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12000-3-5牛顿运动定律功几种常见力的功动能定理势能能量守恒定律

动量冲量动量定理动量守恒定律质点动力学22000-3-5在前一章用位移、速度和加速度等概念描述物体的运动，但没有涉及物体运动状态变化的原因。从现在开始，我们将研究物体间的相互作用，以及这种相互作用所引起的物体运动状态变化的规律。力学的这部分内容叫做动力学。描述物体状态的量：动量，角动量，能量外界作用量：冲量，角冲量，功系统不受外界作用时，动量，角动量，能量守恒──三个守恒定律32000-3-5

我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因为哲学的全部责任似乎在于——从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其他现象。

牛顿，《自然哲学的数学原理》（1686）

42000-3-5力（force）定义说文解字：墨经：力，刑之所奋也筋，象人筋之形克服阻力而运动

力是物体间的相互作用，是物体运动状态变化的原因。

力的效果：使物体运动状态变化，即动量发生变化。使物体获得加速度或发生形变。52000-3-5§2.2自然界中几种常见力1、万有引力2、电磁力3、强力

4、弱力—也是粒子间的短程力斥力0.410-15m

引力10-15m无力弱电统一理论（60年代）遗留的问题：大统一理论？是否存在第五种力？++电力102N引力10-34N凝聚力？——强子间的作用力：核子、介子强力104N！原子核62000-3-51.万有引力万有引力万有引力：存在于一切物体间的相互吸引力。牛顿万有引力定律:其中m1和m2为两个质点的质量，r为两个质点的距离，G0叫做万有引力常量。引力质量与惯性质量在物理意义上不同，但是二者相等，因此不必区分。72000-3-52.重力重力：在地球表面的物体，受到地球的吸引而使物体受到的力。重力与重力加速度的方向都是竖直向下。注意，由于地球自转，重力并不是地球的引力，而是引力沿竖直方向的一个分力，地球引力的另一个分力提供向心力。北极南极ooP忽略地球自转：82000-3-53.弹力常见力和基本力弹性力：两个相互接触并产生形变的物体企图恢复原状而彼此互施作用力。方向:始终与使物体发生形变的外力方向相反。条件：物体间接触，物体的形变。三种表现形式：(1)两个物体通过一定面积相互挤压；方向:垂直于接触面指向对方。大小:取决于挤压程度。92000-3-5(2)绳对物体的拉力；弹力(3)弹簧的弹力；x大小：取决于绳的收紧程度。方向：沿着绳指向绳收紧的方向。弹性限度内，弹性力满足胡克定律：方向：指向要恢复弹簧原长的方向。102000-3-54.摩擦力

摩擦力：两个相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或者有相对运动趋势时，在它们的接触面间所产生的一对阻碍相对运动或相对运动趋势的力。方向：与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。条件：表面接触挤压；相对运动或相对运动趋势。最大静摩擦力滑动静摩擦力

其中s为静摩擦系数，k为滑动摩擦系数。它们与接触面的材料和表面粗糙程度有关。摩擦力112000-3-55.电磁力电磁力和强力电磁力：存在于静止电荷之间的电性力以及存在于运动电荷之间的磁性力，本质上相互联系，总称为电磁力。分子或原子都是由电荷系统组成，它们之间的作用力本质上是电磁力。例如：物体间的弹力、摩擦力，气体的压力、浮力、粘滞阻力。6.强力强力：亚微观领域，存在于核子、介子和超子之间的、把原子内的一些质子和中子紧紧束缚在一起的一种力。作用范围：122000-3-57.弱力弱力：亚微观领域内的另一种短程力，导致衰变放出电子和中微子的重要作用力。四种基本力的比较

力类型项目万有引力电磁力强力弱力力程长程长程短程短程作用范围0~0~<10-15m<10-15m相邻质子间力的大小10-34N102N104N10-2N132000-3-51、任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持静止或作匀速直线运动的状态。rrrFdpdtma==2、3、作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在不同物体上注意：力外力、内力2、瞬时性矢量性mgTT´4、适用范围宏观、低速，惯性系一、牛顿三定律（1687年）1、力改变状态是同一时刻的为外力的矢量和合力的作用效果是产生加速度。

