《经济数学模型化过程》

前言本书旨在使读者理解经济模型化思想以及如何运用数学模型化的方法和技巧，解决经济问题。数学模型化（MathematicalModelling）是指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。其目的在于研究开发数学模型在经济领域中分析问题、逻辑思维和辅助决策的作用和功能。本书共由四个模块构成:第一模块为经济数学模型化过程的基础理论部分，主要包括数学模型基本理论、数学模型化一般程序、以及为实现模型化必须进行的信息收集与评价等内容。这部分由三章组成：第一章在给出各种简单数学模型的基础上，讨论了数学模型的基本概念和性质，阐明了模型与原型及其逻辑关系。第二章在明确信息的数量化是建造模型的前提下，讨论了数量化与量纲的问题，然后对数学模型的特性、应用条件及应用的评判准则进行了说明，最后详细论述了模型化过程的问题。第三章介绍了模型化信息的收集方法和模型化信息的处理方法。第二模块为微观经济数量决策分析模型的讨论与研究，主要内容包括运筹学模型化过程中如何表述目标，确定环境因素，选择标准数学模型，最优性条件的确定及最优解（或满意解）的求出。这部分内容由第四章、第五章组成：第四章论述了销售机理模型化过程，主要由销售机理分析、成本机理分析、风险机理分析、时间机理分析、约束问题分析等部分构成；第五章在第四章销售机理模型化过程的基础上，给出了多目标多指标模型的一般形式。并对单目标最优解的性质进行了分析。指出了各种经济量对数量决策的影响。此外研究了非线性共轭对偶理论的应用。第三模块内容由两部分构成：第一部分介绍了系统论的思想与方法，第二部分为计量经济模型化过程。本模型块由第六章、第七章组成：第六章主要讨论经济控制论模型，首先阐述了系统论的方法和规律，最后给出了一个具体宏观经济控制模型。第七章为计量经济模型分析，计量模型的特点在于首先提出经济假说，然后确立变量之间的因果关系，在收集统计资料的基础上，估计模型参数，并对其结果进行检验。最后运用模型估计进行经济预测和政策评价。本章包括计量模型分析的基础和建立计量模型的一些基本方法。首先讨论构成计量分析基础的最小二乘法，然后指出在实证分析中运用计量模型应注意的几个问题，最后探讨计量分析的一些新发展。第四模块为本书的最后一章，作为经济模型化过程的应用实例，在本章中给出了几个案例，主要涉及到宏观经济周期变化、投资模型的最优条件、宏观经济增长模型以及经济学中的效用等问题。第八章主要内容如下：首先讨论卡莱斯基商业循环模型和最优外资规模的决定模型，然后对马克思的扩大再生产图式与哈罗多―多马模型进行比较，最后讨论市场经济中消费者经济行为的数学模型描述以及企业的行为表征。本书作者之一杨健博士自1986年在中国人民大学开设全校研究生选修课程"经济数学模型化"。此后，龚德恩教授、任朝佐教授、严守权副教授、赵国庆副教授等都曾讲授此课程，他们的贡献推动了经济数学模型化的研究。十年后的今天此书终于在同行们的关心下问世。此外，中国人民大学的魏权龄教授、英国兰卡斯特大学的GrahamK.Rand教授、日本国京都大学的森栋公夫教授，都曾对本书提出许多非常有益的建议，在此一并向他们表示衷心的谢意。特别要提到的是王戈、周国栋、崔惠军、尹明玉，他们在本书的打印输入及校对公式中付出了艰辛的劳动。中国人民大学出版社潘旭燕女士作为本书的责任编辑付出了辛勤劳动，在此谨表谢意。本书中的一些研究成果为国家"211"工程项目"中国宏观经济运行模拟和分析系统"的一部分，本书的部分章节构成北京市普通高等学校教育教学改革试点立项研究的基础。本书作为经济数学模型化过程分析的一个尝试还存在着不少不足之处，恳切希望广大读者指正。著者洋摊司碰却1998悬年8月厌搬第一章数悠学模型概论个润泪§胶1.1引耕言刊任何模型都敲是原型的一涝种表现形式泽，而原型则昆指我们所研使究的对象。禽我们所讨论欺的模型是依曾据原型，由阿人来构造的铸模型，它是公人对客观世普界的一种理崭解。广义而但言，由于世鸽间的事物皆兰有同一性，俊故任何事物孔都可能成为坚另一事物的届模型；但对鄙千差万别的昌具体事物而岩言，模型又剩是有条件的距。稿构造模型是故研究和解释秘客观世界的法一种手段。雷它使人们在隔比原型现存辨条件更为有智利的条件下孤研究原型。圈模型可以是净实体，也可虎以是理论；冈既可以定性短，也可以定雁量；可以具专体，亦可抽怪象。借助模驰型，人们可钻以从不同的距侧面、不同曲的层次，去肆认识原型。尖尤其是在现巩实世界里，观有一些研究石工作无法在设原型上直接峡进行，因此精人们需要构支造模型来解绣决理论和实除践中的问题原。模型是对焰原型的一种层近似，它们肚之间存在着缸某种因果关犯系。抽象地许说，模型是店原型的映象挑。辰模型的性质错煎作为一个模亩型，应具备芒以下三个性俩质：胞1.近似性沉：模型是原年型若干特征即或内在联系胸的模仿或近宋似。掀2.主观性蹈：模型基于确构模者对原旋型以及"模酿型空间"的叶理解。颜3.能动性先：模型可以步能动地反映遇原型，乃至选在时空上超哈越原型的现耍状。卖正是模型的嚷这些性质，只使得人们愈点来愈多地利颠用模型，重吗视模型，并衔开始探索建键模的方法。丑建立模型不盯仅需要对原腹型的深刻理态解，而且需买要一定的技讯巧、抽象和防想象力。模竟型化方法是齐学习建模的修基础，抽象朴与想象则需列在实践中培归养。就如作尼画需要对景览物的敏锐观余察，训练有腿素的技巧和黄艺术的抽象勉与想象。当践然，不断地驰钻研、探索顷、创新，是剑步入科学殿芒堂的必由之蚊路。佛对于同一原丽型，可以有秀不同的模型绸。如何评价介模型的优劣仆是模型化关办心的问题之纽一。模型的霜价值应取决松于模型化的误目的。换言缝之，模型的绣优劣应由其妥解决问题的涉优劣而定。守如果一个模街型突出了原朝型的主要矛国盾和主要特瓜征，从而有冶助于我们分惠析和解决问揭题，它就是预一个好模型伤。居模型的种类偿甚多。依据咏不同的准则东，有以下几抱类主要的模怀型：堤1.按照相眨似程度划分问：诞有同构模型这(Isom喜orphi鹰cMod音el)和同测态模型(H该omomo盲rphic译Mode踩l)。前者云与其原型之伟间存在着一螺一对应的关筑系，即同构色关系；后者赠与其原型的命部分相对应蹄，依其相似歼程度可细分伟为精确的(贫Acura苦te)、适谣度的(Ad旅equat煌e)、和粗铲略的(Co咐arse)歪三种同态模酷型。临2.按照结趁构性态划分主：耕有形象模型歇(Icon群icMo军del)和痛抽象模型(仆Abstr疯actM省odel)哀之分。前者伏是由改变现余实原型的度减量、尺度或垦维数而得到溜的，其构造非多为依据P缠定理（见第宋二章）和相嚷似性原理，包故又称比例征模型(Sc笼aleM阶odel)房；后者是用宗抽象的符号删、图表、语膨辞等表述的叫模型。抽象翼模型又可细璃分为3类：喇所1）比拟模询型(叼Analo苏gMod济el)：它抽建立在不同丰的事物之间档，模型与原婚型存在着同铁构或同态断的关系。例犁如用一组可游控的条件来代表征真实原藏型，通过模哄拟性实验研亦究原型的插变化规律，昏这组可控条判件就是比拟摧模型。链2）概念模高型(Con窃cept狱Model电)：它是凭回借现有的知爪识，提出的尝关于原型的持结构与特应性的表述。纷概念模型往信往是抽象的秆、原始的。睛日3）数学模源型(Mot栏hemat腰ical蔑Model长)：它是用羊数学语言表南达原型结构御、特征、及箱内在联系牢的模型。例衔如，用字母侮、数字或其躲它有特别含隐意的数学符孩号建立起来类的等式、不飞等式、图梨象、以及框程图等，都是图数学结构，春当它们表征加一个特定原苍型时，就是崭数学模型令。逢3.按照对掏原型的了解今程度划分：饶萄有白箱模型吉(Whit蓬eBox拆Mode餐l)、黑箱眉模型(Bl帝ackB颈oxMo赠del)和些灰箱模型(休Grey赶BoxM火odel)涛三种。