因为TWsinxWl,所以

HxGR,sinx=3是假命题.故选C.

4.若命题Tx£R,使得x2+mx+2n1-3〈0”为假命题，则实数m的取值范

围是(A)

A.[2,6]B.[-6,-2]

C.(2,6)D.(-6,-2)

解析：因为命题“天£工使得乂2+1^+2111-3<0”为假命题，故"Vx£

R,x2+mx+2m-320恒成立"为真命题，因为二次函数的图象开口向上，

故△=m-4(2m-3)WO,所以⑵6].故选A.

一题后悟通

1.含量词的命题的否定的写法

(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全

称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然

后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同

时否定结论；

⑵“P或q”的否定是“-^且-^”.

提醒:对于省略量词的命题，在写其否定时应先根据题意找出其中省

略的量词,写出其完整形式,再写出命题的否定.

2.全称量词与存在量词命题真假的判断

⑴要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素

都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假

命题；

⑵要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成

立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在

量词命题是假命题.

3.由于存在量词命题的否定是全称量词命题，因此涉及存在量词命题

是假命题时,常转化为其全称量词命题是真命题求解.

感考点二充分必要条件的综合应用

h角度一充分、必要条件的判断

(1O(1)(2021•黑龙江哈尔滨三中高三模拟)设x£R,则“x2-3x<0”

是“1&<2”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2019•浙江卷)若a>0,b>0,贝“a+bW4”是“abW4”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

(3)p:x,y£R,x2+y2<2,q:x,y£R,|x|+1y1<2,则p是q的()

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：（1）由X2-3X<0=>0<X<3,由0<x<3不一定能推出l〈x<2,但是由

l〈x<2一定能推出0〈x<3,所以<<X2-3X<0>>是的必要不充分

条件.故选C.

解析：（2）因为a>0,b>0,若a+bW4,所以2倔Wa+bW4.所以abW4,

此时充分性成立.当a>0,b>0,abW4时,令a=4,b=l,则a+b=5>4,这与

a+bW4矛盾，因此必要性不成立.综上所述，当a>0,b>0时，"a+bW4”

是“abW4”的充分不必要条件.故选A.

解析：（3）如图所示，

“E+y2<2”对应的图象为半径为,2的圆的内部，“|x|+|y|<2"对应

的图象为正方形的内部，则“x2+y2<2”是“|x|+|y|<2"的充分不必要

条件.故选A.

.解题策略:

判断充分、必要条件的3种方法

⑴定义法:根据P=q,qop进行判断,适用于定义、定理判断性问题.

⑵集合法:根据P.q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多

适用于命题中涉及字母范围的推断问题.

⑶数形结合法:充要条件的判定问题中，若给出的条件与结论之间有

明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何

图形后利用数形结合思想求解.

提醒:判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是

B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确

理解“P的一个充分不必要条件是q”的含义.

口角度二充分、必要条件的探求

1

CSH）（1）不等式x=>0成立的一个充分不必要条件是（）

A.-l<x<0或x>lB.x<-l或0<x<l

C.x>-lD.x>l

（2）（2021•江西上饶高三模拟）命题“Vx£[1,2],3x2-a20”为真命

题的一个必要不充分条件是（)

A.aW4B.aW2C.aW3D.aWl

^-KO,

解析：（1）由x=>0可知=>0,即匕"’或口<口解不等式组

11

可知x-*>0的解集为{x|x>l或T〈x<0},故不等式x-*>0成立的一个充

分不必要条件是x>l.故选D.

解析：(2)若“Vx£[1,解3x2-a》0”为真命题,得3x?2a在x£[1,2]

上恒成立，只需aW(34匹3,所以aW4时，不能推出“Vx《

[1,2],3x，-a20"为真命题，"Vx£[1,2],3x?-a20"为真命题时能推

出aW4,故aW4是命题“Vx£[1,2],3x2-a^0?,为真命题的一个必要

不充分条件.故选A.