§2.1牛顿运动三定律

142000-3-5一、

牛顿第一定律

体会理想实验加科学推理的科学方法1.伽利略的理想实验：

若将后一斜面放平,球会滚多远？

显然，球会永远滚下去……

大师思路

152000-3-5伽利略领悟到了将人们引入歧途的是摩擦阻力。伽利略的实验找到了解决问题的真正线索。爱因斯坦说：

“伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端。”

伽利略的正确结论在隔了一代人之后，由牛顿总结成了一条基本定律。

2.牛顿第一定律（惯性定律）：

任何物体都保持自己的静止或匀速运动状态，直到作用在物体上的外力迫使它改变这种状态为止。或表述为：自由粒子做匀速直线运动或保持静止。

162000-3-5惯性（inertia）：物体保持原来运动状态不变的特性。惯性的基本特征：

①

惰性②简洁性③

反抗性3.惯性质量

(InertialMass)mi质量是物质的内禀属性，物体平动惯性大小的量度。172000-3-5典型质量质量的标准是铂铱合金的圆柱形国际千克原器的质量。典型质量

已知宇宙银河系地球人灰尘烟草花叶病毒质子电子182000-3-5二、牛顿第二定律（研究质点在不等于0的合力作用下，其状态如何变化的问题）1.质点的动量质量为

m，速度为的质点的动量定义为：2.质点系的动量具有相互作用的若干个质点称为质点系。其动量：，速度分别为设质量：192000-3-53.牛顿第二定律物体受力作用→运动状态变化→动量变化当

m视为恒量时，说明：（1）瞬时性：t

时刻力与

t时刻的加速度对应。（2）矢量性：有大小也有方向，可写作分量式

表述：物体在外力作用下，其运动动量变化率正比于该物体所受的合外力202000-3-5当m为常量时：具体运算时写成分量式为：直角坐标系中：自然坐标系中：212000-3-5对一般平面曲线运动的自然坐标表示：圆周运动时：（3）当一个物体同时受几个力作用时，则有222000-3-5（3）、定量的量度了惯性

惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量引力质量：式中被称为引力质量经典力学中不区分引力质量和惯性质量232000-3-5超距

——相隔一定距离的两个物体之

间存在着直接的、瞬时的相互作用，不需要任何媒质来传递。注意：对牛顿第二定律①

从大量的实验中得出的。②

力的作用是超距的。（实际上，力的作用是通过“力场”来实现的，最快以光速传递，需要一定的时间。）·③仅适用于惯性系。242000-3-54.m不是常量有两种情况（1）经典力学中的变质量问题（2）当运动质点的速度大到可以和光速相比拟时，考虑到相对论效应，运动质点的质量将随着速率而变化。故：牛顿第二定律的形式具有更大的普遍性。252000-3-5回顾牛顿第一定律1.

惯性定律由知，当时，运动状态不变。

即物体不受外力或受合外力为零时，运动状态不变。这一规律首先由伽利略发现，牛顿总结，称为惯性定律

──

牛顿第一定律。2.

惯性参考系

牛顿第一定律也给出了一种参考系。在这种参考系中一个不受外力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态

──

惯性参考系。262000-3-5三.

牛顿第三定律实验表明：——

牛顿第三定律

作用力与反作用力沿同一直线，且大小相等、方向相反。注意：（1）瞬时性：即二力同时出现，同时消失，

任意时刻都成立

（2）矢量性：

（3）性质相同

（4）且大小相等、方向相反。可产生不同的

效果。

Newton'sthirdlawofmotion若对两个质点系，A受

B的作用力为B受

A的作用力为

272000-3-5（6）应将作用力和反作用力与一对平衡力相区别。

作用力、反作用力作用在不同物体上；而一对平衡力作用在同一物体上，使物体平衡。由牛顿定律原则上可以解决所有力学问题。动力学的两类问题（5）一个系统内物体之间相互作用力之矢