构模纠者对原型内鸡部的结构与氧特性的了解僚程度分别是敬完全了解、巩完全不了解末和部分了解劳。亩关于模型的跳划分，不同违的准则划分闹的类型也不赴同。例如有傻人认为能真犹正划分的模继型只有两类熟：实物模型朴(Phys锄ical戏orMa员teria慎lMod恨el)和符雁号模型(S梁ymbol亡icor屑Form赞alMo恢del)。狱实物模型是馋有形的、可鸽触知的、实室体的模型化哪表达，模型迫的元素由物雪质或硬件构榴成。如形象耗模型、硬件锯比例模型、称和比拟计算闹机模型等。爷符号模型是谦理论的、符鞠号的、抽象奴的模型化表捉达，模型元记素由原型的衰特定结构或钢行为的若干识方面的符号肿表述。如图尤样、语词表替达、逻辑模搏型、数学模券型以及计算抄机程序等等博。关于模型舒的性质及其次分类将在第堪二章进行详茶细地讨论。丘冤在一切模型也之中，数学权模型是用途巨最广泛的一缸种。多少世晕纪以来，数板学以其高深练玄妙而被誉签为自然科学换的"皇后"奋。然而在科锻学技术突飞骑猛进的今天弊，多学科相代互交融，边算缘学科不断塔涌现。"皇腰后"屈尊降苗为各学科的未"侍女"，削应运而生的矮交叉学科举协不胜举。如再生物数学、渴数理医药学沟、计量经济子学、计量地李理学、数量樱经济学等等饼，犹如群芳毕争春，竞相仇绽放。虽然矩新学科各有姐异彩，人们励注意到一个晒事实：它们谋的共同之处短就是都借助奸数学模型研嗽究各自的原嫩型世界！这垫些新兴学科拉的成功无一馋不是得益于句数学模型的僻利用。尤其狠是在这个计婚算机时代，跳往日只有数红学家才能完仁成的计算工纺作，如今一酷般人也能完愉成，这一切甘使得数学模障型的应用成债为可能，因辞此，模型化慨工作日益受基到人们的重施视。招应当看到，渐即使在今天廊，人们对数煎学模型的本钻质仍有许多刘误解。例如森有人认为数器学模型是一肯种语言，很胖容易予以文局字解释。这糟恰恰与实际交情况相左，及数学模型的树一般性常常柄使人不知所挺云。还有人锦认为数学模爬型及其结果量总是正确的浓，科学的，亦这也是荒谬某的。虽然基弱于一组自封步闭的公理系悠统的数学本柄身，在前提做正确和推理粪无误的条件走下，结果必皮然正确。但干是数学模型赔毕竟不是数遗学理论，它宗基于关于原满型的假说，姿因此数学推胶证充其量是珠一个佐证。副假说必须用蚕事实验证，课换言之，不拔论是前提还脉是结果都必羡须以事实为仇依据。最后驳需要指出的辱错误观点是跟认为数学模默型没有用处挡。我们且不梢赘举数学模毅型的辉煌成过就，仅以质块与量是构成清事物属性的剖两个方面，针缺少量的刻送划则无法全朵面地认识事跪物，就足以斩反驳这种观站点。塘本书着重探赖讨经济数学贼模型化方法雪以及模型化筋理论与程序候。在经济工炉作中利用数封学模型进行末分析、预测汤、研究和决授策，往往可担以增加收益裁，降低消耗臣、减免风险迈、缩短时间以、合理地利乒用有限的资帽源以获得最套佳的效益。存随着计算机延的普及和计吓算机技术的苍发展，数学获模型在经济摩领域将有更坡广泛的应用陕。奇§民1.2数况学模型基本精概念座数学模型是兴相对于一定衫的概念、系算统、或过程夕而存在的。涂E.A.本乓德[5]在架他的《数学脆模型引论》互中这样写道前："数学模轨型是关于部谋分现实世界嘴和为一种特受殊目的而作群的一个抽象附的、简化的刃数学结构。沈"具体地讲国，数学结构抢就是由若干柏字母、数字骂、及含有特摊定意义的符报号建立起的忧等式、不等败式、序关系镜、逻辑式、彻图表、图象怨和框图。数锄学模型和原蜘型是一对范妖畴，相互依谈存、相互对蛇立。孤立的赚数学结构不蒙是严格意义勺下的数学模属型。数学模抚型化的概念某与数学模型早不同，它是江指建立数学速模型和利用蛾数学模型的尿全过程。可纷以断言，从走研究数学模局型转到研究怜数学模型化皆是一个必然出的趋势。模摄型化研究具悬有广阔前景漏。拌在此我们介吸绍几个简单踢的模型，使妖我们形成对膀数学模型的刻直观认识。岔灭【例1.2井.1】资源魂的配置叠资源短缺是筒全世界共同档面临的问题欺。如何有效渐地利用现有划的资源，使胞经济单位自持身的经济效可益最大，乃浊是许多经济洗学家研究的村课题。虽然尚原型的差异滨甚多，我们烦仍可抽象地厘假设原型问抛题是利用m江种有限资源减生产n种商未品的最佳决脏策。如果已滔知第i种商箩品的单位创剑利额是ci示,(i=1毫,执…心,n）；生屠产单位商品到i需消耗a甜ij单位的呼资源j,(踪i=1,蔬…释,nj=灾1,持…尿,m)；现况有资源j的崇总量为bj储，(j=1唯,筹…揉,m)；待府决策的商品全i的数量为榜xi，(i盗=1,觉…踏,n)。则啦可得出决策馋的选择范围蜡是满足下列他约束条件的管x=(x1猪,写…井xn)T绞j=1,夺…衡,m昌xi3奶0关判别决策优积劣的目标是咳创利额如藏我们记x=缓(x1,腹…汁xn)仪A=(ai辩j)n密′叶m颗C=(c1拳,邀…甲cn)T充b=(b1就,悉…柴bn)T拔就得到一个床数学模型沉maxc赢Tx(1戴-2-1)屋翻s.t.辽Ax￡b蜘x30位这个数学结楼构称为线性龙规划，与其企相应的有完鲜整的理论与海算法。企【例1.2沉.2】人向口的预测商人口问题困潮扰着许多发筋展中国家，异经济学家对胸人口预测作竭过许多尝试锯。我们考虑帅一种最简单豪的情况。假章设某个国家泽在时刻t=金t0年的人螺口数目x(兆t0)=x钱0，由历年梅统计加权得浩到平均出生件率h，平均逮死亡率d，典于是对t叹3t0可授以得到一个旁粗糙的模型机或抓其中，r也=h－d程是净生殖率猾，由初始条姐件解出蹦脾利用这个模最型我们可以稻预测这个国论家未来的人保口。这个简关单模型说明毙在外界条件妹不变的情况逢下，人中将品呈指数增长梨。骡【例1.2规.3】马较克思的生产柜模型坟马克思认为蒸，在一定时锄期内社会总迈产品的价值赚是由三部分催构成的：1驼）在此期间除消耗的生产堡资料价值，暴即不变资本味c；2）在勒此期间内用廉于生产过程界的劳动力价席值，即可变叔资本v；3豪）被资本家敲剥削的剩余用价值m。依撤据生产资料能的性质，马青克思把国民蹄经济分为两家大部类，即杠生产生产资金料的第一部惠类和生产消尖费资料的第驼二部类。由度定义，两部狂类的总价值小分别为瞧I=c1＋晴v1＋m1酒迫II=c2忍＋v2＋m乔2总价值织TV=I＋照II拣马克思指出涉：如果要维告持简单再生屈产，则国民纠经济总处于辅同一水平。显这时，生产楼资料的总需区要应和第一匆部类的总价陡值相等；消勉费资料的需序要应和第二故部类的总价融值相等。于员是，我们得范到键c1＋c2虚=I白v1＋m1柳＋v2＋m滤2=II患讯我们注意到先从前式可以云推出后式，用反之亦然。加而且，都与携数学结构般v1＋m1欺=c2状等价。即第粮一部类的可暂变资本和剩辞余价值等于仍第二部类的洲不变资本。信值得指出的受是：虽然两挎个数学模型给不同，但可介能在数学结骑构上"等价嘴"。半【例1.2件.4】常胜茄的赌徒幼赌场如战场乓，有胜亦有照败。但如果活在自由下注向的赌场，则段有常胜的可贼能性。假如愉某位不贪心林的赌者依据恼下列决策赌芬搏：剂1.每次上罚赌场的目标汗是赢一元钱事否2.一旦赢针钱立刻停赌辫楼那么他第k左次的赌注为赛2k-1俘讯,总赌注:就Bk=割1＋2＋似22＋傍…含＋2k-1筋筝=2k－1耗站假如每次赢幅的概率为p骨，则输的概垒率为q=1叔-p。显然延，连输k次彻的概率是q忘k。因此k探次赌搏之中狠至少有一次致赢的概率为虾1－qk，叉不论"常胜漂"意味胜的欺概率P0有笔多大，只要喊p>0且P蹦0<1，当霉k充分大时音，必有渴1－qk气>P0城换言之，如丰果赌徒筹措打到足够多的欲本钱n，则贩可望百战百巨胜。模型为坟枕n(1-烫2-2)虑s.t.矿1－qk纷>P0，承著2k－1那￡n，k肥为正整数找不难解出森给当然，这是奇个数学游戏夫，因为输光均头的概率毕抹竟存在！赛现在我们考货虑数学模型四的基本概念每与性质。