解题策略:

1.选择题中的充分不必要条件问题,是由选择项推出题干，但是题干

不能推出选择项,而选择题中的必要不充分条件问题，是由题干推出

选择项，但是选择项不能推出题干.

2.对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、

大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解：“充分性”即“有它

就行”；“必要性”即“没它不行”.

口角度三充分条件、必要条件的应用

CM1⑥(2021,安徽淮北一模)安知p:"log2X<2",q:"|x-a|<3",若

P是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.

解析：由不等式log2x<2,得0<x<4,由不等式|x-a|<3解得-3+a〈x〈3+a.

因为P是q的充分不必要条件，

所以(0,4)c(-3+a,3+a),

[T+a<0,

所以匕+a宜4,解得lWaW3,故实数a的取值范围是[1,3],

答案：[1,3]

解题策略

根据充分、必要条件求解参数范围的方法

⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根

据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

⑵要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解

参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理

不当容易出现漏解或增解的现象.

［针对训练］

1.“x>2”是“log2（x+l）>l”的（）

A.充要条件

B,充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析：因为log2（x+l）>1,所以x+l>2,所以x>l,{x|x>2}是{x|x〉l}的真

子集，所以“x>2”是“log2（x+l）>l”的充分不必要条件.故选B.

2.使a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是（）

A.a+b>0B.a-b>0

a

C.ab>lD.匚>1

解析：因为a>0,b>0=a+b>0,反之不成立,而由a>0,b>0不能推出

a

a-b>0,ab>l,^>1.故选A.

z-2

3.（2021•山西八校高三联考）已知p:A={x|KW0},q:B={x［x-a<0},

若P是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是（）

A.(2,+8)B.《,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

解析：因为A={xI(x-2)(xT)20且xWl}={x|x22或x〈l},B={x|x〈a},

又p是q的必要不充分条件,所以B^A,所以aWl.故选D.

息备选例题

近命题“Vx£R,mn£N*,使得nWx2”的否定形式是()

A.VxGR,2nFN*,使得n>x2

B.VxeR,VneN*,使得n>x2

CmxWR,mn£N*,使得n>x2

D.mx£R,Vn£N*,使得n>x2

解析:V改写为h3改写为V,nWx2的否定是n>x；则该命题的否定形式

为Tx£R,Vn£N*,使得nK”.故选D.

CUD(2021•广西钦州、崇左高三联考)已知a,b>R,"a>|b|”是

“a|a|>b|b|”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:法一由题意,若a>|b|,则a>|b|20,则a>0且a>b,所以

a|a|=a2,则a|a|>b|b成立.当a=l,b=-2时，满足a|a|>b|b|,但a>|b|

不成立，所以“a>|b|"是不成立b|b|"的充分不必要条件.故选A.

（x2,x>0,

法二由2>出|可知2>0且2>13,构造函数£&）=*除|=1-/，又<仇则

函数f（x）在R上是增函数，因此由a>0且a>b可知a|a|>b|b|,反之则

不一定成立，如b<a<0时也可以有a|a|>b|b|.故选A.

C®D“abWO”是“a2+b2W0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由abWO可得，aWO且bWO,

所以a?+b2关0;

反之不成立，故“abrO"是<<a2+bV0,>的充分不必要条件.故选A.

CK（多选题）（2021•湖南高三联考）若p是q的充分不必要条件,q

是S的必要条件,t是q的必要条件,t是S的充分条件,则（）

A.t是p的必要不充分条件

B.t是q的充要条件

C.P是s的充要条件

D.q是s的充要条件

解析:因为t是q的必要条件,t是S的充分条件,q是S的必要条件，

所以q=t=s,且s=q,则qu>t=s,所以B,D正确.因为q0t=s,且p

是q的充分不必要条件,所以P是S的充分不必要条件,t是p的必要

不充分条件,所以A正确,C不正确.故选ABD.

灵活彳、居漕致提傲

课时作业

回选题明细表

应用创

知识点、方法基础巩固练综合运用练

新练

全称量词命题与存在量

1,6,7,914,15

词命题

充分、必要条件的判断2,3,4,512

充分、必要条件的探求与