量和恒为零。即一切内力之和为零。内力不改变系统整体的运动状态。（7）与参照系无关。282000-3-5五、牛顿定律解题步骤

1.选取研究对象系统

------------

物质

2.选取参考系（建立适当坐标系）---时空

3.受力分析（隔离物体法）--------作用

4.确定运动状态

----------------运动

5.建立牛顿动力学方程

6.解方程

7.讨论292000-3-5解题步骤及注意事项：1、分析力，一个不多，一个不少；向心力下滑力冲力2、选定坐标系按牛顿定律列方程；3、解方程。先字母，后代数，结果有单位；4、分析讨论所得结果。注意牛顿运动定律的应用302000-3-5建立图示坐标系x方向[例题]

斜抛物体初速度为

v0。

m，，受到阻力

，求抛体的轨迹方程。解：（思路：取

m

为研究对象，取地面为参考系，受力分析如图。312000-3-5初始条件为：

y方向322000-3-5作定积分，得方程消去参数

t，得轨道为

考虑风速等影响，还要复杂些。

代入，且

332000-3-5

[例题]光滑桌面上放置一固定圆环，半径为

R，一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动摩擦系数为μ。设在某一时刻质点经

A点时的速度为

v0。求此后

t

时刻物体的速率和从

A点开始所经过的路程。解：取物体为对象，设其质量为

m，取桌面为参考系，物体受力如图：（竖直方向重力与桌面的支持力相互平衡，与运动无关，图略）根据牛顿定律，有切向：（1）法向：（2）342000-3-5联立式（1）～（3）得又因为，所以因此（3）352000-3-5又，所以362000-3-5

[例题]

一根均匀链条质量为

m总长为

l，一部分放在光滑的桌面上，另一部分从桌面边缘垂下，长为如图。假定开始时链条全部静止，求链条全部离开桌面时的速度。

解：以链条为研究对象，分析受力，任意时刻下垂部分长为

x，则372000-3-5法二：整体的受外力即下

滑部分的重力382000-3-5牛顿定律解题步骤：

1.确定研究对象，受力分析(隔离物体法)；

2.分析运动状态，建立适当坐标系；

3.由牛顿第二定律建立动力学方程；

4.解方程；

5.讨论。作业：392000-3-5§2-2非惯性参考系惯性力

(Non-inertialsystemInertialforce)牛顿运动定律的两个基本观点：1、由引起2、是确定物体间的相互作用。牛顿运动定律并不是对所有参考系都成立。402000-3-5（1）问题的提出：[例1](如图)

，符合牛顿定律

——

惯性系

不符合牛顿定律

——

非惯性系412000-3-5从地面参考系来看，小球受到拉力的作用，随着盘转动。并且与盘保持相对静止牛顿第二定律成立。以转盘为参考系看，弹簧拉动小球，但小球并不运动，422000-3-5例3.如图符合牛顿定律不符合牛顿定律结论：牛顿运动定律不是对所有的参考系都成立。432000-3-5定义：惯性参考系：牛顿运动定律有效的参考系。即参考系中对于任何物体都有：非惯性系：任何相对惯性系做加速运动（或转动）的参考系。牛顿运动定律适用的参考系。相对于惯性参考系作匀速运动的参考系。太阳地球地面442000-3-5问题a=0时人和小球的状态符合牛顿定律结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。a≠0时人和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？2、惯性系与非惯性系根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。452000-3-5为了在非惯性系中继续使用牛顿定律的数学形式，我们承认惯性系中的第一个观点，认为加速度是由力引起的。修正第二个观点，即认为力不一定都是确定物体间的相互作用。还有不属于这类的力_____惯性力462000-3-5为了区别记忆，物体间的相互作用力用表示。称为真实力或者牛顿力。惯性力用表示。472000-3-5（一）：直线加速参考系中的惯性力绝对加速度，质点相对于静系的加速度牵连加速度，动系相对于静系的加速度相对加速度，质点相对于动系的加速度非惯性系482000-3-5为惯性力物理意义：在直线加速的非惯性系中，质点质量与相对加速度的乘积，等于作用于此质点的相互作用力（真实力）与惯性力的合力。492000-3-5假想惯性力,则上三例都符合牛顿定律了。即（相对于非惯性系，修改了的牛顿定律.）则牛顿定律保持形式的不变。--相对于非惯性系的加速度

总结：.解决办法502000-3-5惯性力：为了使牛顿定律在非惯性系中形式的成立，而引入的假想的力大小：方向：注意：赝力：（1）不是物体间的相互作用（不属于四种相互作用）（2）无反作用力其中：被研究对象的质量非惯性系相对惯性系的加速度512000-3-5（3）.非惯性系中的力学规律即：为物体相对非惯性系的加速度522000-3-5[例