首番先给出如下莲定义：如果歌相应于某种唯体系的相依腹关系或逻辑织关系，用形箱式化的数学痒语言概括地职或近似地表惹述成为一个蝇数学结构，鸡则称这个数事学结构为该辛体系的一个傲数学模型，悔记作M，称才该体系为M浊的原型，记冰作P。冒由定义不难生得出，以下她结论：一个资原型可以有闸不同的数学盾模型，模型解不唯一；而秀一个模型的极数学结构则浪有可能是不墙同原型的模盏型，即有多胁个原型相对纠应，因此反籍之是有条件佩的。一个数航学结构自身罗必须在数学书意义下协调讽，不能相悖忙，但是对刻省划同一体系路的模型而言筐，由于假说御与解释的方垃式不同，我翅们将允许相眯悖。正如物督理学中描述伟物体运动的裁牛顿模型冤逐和爱因斯坦喉模型偶在数学意义症下相悖。但泽都成功地刻宽划了物体运鼠动的规律。杯放我们把欲模呢型化的现象艘、问题、过颜程、体系，胃乃至用某种象语言表示的晃系统，统称胀为原型，并躁记之为P。裂虽然原型应敌相对于模型次而存在，我舞们隐含假设另任何事物都筑存在着数学秩模型，只是蜘不一定令人矛满意罢了。婶数学结构是版一个有机的穗整体，可分燕性概念是有但益的。如果拼数学结构M暴S可以分解姻为若干子结烤构MSa，戚a?L，其呆中L是非单牲点指标集，勤则称该数学路结构是可分踪的。并记党。瓦下面我们举造例说明可分悲性。祸【例1.2控.5】依据隔凯恩斯的经摊济理论，针寻对封闭的宏么观经济体系淋，可建立如遗下模型，M：晕其中主要变产量有内生变拣量：Y（国领民收入），绸C（消费）孙，I（投资捏）和R（利源率）；外生哈变量：G（赢政府开支）旧和M（货币需供给）以及外前定变量：鹊P（价格水复平）。四个扔方程式分别彻是国民收入葛定义式、消陪费需求方程皱式、投资需然求方程式和蛙货币需求方族程式。其中插a，b，t热，e，d，投k，h则为筋参数。不考律虑派生结构善。箱模型M可以蒜分解成若干秋种互不相同归的分结构。劳例如可分成倘M1：M2：注连同假设一闷起考虑，M毙1中有4个炕内生变量和寿一个外生变阶量，故知其盈不唯一地确茶定变量的值魂。同理M2查亦然。这些倒分结构可能瘦没有合适的疑经济背景，狂所以称不上爽模型。对数博学模型进行漂分解时，必乐须考虑假设竹的相应变化吵及经济解释馅。经济学家堤常把模型M渴置放在（Y纠，R）空间越，从而得到洲十分重要的向IS曲线和芦LM曲线，啄并成功地利则用它们说明舍了许多经济捆问题。其分香解如下：IS：弟LM：M=士(kY－h礼R)P切IS曲线表齿示出满足国叨民收入定义台式，消费需皆求和投资需量求的利率R苹与国民收入挡Y的组合形北式；LM曲猾线表示货币卸供给等于货弟币需求时国司民收入Y和授利率R的变寄动轨迹。I舱S曲线和L赖M曲线的交痰点恰为数学炼模型M的唯恨一解。利用芝恰当的分解匪，能够得到瞎许多意想不慢到的信息。郊如本例中，兆分解M=M往1督∩吨M2似乎难息有合理的经忠济解释，但昼分解M=I闻S帜∩苦LM则是最遵出色的分解陶。然而若不我分解M，则局只能得到唯赚一的解(Y瞎*，C*，骄R*)T，牙失去了研究格各种经济力晶量如何影响驳均衡的机会灾。综上所述阀，我们看到拼分解就是将遮数学模型的逗若干部分孤嘱立起来，撇膀开广泛的、且总的联系。销同时，想到帖原结构是一拔个整体结构颈，要考察子侍结构之间是堤如何发生联悠系的。月为了便于讨忽论，我们引沿入模型元的店概念，如果宗数学模型的织结构MSa砍是MS的一脑个结构元或摊模型元，细聚心的读者可扫能注意到我早们有时并没恐有严格地区控分数学模型熟与数学结构眠。我们约定彼今后将在承怠认差异下一赵视同仁。桥模型元并不恼一定是最基铺本的构模元误素，只是具染有相对独立劝性的"小"辰模型罢了。财基本的构模料元素有以下抄五种：壁1.数据接：与原型有染关的数字、唉图形、以及搏可定量化的序其他信息。雀皱2.变量使：假定属于蹈已知值域的举任何值。变色量有独立与演相关、内生滥与外生、先启决与滞后等屿区别。夺3.参数手：在特定的领模型中只能孔假定取一固育定数值的量榜。有固定与勺可变、可调秧与不可调之寻分。刷4.数学绘式：用以联手系变量、参键量的相依序视关系的符号示，如"="拣、"<"、拐"3"、"守￡"、"朋"等等。适5.逻辑边表述：关于呀模型结构，驼因果关系的深表述，如"鲜?"、"不ì寸"、"T"皱，等等。港依照上述分宰析方式，可顺以定义原型吃的可分性，背从而引出子筝原型，原型架元等概念。部勿需讳言，米可分与否是徒相对的，有量主观性。一端般说来，当刺原型或子原参型的内涵与碍外延已十分希清楚时，可写以认为其已长不可分了。司先利用一个基哈本的数学结身构，通过改掀变假设条件全或数学推导胸可得出新的粗数学模型。耕有时新结构辩之间并不矛死盾，有时却认相悖。我们骂试看一例。苏貌【例1.2李.6】套汇趣均衡那众所周知，暗在国际金融壳市场上汇率予是瞬息万变粘的。如果以圈有n国货币之的金融市场粱为原型，则铅汇率有种城。然而若将案货币间的相椅互影响和单啊向汇率考虑船在内，则问劈题将变得十躁分复杂。我胜们把多国间凳的问题分解形成两国间的捡问题，则大碌大地简化了供问题。关于傻汇率变化的顶机理，经济票学家认为套巨汇者的推波至助澜是关键洪的。我们假吧设：A国和各B国的利率喝分别为rA扬和rB，现眯期汇率为S亚t（A币/滩B币），期方货汇率为F及T，（T>愁t）。套汇学者对其行为煮有一定的估听价，先从A森国贷款a（结单位A币）宇，并按St业换成B国货棒币存入B国依银行。到T宝时刻连本带生利一起取出峡，按约定的斜汇率FT兑愈成A国货币药，那么以A蜡币为标准单序位的净收益句M1：丘如果p<0取，反其道而扮行之，得到朱M2：忙其中b是向张B国银行所敢贷的款额，由这时必有p欧>0。假设岛M1所给的勇净收益是正极的，则有一既等价模型M3：亭在此模型成到立的情况下蚕，套汇者一鸣定有利可图厚。当众多的蜡套汇者都这美样干时，会交引起rA上央升和rB以之及FT的下的降，综合结盼果是使p趋耗于零。于是通，我们得到蔑均衡模型M4：缝M4说明了盛汇率变化的兵中心趋势，某FT实际上怖是ST的预琴测值。值得镇注意的是M携3是由M1嗓引出的，M明4亦然，但犁M3和M4庄不能同时成广立，它们不冬相容的原因脊是加了不同宏的假设条件参。拼我们定义两为个数学结构粥是不相容的什，如果在数筹学意义下两戴个结构不能猪同时成立。碗例如由于不识存在这样的胳ST，FT弓，rA和r雅B使M3和戒M4同时成掏立，故称M谷3和M4不吃相容。我们画记之为M3穗∩详M4=?。轨纷由于模型间布有一定的逻罗辑关系，我灶们引进序的丝概念：如果蝴由一个数学余结构MS￠递可以得出另砖一个数学结夫构MS＂，厨则称M＇和泳M＂之间存缘在着序，记呜作MS＇f财MS＂（买读作MS＇啊导MS＂）例。所谓序"罩得出"包括镜适当地增加场假设条件和夕纯形式的推允导。如果依兄据纯粹的数华学理论及方志法，从MS腾＇推导MS震＂，则称M专S＇和MS弃＂之间存在冲真序，记作帖MS＇ff虫MS＂（读坊作MS＇真贺导MS＂）护。根据模型余化的观点，馆不是同一原屑型的模型之吧间无所谓序视关系。今后倒谈到模型间接的序关系时拔，均指同原她模型。由定凡义我们不难沉证明两个命烫题：巧命题越①重若M＇f巨M＂，则必耗有M＇赖∩施M＂愧≠胆?亚命题层②供若M＇ff括M＂，则秒必有M＇娘∩私M＂对≠缓?劈这些证明留玉给读者。惩既然有序的样概念，很自腔然地引出数休学结构的等确价关系。如塔果两个数学恳模型M＇和络M＂满足序棉关系，且M罚＇fM＂婶，M＂fM旬＇则称M＇仁和M＂是等胖类的，记作昂M＇死∽俱M＂。如果辆M＇ff繁M＂且M＂衔ffM＇嗓，则称M＇汉和M＂等价辣。记作Ｍ＇控∽侧Ｍ＂。显御然，等价必丢等类，反之热不然。关于竟导序的性质使，不难由定妙义推出。夸1.对称上性：若M＇汉fM＂，尿则M＂p乒M＇；湿2.传递智性：若M＇涌fM＂，渐M＂fM＂崖＇，则必有趟M＇fM＂立＇；门3.反身妖性：若M＇歇fM＂，器M＂pM肝＇，则必有京M＇薪∽箭M＂。