无理数的存在性证明及应用(本科)大学论文

PAGEPAGE17本科毕业论文无理数的存在性证明及应用目录 TOC\o"1-3"\h\u200901引言 1272282文献综述 1136232.1国内外研究状况现状 122592.2国内研究状况现状评价 16103的发现及定义 1178583.1的发现及符号表示 110073.2的定义 5100283.2.1收敛级数定义 5203.2.2极限定义 6229653.3的意义 7233534的存在性与无理性证明 8146304.1的存在性证明 838124.2的无理性证明 11149245的应用 111615.1在求极限中的应用 11104095.2正态分布——概率论中的 133625.3生活实际问题 13324605.4银行复利率问题 14166766结论 1657116.1主要发现 1679766.2启示 1653136.3局限性 16184196.4努力方向 1625880参考文献 171引言一位著名的学者曾说过：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或其与别的事物的关系都不能为人所清楚了解”.确实，人类文明的发展与进步得益于人们对数的研究与实践.甚至有些数极为重要，譬如大家所熟悉的0和1，还有其它更加重要的常数，如，，，，人们习惯分别称它们为圆周率、虚数单位、黄金分割数、纳皮尔常数.关于前三者的论述文章非常多，而似乎是一个习以为常的数,不被人们所重视.它随着科技发展越来越多地出现在微积分、概率统计等学科中；它是今天银行业中对银行家最有帮助的一个数，此外在考古学中古生物年限的鉴定中也有涉及.目前，初等数学教材以及理工科相关教材中对于通常作如下定义：“在科学技术中常常使用无理数，它的前十位小数是2.7182818284……，以其为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数记为，以为底的指数函数和自然对数函数在高等数学中占有极重要地位”.那么，常数到底是一个怎样的一个数呢？其值是如何而来的？在十进制的数系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底的常用对数更自然吗？它还有哪些方面的应用？2文献综述2.1国内外研究状况现状在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，文献[1]论述了对数与的起源之间的关系、表示形式、无理性与超越性；文献[2]论述了无理数的极限表示形式；文献[3]简单介绍了数的近似计算及超越性证明；文献[4-7]介绍了数的对数表的编制及发展过程；文献[8]论述了无理数在科学技术中占有重要地位及其应用并给出了的无理性简洁证明；文献[9-15]介绍了的发现历史过程和性质.2.2国内研究状况现状评价在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，大多是针对的无理性证明进行研究，研究比较分散，没有系统地归纳和研究，对的产生背景及应用的研究不多.3的发现及定义3.1的发现及符号表示早在15,16世纪，随着天文和航海等技术研究的广泛兴起，解决天文计算的困难成了当时最紧迫的任务.如何把大数的乘、除、乘方、开方运算转化为加、减、运算成为当时的一种迫切要求，也引起了大家的思考.1544年，德国数学家斯蒂菲尔在《整数算术》一书中论述了等差数列和等比数列的关系.对于下面两个数列他把上面一行命名为指数，并指出：“上行的加、减、乘和除分别对应于下行的乘、除、乘方和开方”.若将上行的数记为，下行的数记为，则上、下两行中相应的数满足，一般地，若以1为公差的等差数列与以为公比的等比数列相互对应，则等比数列中任意两数的积或商就可以用等差数列中对应上述两数的和或差求得，且两行中相应的数恒有关系：.在此关系中，以为真数，为底，为对数，则可利用与进行简单的计算.但是，这种关系对于简化计算而言尚不具有实用价值，因为在上表中只能做与偶数及的整数幂有关的计算，而不可能做其他数的计算.因此，要把这种想法发展到能够实用的程度，就必须使两个数列的数间距足够小，假如在等差数列中插入中项：，还必须算出对应的数列.然而，因当时还不能计算指数为小数的幂，因此这种想法就不可能推广使用.1614年，英国数学家纳皮尔在爱丁堡出版他的著作《论述奇妙的对数》，成为历史上第一个给对数命名的人.瑞士钟表制造者比尔吉于1620年以《算术与几何级数表》为题也公布了对数表.早在1647年，比利时数学家圣文森特就计算了等轴双曲线下图形的积分，至于他是否发现了它与对数的联系，这在数学史上是有争议的.