1中]相对于

S

系有532000-3-5[例

2中]相对于

S

系有与对

S系结果相同

可见，解决同一物理问题，既可以选惯性系，也可选非惯性系。只是选非惯性系时要用修改的牛顿定律。得到的结果是一样的。具体视问题的方便而定。

542000-3-5总结我们为了在非惯性系下使得牛顿运动定律保持数学形式上的不变，认为力不一定是由确定物体间的相互作用引起的。惯性力：

1、一般把非惯性系中来自参考系本身加速效应的力称为惯性力。惯性力是惯性系中牵连加速度在非惯性系中的一种动力学表现。

2、惯性力是虚拟的力，不是真实的力。不存在惯性力的反作用力。没有施力物体。

3、惯性力只能在非惯性系中观测到。而相互作用力在惯性系和非惯性系中都能观测到。552000-3-5[例题1]升降机以加速度

a=g/2上升，质量为

m1=1Kg、m2=2Kg的物体用滑轮联系起来，如图所示。求：(1)机内观察者看到的

m1、m2的加速度；(2)机外地面上的人，观察到的两物体的加速度(无摩擦)。解：(1)若以升降机为参考系，则为作加速运动的非惯性系。在此非惯性系中讨论问题必须考虑惯性力。设绳中张力为

T，m1、m2受力如图所示。相对于动系的加速度对

m1：对

m2：解得(2)在机外的观察者(惯性系)M1的加速度M2的加速度572000-3-5（二）转动参考系（1）定义

相对于惯性系转动的参考系，叫转动参考系。转动参考系为非惯性系。

由于转动参考系中的坐标轴的方向转动着，且各点的速度和加速度各异，引入惯性力比较困难，比较复杂。故这里仅考虑匀角速转动参考系，且只考虑物体相对转动参考系静止的情况。（2）匀角速转动参考系牛顿定律成立。转动平台以ω

转动，弹簧被拉长，m

受真实力弹簧对小球施力在地面参照系

S中：582000-3-5解决办法：

为了用牛顿第二定律解释这一现象，必须引入惯性力

在转动参考系S

中观察，小球

m

虽受力为

F=–Kx，小球却保持静止，不符合牛顿定律。方向与的方向相反，叫惯性离心力。

相对于动系的加速度592000-3-5注意：(1)“惯性力”是假想力，无施力物体，有受力物体。(2)“惯性力”是对非惯性系的加速度的反抗。(3)“惯性力”无施力物体，故无反作用力。(4)“惯性力”的引入是为了使牛顿定律在非惯性系中仍成立而作的数学处理。602000-3-5解：以旋转容器为参考系,固定在容器上的坐标系如图，液面内任一点(x,y)处取质元dm。在此非惯性系中，

dm受的力为重力

，液体对

dm的正压力

，惯性力沿径向向外。

在非惯性系中，

dm处于静止，即[例题2]旋转液体表面的形状问题。

一个半径为

R的圆柱形容器中盛有某种液体，当容器绕轴线以匀角速

旋转时，求液面最低点与最高点之间的高度差。

612000-3-5x分量为：液面为旋转抛物面，容器边缘

x=R

，得y分量为：为

dm处的斜率：抛物线622000-3-5小

结：一、牛顿三定律

1.惯性定律二、非惯性系1.惯性力：为了使牛顿定律在非惯性系中形式的成立，而引入的假想的力2.非惯性系中的力学规律为物体相对非惯性系的加速度为非惯性系的加速度632000-3-52-3动量动量守恒定律物理学大厦的基石三大守恒定律动量守恒定律动能转换与守恒定律角动量守恒定律642000-3-5牛顿定律