预一般来说，贱导序具有的趟性质，真导城序也具有，铜反之则不一者定。前面提长到通过增减魄条件或推导说可以得到不州同的数学结韵构，但并不注一定称得上古新的数学模犬型。抽象地捉看，从旧的迹数学模型到判新的数学结答构是一过程便，经过了一言个映射。正础如我们可以腊把从原型r消到模型M的橡过程看成一哀种映射一样诉。对于数学跑结构而言，怖封闭是一个贝严格的概念哪；但对数学检模型而言并矮不十分严谨居。我们姑且假这样定义：汪如果模型M转在一映射榆Γ赤下所得到的比数学结构仍胁是一个同原障模型，则称多该模型对映逗射P是封闭艇的。【例1抚.2.7】腾可以部分地生说明封闭这紫个概念。朋【例1.2颠.7】财务吩分析胳假设某公司桃经销一种商塔品的数量为兆x，单位售作价p元，经凭估算固定成紫本为FC元鹰，单位可变蚊动成本为U肚VC。于是兔，由定义有疗抢M1：S痰R=px涉M2：C兵=FC＋U联VC态·腐x界M1表示销版售收入，M议2表示总成熔本。对C微狭分得到边际糠成本模型，亡与M3：M东C=UVC格讯将M1和M妙2视为一个刺数学模型，团则利润I的全模型为冈M4：I薪=（P－U困VC）韵·济x－FC驾可以看成M沸1和M2经码过减运算得森到的。利润卫率IR则是桨由M4和M中2的商运算库得到的，M5：寿根据模型化哀原理，我们严可以这样认价为：M2对胡一阶微分是喜封闭的，但净对二阶微分墨不封闭；数党学模型M1话∩唯M2对特定晌的商运算也胞是封闭的。科册迄今为止，气我们只是讨掀论了模型的棉一些基本概垃念和性质，县对于这些概倡念的系统讨亏论和研究将乱在第二章中即进侄第二章数护学模型化链稀从第一章的拳讨论我们知另道，数学模包型是反映原仰型的数学结弓构，而本章爬讨论的数学竟模型化则指左提出、设计疫、建立、求清解、论证及叨使用数学模挎型的整个过塔程。本章主崇要论述与模轰型化有关的淹数量化度量象、经济数学查模型的分类沫、模型和模栽型化应用的们条件和范围月、模型和模躺型化选择的搭标准等问题舌，最后对模种型化过程进味行设计与讨辨论。阵§殿2.1数待量化和量纲览分析冻§仅糖数量化的报度量问题偏经济信息数巾量化是构造挪模型的前提励，经济原型奋总是具有质酒与量两方面速的信息，模拍型所需的信栏息是二者的始结合，即信法息不仅包含乘经济概念而避且有一种数咏量的度量。镰度量是定性横与定量结合留的过程。量溉纲是带有质末的规定性的鱼数量度量，凑因此，在模纯型化过程中遗是值得重视扒的。从理论商上看，数学锻结构中的各科种量是没有裤量纲的，但香作为一个经鉴济模型，模廉型的输入和捉输出的信息训有量纲的问鸭题，这是客免观存在。事尝实上，没有炼量纲这个标与准，则使各踩经济变量之凤间失去可比畏性。在商品萝经济存在的迈条件下，各拜种实物往往调需要用货币垂量纲来反映迹价值，生产洒、流通、消险费和分配等滨因素的联系冬需用货币量冷纲来体现，炕因此，在讨跟论问题时，袖往往把量纲蹦统一于某种虾货币单位，邀从而，使不助同质的量得局到统一的度晨量。但实际玉中遇到的原及型不尽相同眠，而且并不酷是什么都可右以用货币度磨量的。因此信，在数学模触型的构造和扁推导过程中魂要注意量纲馆是否合理，对否则可能失背去原型背景余，即不再是底同原模型。尿诸不论是构造追什么样的模岩型，总是要颂选择一些基率本量纲或原铺始量纲，经糕过模型构造周和求解后，拘往往生出一忘些新的量纲室，我们称之炎为导出量纲革。例如，在杏描述一段时健期内的平均袖收入时，我逗们把单位时辉间和单位货倡币称为基本俭量纲，而把莫（单位货币裙/单位时间我）称为导出朵量纲。我们泼定义一个量耐纲是独立量全纲，如果它顺不能由其它倚量所导出，摧如经济上常思用的货币单恭位、实物单版位、和计量寺单位等等。辫从数学的观叫点看，以什稻么作为量纲湖并不重要，菌关键是在构晕造过程中量脑纲必须始终顾是谐调的、牛规范的。只崖有这样才能泡保证所得的芳模型与结果朋不仅有数学港意义，而且揭有经济解释打。芳无量纲的经速济量（指标阵）在经济是牛经常遇到。慰诸如比例数屑、比率和指谜数等相对量面，就可能是证无量纲的。里另一种较特滤殊的量是只懒起记录功能压或排序功能之的"数量"尽，例如，把枯盈利记为1辰，亏本记为焦-1，盈亏蝇平衡记为0读。这种量与狂有量纲的经某济量有质的稍区别，应注炼意其数学处输理的条件和碍应用范围。把谅模型化过程携中常需直接栏利用已有的季统计指标，康这时更需注采意量纲问题吐。按我国的污惯例统计指发标分为数量卡指标和质量残指标。数量席指标反映企杜业、部门或保整个国民经宵济工作的直子接结果，它睁是刻划经济姓规模的计划止指标。质量导指标反映生张产资源和生谜产因素的利投用效果，它护是描述经济英活动的统计港性指标。质塑量指标分技娃术经济指标墙和经济质量手指标，前者去表示固定资乳产和流动资富产的利用效脾果，产品质缓量及各产品凭生产间的比朽例关系，它就是编制计划陈的依据，后索者反映经济前工作的质量振与管理水平到。与指标密抓切相关的因敬素是统计方身式，这些都惕是收集信息浆时应当注意果的。鉴于我刘国的经济指宿标体系与西剩方不尽一致棉，在考虑借脸鉴西方模型罗时尤应慎重亮。剪§闹像量纲分析觉蕉前一节中已担经提到过量迈纲等概念，转我们将进一足步深化它们墓。模型化常粪会涉及到可答度量的信息愿，如经济中姿的国民收入归、产出、消嘉费额等，既睁是经济概念奉，又是可度绪量的。度量幕单位是带有渗质的规定性燥的标准。在据这种标准下饿，信息传递纯被简化了。绵例如两个量叨不经实际比钓较，就知道琴孰多孰寡。僵物理学之所犯以成为严谨饶的科学，得沿益于数学模盒型的利用。赚物理学的典镰型方法是把酷物理原型用纤数学模型表破现出来，通肯过对输入和笨输出的量的辽量纲比较，巩说明了物理路学规律。量姥纲分析（D苹imens希ional顿Anal嚷ysis）贺就是物理学膏中一项模型磁化技术。（率我们将沿用喉物理学中的岔名称予以介移绍）演众所周知，回一切物理量般可以由若干筛基本单位推提导出来。基劫本单位的体宗系在物理上笛称为单位制来。例如力学教单位制可由较长度、质量链、时间为基炕本单位的绝慕对单位制(山Syste信mof况Absol础uteU塘nits）败推导出来。而除基本单位守之外，任何裳其他物理单无位均称导出叙单位（De脉rived逢Unit掌）。如果q劈，j，y，舒…把为基本单位饲，a为导出神单位，根据悲定义或定律惭导出单位a咬可以表示成掀秒a=c济qjm牵yn戏…阴判的形式，其戴中c，，奴m，n，谈…璃是常数。则紫称指数，怜m，n，夕…按为a的量纲母，量纲公式康记作游[a]=畏[qjm闯yn剧…够]轻其中"[腹]"读作"越…惑的量纲"。订对于一般的兔模型化问题仿，无法建立熄适用于一切呜原型的单位揪制，但是对净具体的模型萍化问题，的剪确可以提供泄一个"单位质制"。我们钉仍称被推导框出的单位为宣导出单位，蛙沿用一切物兽理学的名称肥。砍量纲分析方趣法可以从单酒一的前提条夕件，对某一塔现象推断得爆出有价值的肯信息，而该耀现象可以由刮某些变量中核的一个有量房纲的、恰当毁的方程来描陶述。量纲分新析可用于设艇计比例模型冰，处理如何话按比例调节邪系统的参数饲，使之能根衔据模型预测龟未来。量纲仆分析还可以粒使变量按有咽意义的方式摧进行组合，颤从而减少变祥量的数目对咸有关数据的稀需求。量纲汁分析的主要能依据是白金赵汉(Buc尘kingh长am)的P熊定理以及相织似定律（L唤awof起Simi欺litud黑e）。我们狐首先介绍P狗定理。岁P定理：假沙设有n个物跳理量a1，允a2，鸽…匙，an和m扬个基本量的吃量纲单位b甩1，b2，踩…费，bm，如虚果关系式泥f(a1，谈…吉，an)孤=0月的成立与基租本量的单位限无关，则总则可以转化成座为庸F(P1，代…木，Pn－m私)=0垂普其中P1，滥…芦，Pn－m剧是无量纲量永群，形式为筋耻这里F为某喷一函数。味我们回想一查下代数学中篮的结论：线湖性空间中的文一组基可以烈将任一向量纸线性表出；性任一组向量与亦可选出基敲向量。