直到1661年，荷兰数学家惠更斯清楚解释了等轴双曲线的面积与对数之间的关系.1667年，英国数学家格雷戈里也通过计算双曲线和渐进线所围成的图形面积来计算对数.用图1或图2的面积表示对数时图1的面积不是的连续函数，而图2的面积却是的连续函数.可以想象，图2表示的对数比图1表示的对数有着许多简便的地方，所以丹麦数学家买卡托在1668年出版的《对数技术》中将图形2所表示的新对数取名为“自然对数或双曲对数”.若在图1中以代替，且趋向于无穷大时便得到图2的面积，即在比吉尔的对数底数中用代替，再令无限变大，取极限就得到自然对数的底数[1].代替当无限变大时，底数就是.图1曲线下面积近似图图2曲线下面积图1683年，瑞士著名数学家雅各·伯努利提出复利问题，在检查这个连续的复利时，他努力寻找当时的极限.利用二项式定理，他指出这个极限在之间.这是对的近似值的首次估计，也是数学史上第一次用极限来定义一个数，即.1690年，德国大数学家莱布尼茨在给惠更斯的一封信中首次用字母来表示自然对数的底，使得“自然对数的底”终于有了它的名字而被认同，而现在用来表示对数的底应归功与瑞士大数学家欧拉.在俄罗斯彼得堡科学院写的一部手稿中，欧拉建议“将对数为1的数记作，即”.并在书中16次出现代替，至于欧拉为什么用字母来表示自然对数的底有人认为来自他自己名字的首字母；也有人认为，来自于指数（exponential）的首字母；还有人认为，是第二个元音字母，因为欧拉在其著作中已经使用了第一个元音字母.而符号首次公开出现是在1731年欧拉写给哥德巴赫的一封信中.是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作用.但如此重要的极限，在一般的教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论.是作为一个数列的极限而出现的.“”这个符号是瑞士数学家欧拉在1727年首先引进的.为什么用来表示自然对数的底，至今原因还不明.有人猜测，可能是因为是“指数的第一个字母.另一种猜测是：，，和经常有其他用途，接下来的”就成了首选.第一次在出版物中用来表示自然对数的底，是欧拉在1736年出版的《力学》第一卷中.在1747-1751年的文章中，欧拉都用来表示自然对数的底.后来，有研究者用字母表示自然对数的底，但较常用，于是最终成为“标准符号”.接着，以下几位数学家也用来表示自然对数的底：瑞士数学家丹尼尔·伯努利在1760年，兰伯特在1764年，法国数学家孔多塞在1771年，法国贝祖在1779年，法国克拉姆在1808年.在17世纪对数传入中国以后，又有了几种专门表示的符号.例如，李善兰在1859年翻译的《代数学》卷首就有：“又訥（今简化为讷）字代二、七一八二八一八，为讷白尔（即纳皮尔）的对数率.”由此可见，他用“讷”代表自然对数的底，但却误以为纳皮尔对数的底是2.7182818.又如：1873年，华蘅芳翻译的《代数术》卷十八中就有：“则得其常数为二·七一八二八一八四五九〇四五不尽，此数以戊代之……可见戊即为讷对之底.”可以看出，他用“戊”表示自然对数的底.显然，这与当时把ABCD翻译成甲乙丙丁戊有关.后来，中国的数学书用横排和西文方式，采用了.3.2的定义3.2.1收敛级数定义定义[4]：如果级数是收敛的，那么.（3-1）以下首先证明（3-1）的收敛性.显然，（3-1）的前项和.（3-2）容易看出而且有，，所以有.用等比数列的求和公式，就得到.再结合（3-2）可以看出，数列虽然逐渐增大，但始终小于3，所以（3-1）是收敛的，而且，就是.证毕.3.2.2极限定义定义：当为自然数时，.根据二项式定理，把展开得：仿照这种方法，也可以这样展开：比较和的展开式各项可以看到，除了第一项相等以外，的每一项都小于的对应项，并且还多了最后的一个正项.于是得到，即数列是递增的.此外，用较大的数1代替的展开式右边各项括号内的数，就得到从这个式子中可以看出，不论取什么值，数列总是小于3，即有上界.显然，的极限存在.现在用字母来表示这个极限，就是对于的结论，不但在是自然数时成立，而且可以证明，当是连续变量的时候也成立.3.3的意义对数的引进对于简化运算有很大的好处，除1以外的正数都可以作为对数的底，由于人们习惯使用十进制的数，因此从实际计算的角度看，采用以10为底的“常用对数”是比较方便的，但是，常用对数的真数N与其对数lgN的增长表现出明显的不对称性，而且当真数均匀增长时，lgN的增长却不均匀，从美学的角度讲，这是不十分理想的.而在寻求表现对称美的对数底数的尝试中，发现了以数列中各项依次作底，会使对称性越来越好，因此若采用为底，就可以达到完全的对称.