P定良理的使用方茅法与基的扩宗充方法相似茎，首先从导报出量a1，蒙…过，an中选核择能包含全排部基本量纲跪的m个导出缩量。不妨设春a1，再…久，am的量租纲中含有b爷1，幼…乌，bm，则龟可用剩下的爪n－m个导型出量构造无杂量纲量群。赶我们设顺，i=1,眉…嫂n-m升其中hij务是待定参数另i=1,姓…漏n-m，j紫=1,流…粮,m。由于足a1，敢…置，an的量科纲单位是从侨b1，锤…套，bm导出嘴，故有仰，j=1,研…罢,n叛其ajk是断aj的量纲蓝，k=1,气…盆,m。利用置前式可得豆日因Pi是无辜量纲的，故母令乐，k=1,甲…陪,m漂如此得到的毫m(n-m糊)个方程恰向好确定所有例的待定系数射hij，i齿=1,内…分n-m，j恭=1,浓…富,m。这个瑞方法不仅给辨出了扩充的恒步骤，而且秧给出了一个米构造性证明垃。掠【例2.2新.1】万有塌引力模型坑牛顿的万有扰引力定律告赞诉我们：两骑个物体之间慰的引力与它衰们的质量成元正比，与它娃们之间的距轻离成反比。俱模型为现鸣式中F是万物有引力，G两是万有引力基常数，m1削和m2分别湖是两物体的悟质量，r是拿两物体间的射距离。假设谎基本的物理以量是质量M绝，长度L和哑时间T，我县们来分析一透下万有引力检模型的量纲哲。显然，公[F]=M岂LT-2池[m1]=艇[m2]=犯M亿[r]=L泼霜[G]=M团-1L3蚕T-2鼻设a1=葛F，a2傲=m1，a渡3=m2唤，a4=散r，a5睛=G则系数贡矩阵为踏伞选择a1，秋a2，a4蜻为基，则婚冬于是我们得跟到悔h11＋h孔12＋1=狂0碍h11＋壤h13=硬0余－2h1确1=0和膜h21＋h牺22－1=氧0朋h21＋h闹23＋3=发0验－2h2圆1－2=0判挨从中解出披恰无量纲量群汉斗由P定理可瑞知，必可转惯化为截F(P1，浪P2)=0嚼持事实上，稍牺加观察就有纳坊P1P2蜂－1=0悄学这是万有引售力模型。请能注意，如果后我们考虑的你体系中有这横五个物理量合，则可以纯动形式地导出回万有引力模落型。当然，齿难点在于把虏G考虑在内榴的物理直觉衔。朱【例2.2旅.2】流体鱼实验糠我们这次从情经典的实例光出发，讨论店量纲分析的伤应用。原型荐问题是几何灿形状相似的适物体在不可那压缩粘性流相体中的阻力袍问题。这种帝阻力是由于旱流体沿物体亩表面流动而径产生的。我教们记f为阻拜力，物体相翅对流体的速漆度为V，流柏体的密度为冰r，特征长滤度为ｌ，粘告滞系数为m膏（注：m是盼粘滞摩擦阻理力和该物体新的速度梯度风之比例系数震）。仍以绝创对单位制为烫基本单位制蚁，则五个物暴理量，量纲事单位分别是雅MLT-2啊，LT-1远，ML-3亲，L和ML给-1T-1裁。与例2.烈2.1相仿行，可以得到呆拾考察其物理搭意义可知：咸P1表示粘邀滞力与惯性妇力之比；P筑2表示阻力终对流体在该务物体正面投急影面积上的块作用力之比叛。称为雷牙诺数（Re融ynold滋sNum匠ber），燥层流时其值态较小，湍流滥时其值较大圈。如果我们酿的原型是湍章流中的阻力就，则应对R般足够大的情扯况设计实验白和分析。这灾样一来试验萝变得更为合后理和有效了稍。斥【例2.2蜂.2】中痕就是一个数崖学模型！我胃们希望了解美阻力如何因倘速度变化而凯变化时，注宅意到另外三透个物理量如帆何变化，则俊需要相应地编做许多次实柔验。量纲分影析法使我们啊科学地减少剑了实验次数草和测量数。逮但是，量纲削分析并不是净一种机械的识方法，变量吨的选择依赖究于洞察力和垂判断力，因撇为一旦包含食无关的量或殖多删了必需占的量就会导庭致谬误。刮综上所述，结与其说量纲涌分析是一种绍工具，不如避说是一个过爷程。首先要梨对原型中有抬关变量和常尊数进行识别债，选择系统墨的主要候选亚变量及其量部纲；其次是蓝运用某些方粪法，如扩充较法、P定理双等解出无量点纲量群；再为次是对无量恋纲量群及其难乘积和比率翅进行原型背谣景的识别与射推断；最后帮建立成数学饱模型以拟合赚原型，达到窗对原型体系扮的认识，简采化实验设计蓄，数据收集密和数值计算圣的目的。损相似定律是松许多物理实肯验的依据。眨该定律认为坟：两个同类判的物理系统摩的Pi值如工果相同，则泥它们的物理密状态亦相似芝。因此Pi遥值相同的模娃型实验的结里果可以用来喷推测原型。糟由于物理量草成立的关系马式是对基本福（运动）方对程进行数学怪运算得到的订，所以关系泰式中出现的馅数值系数的蚀数量级多为木1。因此，忍相反地，在锣几个量间进怕行量纲分析向时，如果根比据实验结果绿所决定的系没数值不是过去大或过小，煎则可断定在悠这几个量之闲间可能存在买相关性。忍最后强调几攀点：旧1.量纲犁分析的基本虹方法没有固蛮定的形式与正结构；魄2.变量贿和常数的正缴确选择常常筝依赖于建模铺者良好的直纳觉；评3.假说窑是十分必要到的，不可太浪机械地利用室量纲分析法叉；苍4.P定所理有双重含化义：其一是销存在一组无无量纲量群，榴其二是如果泼主要变量或逮量纲数为m库，导出变量高数为n，则放其必要的独将立无量纲量消群的数目为蜘n-m；迎5.量纲嘴和单位之间寻有差别，我愧们要保持单剩位的相容性建和量纲的一响致性；龙6.无量惭纲量群是组旗建模型的砖袋石。脂§承2.2数缴学模型的性咬质应用条件吃及评价准则吐暗数学模型是带抽象模型中定应用最为广谱泛的一类，桐它除具有一铲般模型的性红能外，还有远其独特的性水质与功能，赛这就是数学符模型日益渗稀透各个领域营的原因。数念学模型是借牛助抽象的数插学语言来表宪述、分析和迟研究原型的惕数量的关系烦及量变规律怒的。由于数醒学本身的高呜度抽象性使益数学模型不河可避免地具滩有一定的抽熊象性，数学络模型可以简筒化复杂的问势题，提取关拆键的性质，端使人们看到享原型的本质选，另一方面始，数学模型犹有其具体的西、确定的客怎观原型，它垃是原型的反趁映，故数学悠模型又有一纪定的现实性马，这两重性辜使数学模型迁得以广泛应储用于自然科凑学和社会科眠学。众所周垫知，数学是征一个自封闭唤的、严谨的握逻辑系统，蠢因此受制约汽的数学模型华必然具有严际格的逻辑关盘系。如果数说学模型是正细确的，那么缠，由其推导思出的结果也嗽必然是正确怪的，这是其户它模型所不您能比拟的。睡筹数学模型与外其它模型的喂不同之处还苏在于它有坚耍实的理论基坦础和有效的克实现手段，昂理论基础是峰指数学理论沟的支持，从爸最基本的概抢念、定义或桥公理出发，跑经过严格推爪理建立起来求的数学公理岩化理论系统蕉，有许多可云利用的定理卫、方法和结古论。实现手涛段是指计算公机的普及为炮数学模型的脉应用奠定的治物质基础。粪如果说，运涌用数学模型筹是一种科学泰成功的标志疗，那么，这茶种科学的完击善的方式就酱是运用数学剧模型。蹦由于现实世古界的任何事絮物都具有一纱定的数量关暖系和空间形尊式，因此，贡原则上说，为数学模型可镰以研究任何结原型。当然梳，数学模型存的应用，也结受一定条件糠的制约，有波其应用的范弄围。Ros盲enblu概eth和W象iene先(1945纪)曾对物理位模型的实用骗性给出充分掏必要条件：屠多1.在不范熟悉或不太环熟悉的领域越（原型"空横间"）里的猜一个现象必床须被（更）撤熟悉的领域狡（模型"空妹间"）里的前一个现象所黎代替。薄2.模型及化实验必须州在比原型实精验更有利的规条件（包括申费用、时间传等）下进行控。哄这两个条件绩对于数学模洽型在经济中块的应用也是从有启发的。即朝数学模型在愧经济中的应挥用是很广的及，从应用的妥目的归纳大校致包括四个冲方面：贤1.观察局和预测经济颂事物的机理呀变化和发展龟趋势；升2.规划推和设计经济膀的现实与未茧来；念3.分析帜和控制经济御的运动与规掌模；蚀4.研究页和解释经济满现象及规律妨。庙具体地说，竿数学模型是碗为了增加经逮济效益，降捷低经济消耗光，合理地利闪用现有的资星源等等。经惯济上需用模痰型的原因还际在于人们往慕往不能或无营法直接驾驭处经济现实，溉所以借助数巩学模型是必演然的。财数学模型可伸以用于研究沈许多经济问田题，但这并庸不意味数学桂模型可无条己件地应用，胡应用数学模截型的必要条宗件是：库（1）经济舟原形(EP货)可以映射肌到数学"空沫间"密此条件包括胁：EP的有昌关概念定义保明确；EP掩的经济假说穗具有一定的腾科学性；在糠数学"空间雾"里存在着瞒与假说的数手量关系、逻昂辑关系或混恨合关系"同就构"的数学衡关系式；可哭以通过必要沿的推导或证拉明得出有意英义的数学结耽构；所需要捷的EP信息士必须能够收抱悉，并可处石理和转化成谜为模型的参带数。源（2）数学宾模型在数学绍"空间"中程可以研究悼此条件包括秃：研究数学隆模型的数学燃理论与方法铁是完备的；权数学模型必莲须满足一定惰的数学性质笨（如可解性秋、稳定性、穿可计算性等掉等）；结果僚必须能从数械学上验证其腔正确与否。驱必要时，可货以在计算机得上实现。胀（3）数学陆模型及其结茧果可以映射坝回经济"空粱间"芽此条件包括据：数学模型妹及其结果有剧一定的经济吐解释，可以睛验证经济假串说或可以用歉经济实践检做验。即数学每模型及其结喜果可以用于究指导经济工言作。昌如果上述三细个条件不能隔满足时，不寸宜使用数学谈模型。糠对经济原型视的多种的希按望使评价模挣型的准则也浊是多种多样予的，人们总顺是希望在众狸多的"可行依的"模型之腹中寻找一个除最佳的模型泊，一般说来方，合格的数迎学模型应当佩具有下列性沸质：匙（1）真实静性或现实性菠：如果一个谦模型客观地园反映了原型铁或子原型的熟量与量的关谊系，则称此舞模型具有真洒实性或现实屯性。壳（2）一般奶性或普遍性膜：如果模型片的数学结构蓬能够用于许省多其它原型塞，则称此模帐型为异原模丘型，具有一谎般性或普遍颗性。含（3）简洁糖性：如果模却型能突出原秧型的主要矛稍盾和特征，寇而且忽略、阻舍弃次要的刺矛盾和特征垂，则称模型扮具有简洁性签。呢（4）精确组性：如果模再型能够在一黑定程度上，狗比较准确地绵刻划原型数蜡量方面的特眨征，则称模病型具有精确励性。鹅（5）有效遣性：如果模怎型可以多方河面地从不同根的角度刻划劝经济原型或休可以派生出呆较多的信息穿，而且具有射多种功能，劈则称模型具骗有有效性。俗种这些准则并陆非一定之规徐，使用时可际以权衡利弊距，有所取舍兼。懒模型化与模棒型是密切联茶系的，除模哀型化所得到消的模型有上斜述性质外，堆模型化本身叶应满足以下止的要求：绵1.可行偷性：可行性废包括：信息乖可采集、可肤转化、模型楚可构造、算捷法可实现、践假说可验证辰、结果可解背释等等。累它2.经济拔性：模型化耳的过程中有焦一定的消耗辛，其中包括废调查情况、疾收集资料、皇处理信息、堤构造模型、树计算、分析抄、验证等等装过程中的费善用。模型化咏的收益与费敬用应当相称损，经济性要效求对模型化眉的规模和复消杂程度加以胜控制。述3.实用低性：经济数增学模型化贵导在有实用价械值，这里包企括模型化过式程所需的时尚间短、经济壮实践中使用砍方便、可靠仪。炮值得指出，斧模型化的要瞧求对模型的宫选取也有一群定的参考价殿值。乔§暗2.3数帆学模型的分仅类栽下面讨论一晋下数学模型判的分类问题伐，这对于正族确地构造模雪型和使用模串型都是有益趁的。下面叙踢述几种分类徒方式。称（一）按模目型的数学性吴质分类忽按数学模型淋的性状大致骤可分为三类雄。其一为确淘定性模型，阁其原型具有苗相对地确定障性或必然性翠，原型的各鉴种关系相对宏稳定明确，然模型的数学印结构多为各械种方程式，知点集映射关境系式和图式派。其二为随织机性模型，话其原型具有汉随机性或偶泳然性，原型脉的某些关系背是波动的和樱不肯定的。拾模型的数学衡背景理论是揉概率论、随寄机过程、数己理统计、多消元分析、和稻鞅论等等。概其三是模糊娇性模型，其遣原型及其关艳系具有模糊锣性或不分明向，其处理方兄式是Fuz沫zy子集理亲论、信度理阶论、证据理趴论和Fuz斤zy逻辑等剧等。付按数学模型捆的各种变量猫、参量和函棋数结构的变鉴动情况，可饺以把模型分针为连续型模陡型，非连续餐性模型和离闪散性模型。瓜连续性模型正对于任何量济或关系的微买小摄动是相请对稳定的；座非连续性模返型对某些量量或关系的变普化是间断的妥，有跳跃的胆；离散性模董型则多指其愤变量是可列梢点列构成的腰。肃根据模型的还参量可以分富为固定参数泪(fixe课d-par脆amete守r)模型和尊自适应参数滥(adap恢tive-阅param不eter)流模型，前者桂在模型化过沸程中所涉及姿的参数只需幼给定一次，领而后者则随稿着原型的变润化而进行必杜要的调整，呜这时参数往建往属于一个司参数集合或崭空间。严（二）按模族型与时间的还关系分类：搂迟亦可分为三代类。首先，干若模型的行辣为随时间而沾变化而且时寸间是独立的肃变量，则称闪为动态模型辅，其原型和拐时间关系密伍切（有时也众称随阶段变戒化的模型为拼动态模型）竞。其次，若投模型的行为竞不随时间而谨变化（时间晒可以是参量商），则称之雪为稳态模型蠢。其原型对无时间的变化我相对稳定。仓另外，若一里非稳态的原乐型用一系列雀静态模型来丈表示，则称膊此系列模型爹为拟稳态模磨型。其原型环是动态的，杏而这一系列习模型中每一茎个模型是稳伟态的。如果债细分，动态隙模型还可分扩瞬时模型(证insta虏ntane妈ous)和两记忆模型(页memor循y)。前者激在任意给定虽的瞬刻的行素为只取决于挽此刻的环境犁或因素；而劫后者在任意像给定的瞬刻科的性态可能返依赖此刻之抽前的一段时屈间的历史环乒境或因素。屋记忆模型还帐可以分为两亚种：其一，笼独立于此刻南自身的行为粱而此刻之前盈的一段固定灾的有限时间臂称为定时距宅(time箩inva麦riant晶)模型，其国二，在现在过任一瞬间的贴记忆范围，克直到过去的毅一个固定的担瞬间称为变拼时距模型，泽这引出所谓监因果性分类贷，即若模型扭在一瞬间的宜行为取决于柿过去和现在尊，则为因果问模型，若其龟还取决于未阿来则为非因居果模型。此撕外，动态模室型还可分为醋周期性模型颠和非周期性篮模型，随时牺间总是作为养节奏有规律担的变化的模疤型称为周期堆性模型，否误则称为非周衬期性模型。虾应当指出，匙按步骤、阶懒段而变化（中与时间长度冠无关）的模泡型有时也称伍为动态模型景。在经济中基动态模型是皂一类应用广膛泛的模型，必尤其在宏观亲方面。墙（三）按模次型的经济背止景分类赠按原型背景凳分类，可以送分为宇观经柔济模型、宏消观经济模型观、中观经济找模型和微观锡经济模型。搁它们的原型旋背景分别是贪世界、国家酬、地区和企捎业（这种分惑类尚有异议鸭）。发按学科分类愧大致有运筹他学模型、经这济控制论模慎型、计量经苍济学模型和努数理经济学御模型。这模早型都有其独云特的数学理捐论和方法，萄而且可以再漆细分。面按模型化问蚁题的类型分概类，可以分巷为模拟模型促、统计模型让、优化模型床和结构模型废。模拟模型尝和统计模型幻重在科学地葡观察、预测烛；优化模型摊重在配置、陈统筹和最佳黄控制；结构勇模型重在对祥原型的逻辑爽化、分析、瘦推理和解释钉假说。放（四）按模未型的数学机稻理分类亿大致可分为够：溪①宏数学规划类桥模型：包括冤线性规划模柔型、非线性证规划模型和代动态规划模贝型等等；愤②于统计回归类瞧模型：包括律时间序列模这型、多元分爹析模型等等悄；沟（五）按模幼型化目的分效类侄大致可分为透：观察和解房释模型、计荡划和设计模猛型、计划和奸设计的优化宫模型、机理梁过程分析模娃型、控制模独型和研究模慕型。援此外，还有那一些其它的燃分类方式，即而且分类不久是绝对的。晓但是，识别帝模型的类别悟无论对构造薯模型还是使洽用模型都是宅十分必要的迁。消§粒2.4模捏型化过程童许多人曾给用出过数学模退型化的步骤沈，但很少有柄人详细地说扮明这个过程罚。本节试图葛详尽地阐述裕模型化程序然，给读者一竞个较清楚的楼轮廓。我们耐首先给出模蹲型化流程图痛。绣模型化流程全图图2.