另一方面，在理论研究中，使用以为底的对数比常用对数更为方便.特别的是，反映自然界规律的函数关系，若是以指数形式或对数形式出现，则必定是而且只是以为底的.所以为底的对数叫做自然对数.微积分的出现，使人们对使用以为底的指数函数及其反函数的好处有了更为清醒的认识，如下列运算中不可避免地要出现以为底的自然对数：，.而以为底的指数、对数函数在形式上却简单的多：从而；更为特殊，它有任意阶导数且形式不变，即，它是唯一具有这一特性的函数.并有，这一性质在求解微分方程中得到充分地应用.因此对研究具有重要的意义.4的存在性与无理性证明4.1的存在性证明证明极限首先给出关于极限存在的两个基本准则.（I）夹逼准则：如果函数且，，那么.（II）单调有界数列必有极限.这个函数既不是幂函数也不是指数函数，人们称之为幂指数函数.只有当时这个函数才有定义，故只对与来证明.EQ\o\ac(○,1)当时，首先让取正整数，即若而有伯努利不等式，这个不等式可由二项式定理推出，并且对时不等式仍然成立，可由由数学归纳法证明.因此，对伯努利不等式将换成，便有或者故对有说明是随的增加而增加的，即是单调增加数列，另一方面由二项定理知说明是单调增加有界数列，根据准则II，的极限存在，用表示，即（1）其次，对任意，必存在两个相邻的整数与，使得，因而从而

或者当时，并且，，，由准则I知（2）EQ\o\ac(○,2)当时，而当时，，，所以（3）综合(1)，(2)，(3)对于与，极限得到了证明.接下来讨论极限的确定与其值的求法.由二项定理及(1)可得到的表达式或者由此可知是个无理数，整数部分是2，小数部分是个无限不循环小数.数的近似值可以通过的麦克劳林展开式：，[5]当时，如取，可得，由此计算方法可见，若要求精度越高，则取的越大，且计算每一项的精确度比要求的精度要高，当时高一位，时高二位，如此类推.4.2的无理性证明证明是无理数的方法很多，这里只介绍一种简单易懂的方法.首先有：，那么，说明不是一个整数.为了证明是一个无理数，可用反证法，假设是有理数，那么就令，其中、均为正整数.由于不是整数，故≥2.

于是有：显然等式左边的为整数，而等式左边的第一项也为整数，故等式右边第二项也为整数从知

因此，这与整数的性质矛盾，故为无理数.5的应用5.1在求极限中的应用在4.1中我们已经证明了，这是一个重要的极限，它在求解一些极限时有着重要的作用。例1:求极限解：因为，所以例2:求极限解：注：即例3:求极限分析：这道题不易直接运用极限四则运算法则求解，看似与也没什么联系.但是我们注意到在形式上与特别相似，考虑把分解为与相类似的因式的积或商.解：因为所以总结：在求解一些极限时，有着重要的应用.它可以使问题化繁为简，起到事半功倍的效果.5.2正态分布——概率论中的最先使概率论成为数学的一个分支学科的数学家是瑞士的雅格布·伯努利和他的侄儿尼古拉·伯努利，以及法国—英国数学家棣莫弗等[4].其中棣莫弗用这个逼近式研究了二项分布的极限式，最终得到次试验中出现次事件的概率的期望值满足的关系式，式子中是次试验中出现次事件的概率.也就是说，棣莫弗首次发现二项分布的极限形式是一个正态分布.显然，这个公式中又有.棣莫弗还首次处理了概率积分，得到（和都是常数）的结果.这个式子可以具体化为这就是著名的正态密度函数公式即标准正态分布的概率密度.显然，它是当和时的特例.此外，随机变量的密度函数是，其中是常数，那么就是说服从“对数正态分布”.如果，则.正态分布与实际生活有着密切的联系，在实际生活中有着广泛的应用.5.3生活实际问题当今，形形色色的彩票吸引着无数“彩民”.那么，如何正确认识中奖机会（中奖概率）呢？例如，假设某种彩票中奖的概率是10%，只买一张就中奖和连续买10张全都不中奖的概率，哪一种更大呢？设只买一张就中奖为事件,连续买10张全都不中奖为事件，则,显然即只买一张就中奖的概率小于连续买10张全都不中奖的概率，这似乎是一个令人难以接受的结果.而买20张不中奖的概率也高达约.那么，更一般的问题是：中奖概率不是而是，买张彩票不中奖的概率又是多少呢？因为所以.例如，假设某种彩票的中奖概率为万分之一，那么，买2万张不中奖的概率就高达约当中奖概率足够小（即足够大）时，都是这个和同在的值.对于这个结果，每个“彩民”都应有足够的思想准备.5.4银行复利率问题在复利问题中产生，在银行中应用颇广.假定有一家银行，年利率为，允许以任意周期进行复利计息.很显然，存入1块钱，一年后的本利和为2块钱.有人想：我每半年存取一次，一年存取两次，那么本利和为多少呢？很容易计算：，这样显然比一次存一年要多.他继续想：如果每季度存取一次，一年存取四次，那么本利和又是多少呢？