贡1择§活深模型化方毒向的表述和追经济原型的前机理分析胸一、模型化医方向的表述蚂申模型化过程抄始于对模型励化方向的表反述，当你怀令着通过模型不化研究原型款的愿望，进是入模型化过榴程，起初的丹模型化设想杏可能是模糊戏的，不完整窑的，随着模勿型化的深入治和反复，不环断地修正、垦调整，模型醒化的方向就姨会逐渐明确糟。在此阶段章，应尽可能例地表述整个腰模型化过程巾和注意模型壁化的可行性盖、经济性和您实用性。可劲四个方面来惩表述：贪（1）表述灰模型化的目咸的吨包括模型化芒的动机和模棋型的用途等救等，不同的艺目的决定着宇模型化不同凝的方向，如悬用于理论研称究和实际应芬用的模型化白会有很大的盘区别，由此宽引出模型的弃性质、类型冒、评价准则蚂等一系列的塔区别，它是省模型化沿正天确方向进行孙的必要条件法。转（2）表述梨对模型的期污望饮表述包括对牢模型解决问娘题的程度、插范围以及模漫型性质的表羞述，它是模萍型化目的的穿深化。匪（3）表述爷经济原型的搏轮廓怜表述包括原浓型的横向与径纵向，原型访的内涵与外狗延，原型的醋内部、边界象和外界等主条面的表述，判它是进一步熊明确原型定宏义的前题。虏氏（4）表述正可行的模型昏"空间"胜表述主要指性建模型者所由熟悉的模型煌的类型，虽爹然我们尚不成知确定何种拴模型，但通佩过掌握已知堡的条件成为组可行的模型霞类型，这时贸类比分析和浓考虑异原同渡模往往是有石益的。当然貌将来构造出通的模型可能咳并不在第一均次列出的候死选之列，模亿型化过程是捧一个反馈型念的创造性过字程。偏上述四方面睡的表述不是我一次完成的库，在模型化万过程中，可懂以修正、补疤充或简化，喷它们是调查补和分析原型育的前题。柴二、经济原缝型的机理分峡析暂经济活动通波过抽象和提浊炼而形成了抗经济问题，差它和客观经皇济现象有所辉不同。如果袖我们以一个荷经济问题为量原型，那么蜡其经济背景距就是原型的艘原型。具体弦原型具体分谢析是模型化特的灵魂，对朵原型的机理薄分析的方式让可以是多种肉多样的，我挎们在此强调别的是以定性薯为主，定量份为辅的原则耗，采用将对绸象化整为零河、把复杂事挎物分解为若军干要素，对项局部或要素抚进行研究和之认识的一种值手段，一般雹说来，原型斩机理分析包互括以下三个谣步骤：观（1）分析去原型的外部序及边界的机隐理捕其中包括分细析原型外部才和边界的状纯况，它们中属哪些因素对沫原型的存在隆和发展的影胁响较大，它摇们是怎样发远生作用的等甘等。承（2）分析熔原型的内部欣机理烧其中包括分送析原型的可蓄分性，子原定型的结构和斥相互依存关撇系，原型元殿的特性、作舞用、存在和字变异的条件杨等等。歼（3）综合障分析杨综合分析包恐括对原型的钞内部、外部旧和边界的相忌依关系，原巡型存在和消冈亡的条件、赢发展和变化闹的形式和趋半势，以及原揭型的本质与毛特征和遵从睡的规律等方掉向的分析，厘它是我们进绕行简化和抽脏象的关键。矿违分析使经济厨原型的各种篮属性和本质侍清晰地呈现塌在我们的面碑前，而综合坊则把经济原君型的各个部遇分、侧面、速因素统一起巩来加以考虑志。铁综合是建立袭于分析的基遥础之上，运羽用正确的社渴会经济科学者理论和概念会，对原型的丧各个子原型票和各种要素惧的理解统一室为对原型的悼整体认识。走这种认识将双引导人们对疮原型进行合咳理的抽象和弄作出科学的授假说。陕§宏闲模型化假疑说和模型的尸构造涉一、模型化椅假说望假说是自然概科学和社会坚科学发展的职描述形式，险是通向客观棋真理的必由做之路，它在韵模型化过程避中也是最为书关键的一步信。严格地说普，模型化假监说是由经济杰假说到数学苗假设的过程诱。及所谓经济假枪说指依据客建观经济事实矛和普遍规律姐，结合一定灯的经济概念冻、原理和科阳学知识，对裳于经济原型慧及其本质和波规律所作的辞推断或解释弯，由于社会碗经济的机制虚复杂，因果棋关系不甚分饰明，假说是僚经济研究中勤常用的方式箱，如西方的斑各种经济学丢流派的理论邀实为不同的叉假说，经实耐践检验是正星确的假说，该就形成了理棉论，作为经送济假说往往罚有三个性质内：三一、似然性垃。人们常常潜感到假说与场人们的直观立的想象差异商不大，但都能不能断定其倦真伪；二担、推断性。碌由于造成一左个社会经济材现象产生的魔原因很多，溪假说往往是锈凭着构模者邮的推测或判农断，找出在则冥冥中牵引垂的魁首；眠三、简明性斩。假说不再乏是原型本身更，它简化了胜原型的复杂择程度，抽象泰出最本质的他东西，对原招型的结构，燃趋势和规律领做出了较明舒确的规定。肆剩关于经济假剂说的范围大尖致应有两方离面：肌（1）对原剖型有关的经讲济概念的假骨说，一般说建来，一个经敞济概念往往咸有多种解释队，这与模型争化不利，因威此，在假说围中应明确一抵切有关的经他济概念前后已一致，以统括一口径。此高外，假说时晨，要注意尽锦量使用量纲样或可定量化堵的经济概念袜。求（2）对原膛型的经济规闲律的假说，汗由于原型及因原型中子原式型和原型元盖的逻辑关系沟和变异形式威可能很繁琐究，所以必须画选择其关键测的逻辑关系激，普遍性的售变异形式加疯以假说，排艺除一切不明嚼确的或小概牲率的情况，埋假说原型在时一定的条件舌下，遵从某碑种规律。格在经济假说晋中应注意承阔上启下，考宫虑经济假说僻的合理性。封所谓合理性释包括：假说优中有关的信眯息是否可以赚获得，是否肺可靠，能否狼定量化；经弄济假说是否忠有适当的依与据，能否检杰验，是否符张合原型的客六观背景，经旬济假说是否眠为数学假设稠奠定了足够吉坚实的研究甜基础，等等雨。在运用经版济假说时，顺要充分发挥视主观能动性疼，依据科学扰原理而不拘驳泥其间，勇厕于提出自己送的假说；根蛛据客观事实疼，利用创造敢性思维，对醉未知的事物朱进行推断；刘正视现实，盈以无私的态索度接受实践争的检验，不范断地修正或雷放弃经济假押说中的不妥喜之处。袜数学假设是树经济假说的云精确化。它围是用数学术崖语考虑前述蝴一切过程。规对经济假嘱说中所使用插的基本经济粘概念或经济复量作出数学柏假设。一般单将要研究的种量设为变量悔，将影响模沸型但非我们滴所要研究的芦量设为参量浑。此外，根厌据具体原型饺及经济假说港，对变量和洽参量的数学糕性质，定义集域以及变量方间的相互关贿系等等，给建予严谨的数迈学定义。在合数学假设中驶，既要尽力剂与经济原型撤吻合，又要傅有所创造和跟抽象，即要盾满足经济假怪说的描述，恐又要兼顾模甚型的可构造梁性。因此，钳数学假设是姐十分关键。楚最后，假设皆中还要考虑感如何将实际说的经济信息熄转化成模型鹅的参数问题夜，关于这一绸点本文下面窄还要论述。浮兴二、数学模恋型的构造与么推导拜构造数学模怕型就是针对贪关于原型的粥特征规律和寸基本量的模疲型化假说，投结合数学概抚念与方法，映建立各经济蔽因素之间的车描述关系的辣数学结构。签构造数学模馆型是一种创矮造性的活动买，没有固定赠模式，构模躬的思维方法种一般有四类护：侮（1）直接鬼分析。当模行型化假说十灭分清楚，各踩因素间的数捏量关系和逻厕辑关系比较烛简单，可以汉直接地进行问推理分析，放构造模型或菠使用标准模慎型。钳（2）比拟怎思考。当问婆题的机理和裤假说不甚分爪明时，类比粘具有共性的锄事物；思考牺它们的构模脱方式，运用疤直觉、想象忧和灵感，在授不同形式的雁事物间建立指起同构或同口态关系。轮膊（3）启发伐性思考。启恨发性思考是娇从一般到特龄殊的思维方城式。它运用令已有的理论剃和原型方面沙的知识，探早讨应用于构晓模的可能性弃。理论联系透实际是其特丰征。住（4）理想夹实验法。当宽模型化假说催较为复杂时穷，这是一种绸假想实验，新此过程往往丛和模型化假价说关系密切贡，是运用逻寻辑思维时设找想的情况进槐行分析，和篮运用数学工治具进行理论赖上的推导地幕过程。果构造模型是滩一个创造性简的过程，因咸此没有固定熄的模式，下熟面就构模方鼓法作一简单滩的综述：贵（1）数据书分析法链对结构尚不怖清楚或结构亩已定但参数筹未定的模型碰，可采用此留法。其特征跳是利用数据增作多元分析排。如相关分捞析、聚类分澡析或回归分盗析等，最后答推断出数量转之间的结构肯关系。奏（2）量纲畜分析法(d警imens斧ional晚anal汤ysis)荣挽此法原于物飞理学。它的府理论依据是食P定理(P棉-theo慢rem)和敌相似定理(尽Lawo聚fsim固ilitu转de)其大零意为物理量谦都带有量纲竟，当度量基蜓本单位改变健时，物理定狮律仍然不变辩。我们把它净平移到经济鹰学中，有量迅纲的经济量接之间的数量浩规律不随量铁纲的变化而忌变化。协（3）几何险直观法侄这是经济中补最常用的方由法之一。图弄形传递的信从息以描述为榴主。根据几渴何直观构造甘相应的或推餐广的模型，孙以及其应有票的性状是有山效的。屋（4）标准著问题法眼由于客观事采物的同一性池，许多不同晴的原型可以羡抽象为标准穴问题，这些漂标准问题与振确定的模型宪相对应。找央到原型的标围准问题也就托是找到了模慈型。遇（5）数学酒分析法系利用特定的至数学理论和腊方法（如数膊学分析、代慎数、拓朴概馆率、统计、烧微分方程等环）构造相应弃的模型，这狐种方法要求槐构模对该数部学分支的分司析方法和理衰论有一定的技了解。释（6）计算倒机模拟法戴根据原型分日析，设计出竭结构逻辑图岂，然后利用念某种计算机躲模拟语言，鱼进行模型设蝇计。佛至于模型的机推导过程则控主要是依据逼数学理论和炕方法进行的输，以运用数滩学技巧为主寻。蛮§馆米数学模型甚数学性质和爆经济背景研吩究缸利用数学理冤论和方法研害究已构造好卡的数学模型辆，是模型化以中必不可少泽的。由于数琴学理论的抽青象性可能会咸得出一些意购想不到的结争论，对这些娃结论应与适熟当的经济背发景分析和研凉究，下面我效们就经济中尚四类常见的虑模式指出它智们各自主要笑研究的方面优。截一、概念性怖模式碑基本概念模纱式是最简单康的研究模式满，对于数学欢模型中的基恳本量以研究伍其单调性、丙凸凹性、连议续性、可微情性、周期性歉或运动稳定愉性等数学性泉质为主，同筋时研究这些劫数学性质的建经济背景。苍例如导数可表能和边际、漫变动率、弹旦性等概念有矿关；凸性可夜能与下降且获递增或上升姻且递减等概挽念有关，而删周期性则可杆能与季节性乐波动或经济仪循环等概念驼有关。另外痛，对基本概虫念模型引出捆的特殊的数读学性质，应揉用到经济上反去接受检验榆。突二、指标性邀模式馅指标模式是楚经济中应有同最广泛的模骨式。对数学唇模型设计有幼关指标并进恒行指标验证知是研究数学剃模型的背景免的手段。由艇于经济指标球应具有的特节点是不仅具给有一定的经演济解释，而马且与一定的垃运算规则相旦联系，例如抚率、比、指鹿数常和商的伙运算有关；黎累计、总和街常与求和或赵积分运算有推关。指标的句经济解释一孩般是清楚的配，只是对构规成指标的诸掩因素的作用吉和影响应予逃以研究。分愤析各因素对怎指标的影响只可以更科学败地设计和控岛制指标，避添免盲目依赖脚指标而导致惩谬误。士三、方程类久模式食这类模型本绍质是可以利乌用其数学结横构去寻找满岂足某些性质缘的数值解或接函数解。方休程本身则表详示某种经济差行为，一般限说来，需要我研究的数学衬性质有模型兼对参数稳定氧性，解的存锋在性、唯一筛性，可构造嫌性或可计算矩性，以及解究的稳定性等走等。此外，讨对上述性质式成立或不成载立的条件，敢也应予以数姓学证明及经颂济解释。参初四、最优化阳类模式姥优化类模式舰与方程类相棋似，除上述炼内容外，值砍得注意的是膝最优化模型挡一般存在着秆对偶模型，皂其原型与原煤问题的原型茫相对偶，研棋究模型的对痕偶性质对深年化原型的研劳究也是必要嘱的。酱§甘缩解模算法脉的研制及公馅式化去概念模型和休指标模型的梢算法一般是栋不难的，方叮程类和优化尺类模型则以骤求解为算法亲的重点。解迅模算法就是善根据已有的龙数据和数学宵模型，计算桑或解出未知测或待定的数嚼值解或函数女解的方法，鸭公式化则指培把算法的具迹体步骤用严锄谨的、标准状的、可直接董计算的数学渠公式表示出属来，研制解夏模算法大致弄分以下几步奏：稳（1）研究拍考查数学模府型及相关的首算法欣一般说来，滩一类数学模垦型总有与之悼相应的一类掩算法，考查烫数学模型的新类型和结构增，选择和利串用已知算法浇，可以避免挤重复劳动，贩处理大规模蛋问题时，可摄以结合计算柱机程序化分俯析和选择算通法，先把整手个计算或求腰解过程分解统成若干子块天，把具有共阀性的子块放炕在一起统一朽考虑相应的耕算法。帆（2）具体存研制算法场垃完全套用已巡有算法的情浊况是不多见滚的，具体研疤制算法过程雅中，大致包灯括有关数学犯模型的条件浮修正，数学久模型结构的顾变换或近似腰，旧算法的水改进、移植续、新算法的阳研制；符号泳的谐调一致惕以及子算法患的逻辑关系核的统一。吵（3）算法白的估价龄估价算法大摩致有以下几茫个方面，算粗法的复杂性驾、收敛性和煌程序化的水吐平；精确度鬼或误差量的获可控性水平答；简易性和呆实用性水平读；以及解决俊同类问题的莫能力和扩展御的潜力等等爹。纲一般说来，护选择算法的亭标准是计算测误差小、方叠法简单、计伞算时间短和腰经济耗费低稻。应当指出粱算法的估价币标准也是选喉择算法的标朵准，只不过季我们事先不烘知道罢了。芦至于公式化腾则主要是为盼程序化作准喇备的，相当良于把模型和还算法用基本滴的、初等的勇数学语言加择以描述，它躁是算法实现流的一部分。氏挣§谈蛋程序设计碑和支持系统他的开发西计算机是人腐脑和手的延校拓，它使数尚学模型的实讽际应用成为跃可能，如果沙数学模型的真规模较大，勒复杂程度较菊高，使用率斑也高，或要拨求迅速得出除结果，则可咳考虑使用计巨算机，大致娇需要经过以杰下过程：愉（1）公式胀化数学模型印和所选用的蹄算法厅由于计算机芒毕竟只能按浑人们事先约版定的方式进粥行演算，许男多数学符号它不能直接输咽入，因此必考须把所有需师要计算机处盛理的内容进东行公式化。种值（2）构造通一整套程序娃框架迫计算机程序病往往是牵一仿发而动全身卧，故构造框如架时力求严签谨、精细和纯完整、子框肠架之间的接扶口要逻辑分库明，设计一哑个好的框架候是成功的关催键。苗（3）根据思具体情况，强选择计算机铁的类型、编忘程序的语言窄，以及适应酱的操作系统箭。挑（4）设计悔较细致的框嫂图，编制程练序和部分调枣试。惕（5）设计戒信息处理支谦持系统提其中包括：壳多种信息输翁入形式，统训计预测方法躬支持系统，旺文件支持系旷统，关系数表据库支持系嘉统，以及信喂息直接转化行模型参数系晋统等等。植（6）程序熊的输入调试傲与检测务调试方法有妹：将大程序塔分为子块调倦试，最后再爹联接的分块宅调试法；有祖加入显示程弟序尾随运算异过程的跟踪蛇法，有虚拟诞数据的逆向屡调试法等等跳。经常有这骂样的情况，筹程序已可以鉴使用，但仍战有错误。拔罗（7）程序各的维护和功倡能的完善化页恰第三章经第济统计指标允模型脱商模型化过程跨的第一步是够收集原型的黎有关信息，哲而信息的收字集涉及到抽剃样调查的指烟标设计和信刻息的分类处亭理问题。本崇章主要讨论射模型化信息糕的收集与统名计处理方法升。巨§移3.1模他型化信息的渗收集方法另信息是表现垮事物运动状剥态以及和其溉他事物相互熊作用的一种杀形式。收集剩有关原型的兽信息则是模影型化中必不铁可少的一环拘。收集信息域是为了实现冤模型化目的喇，是一种有槐意识的活动钢。一般来说壤，模型化信血息有五类：盛卫（1）先决车信息：即有广关模型化所肠需的准备性妹信息。如模辞型化的简单作设想，原始供概念、框架皆、草图、有论关的经济理组论、事实、句和一般规律宣，以及必要团的数学知识揭等方面的信贱息。敞（2）外界款环境信息：甚即有关原型捡外延的信息化。其中包括卡定义明确的溉原型界限，仍原型外部对就原型的影响母、作用，以掘及它们之间仅的相互作用侧。恳（3）内部户结构信息：滔即原型体系舰内部的结构姥信息。其包低括原型的组芦成方式，原小型元和子原纯型存在的形正式、功能及气相依关系等惑等。伸（4）原型顶性状信息：缴即原型作为掌一个整体的栽性态状况方岂面的信息。朝其包括原型猜存在的目的掏、形式、行产为、性状、城特征以及发建展趋势和变诉异、消亡的抬条件等。