同样比一年存取两次又多了一些.他想：我每月存取一次，一年存取十二次，本利和为，果然又增加了一些.如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会的.因为由极限的定义.当然，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利率只有5%，那么1块存一年最多可以拿到多少钱呢？在100%利率的情况下，当所得到的数值非常接近..为了便于思考，取,有.因此，利率相当于的20分之一次方注：20分之一正好等于利率，所以公式可以写成：式中就是利率.这说明只要是持续不断的复合式增长，可以用于任何增长率的计算.再考虑时间因素，如果把钱在银行里存年，最多可以得到多少钱呢？此式为计算本利和的万能公式，可以适用于任何时间，任何利率.如果银行利率是的复利，请问1元存款翻倍需要多少时间？求解需要多少时间等价于解方程：结果是13.86年.上式最后一个等号，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致时间，这就是经济学上著名的72法则.在自然科学中有着重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物质的衰变，生物增殖问题，地质科学中考察地球年龄，天文学中计算火箭速度，物体的冷却等等.6结论6.1主要发现本文在文献[1-15]的基础上，对的无理性和存在性进行了证明，并结合例题讨论了在微积分、概率、及银行复利等方面的应用，较为系统的、全面的对进行了研究，有助于人们对的进一步认识.6.2启示从事数学研究在于发现问题，提出问题，解决问题，只我们刻苦钻研，善于观察，就会发现有很多问题值得去研究，尤其是看似习以为常的问题.鉴于本文用到数学分析相关知识，启迪我们必须把数学专业基础知识打牢，才能将数学知识灵活运用.6.3局限性由于作者自身的知识储备和能力有限，文中不可能对的无理性证明的所有不同的方法进行研究，也不可能把无理数所有在学术或生活中的应用实例研究完.这些，都有待今后继续深入学习来提高知识水平和能力.6.4努力方向无理数的应用实例很多，今后，我将更加努力深入学习，继续探究无理数在生活实践中的应用，以做出更好的结果.参考文献[1]桂德怀.数e探源[J].湖州师范学院学报,2003,(6):117-119.[2]梁洪亮.数e简介[J].高等数学研究,2004:49-52.[3]刘琳.数e漫谈[J].河北理科教学研究,2005,4:70-72.[4]陈仁政.e的密码[M].北京:科学出版社,2011:132-137.[5]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义上册[M]第五版.北京:高等教育出版社,2008:67-68.[6][英]斯科特著,侯德润,张兰译.数学史[M].广西:师范大学出版社,2002:133-142.[7]赵吉才.神奇的数e[J].科学世界.2003,(11):68-69.[8]吴耀强.关于无理数e概念教学之拓展性研究[J].西昌学院学报,23,(3):54-55.[9]周勇.揭开数e的神秘面纱[J].四川教育学院学报.2010,(401):28-29.[10]李纯白.数e的教育功能[J].达县师范高等专科学校学报,12,(2):67-68.[11]汪晓勤,韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京:科学出版社,2002:94-108.[12]李忠.数e的来龙去脉[J].北京大学数学通报,2008,47,(5):1-2.[13]冯贝叶.多项式和无理数[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社.2008:45-48.[14]王庆平.无理数e[J].北京大学数学通报,2005,44,(6):40-42.[15]梁之舜,吴伟贤[M].数学古今纵横谈.北京:科学普及出版社,1982:50-62.TheProofoftheExistenceandApplicationoftheIrrationalNumbere Abstract:eisoneofthemostimportantmathematicalconstants,ithasbeenwidelyusedinscientificresearchandnumericalcalculations.thispaperdescribesthebackgroundoftheconstan