瞬时关系力的时间积累效果？力的空间积累效果？冲量功涉及转动问题？角动量动量定理角动量定理动能定理质点质点系动量定理角动量定理动能定理一定条件下守恒定律652000-3-5一、冲量、动量定理力的时间的积累效果动量的变化§2-3质点的动量定理上式为动量定理微分形式物理意义：作用于物体的力持续了无限短的时间给予物体以冲量元，引起物体的动量变化，用动量的增量来表示。662000-3-5动量定理的积分形式物理意义：反映力作用于物体持续了一段时间给予物体的冲量，引起物体的动量变化，动量变化的大小用冲量来量度。672000-3-5作用于物体上的合力的冲量等于物体动量的增量——质点的动量定理分量表示式682000-3-5冲量元冲量692000-3-5注意：1、矢量关系2、分量形式4、单位具有相同量纲3、对应一个过程的始末状态动量是状态量，而冲量与过程有关冲量的方向与动量的增量方向一致702000-3-55、只适用惯性系。(非惯性系中须加入惯性力）质点所受的合力加上惯性力质点相对于非惯性系的动量的增量惯712000-3-56.冲量与冲力的区别冲量是力的时间积累效果，改变物体的动量冲力是一种作用时间很短，变化很快的一种力。t1t2F0Ft冲力随时间变化的规律是难以掌握和测量的，但可以通过测量始末动量的增量和作用时间来求平均冲力。I平均冲力一定一定作用时间长缓冲t1t2F0Ft732000-3-5例1：篮球m=1kg，相对以v=6m/s,=60o撞在篮板上，撞后=60o。设碰撞时间t=0.01s求：篮板受到的平均作用力。解：球受力XYv=120N=0篮板受平均作用力742000-3-5§2-4质点系动量定理质点系由相互作用的两个以上质点组成的系统称为质点系。如：轻质弹簧两端系着小球原子核与核外电子组成的系统许多天体构成的星系思路将质点力学的规律应用于质点系中的每个质点，就能推演出质点运动的基本规律。752000-3-5§2-4质点系动量定理（2）外力：质点系以外的物体对系内各个质点的作用力。注意：外力成对的存在，但系内各质点所受外力的反作用力是作用在系外物体上的内力：质点内各质点的相互作用力。注意：内力成对出现，以作用力和反作用力的方式成对出现在质点系内。在经典力学的范围内，这些成对的力都遵从牛顿第三定律。质点系内质点所受的惯性力应该视为外力，因为他只有作用力，而没有反作用力。不具备牛顿真实力的相互作用特性。内力和外力具有相对性。同一个力，对某个质点系而言是内力，对范围更小的质点系而言，是外力。762000-3-5§2-4质点系动量定理（3）质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和。772000-3-5§2-4质点系动量定理（3）一、从简单的研究：由两个质点组成的系统：12为成对内力。大小相等、方向相反作用在两个物体上782000-3-5§2-4质点系动量定理（4）792000-3-5质点系的动量定理物理意义：质点系所受的合外力的冲量等于系统动量的增量。注：内力对系统的冲量的矢量和为0，故内力对系统的动量变化不起作用。只有外力才对系统的动量变化有贡献。即：内力不改变系统的动量802000-3-5注意：系统的总动量的改变只与外力的冲量有关，与内力无关。可选择适当系统简化问题

二、n个质点的质点系质点系动量定理的微分形式：812000-3-5动量守恒定律可应用于任何一个分量三、动量守恒定律822000-3-5动量守恒定律

一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。讨论：为什么不把质点系所受合外力的冲量为0，作为动量守恒的条件？832000-3-5显然：质点系所受合外力为0比质点系所受合外力的冲量为0的条件更加苛刻。质点受到向心力的作用，作匀速率圆周运动，若质点运动一周，则向心力的冲量为0，但运动中质点动量并不守恒842000-3-5例、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、人逆车运动方向从车头经t到达车尾。求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；

2、车的运动路程；

3、若人以变速率运动，上述结论如何？解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。X方向的投影式：852000-3-51、2、3、862000-3-5火箭飞行前苏联东方1号火箭长征三号运载火箭火箭发射872000-3-5§2.5功一、恒力的功abS定义：矢量式作用在沿直线运动质点上的恒力F，在力作用点位移上作的功，等于力和位移的标积。单位：J焦耳882000-3-5二、变力的功ba

物体在变力的作用下从a运动到b。

怎样计算这个力的功呢？采用微元分割法892000-3-5第i段近似功：总功近似：第2段近似功：第1段近似功：ba902000-3-5当时,可用表示,称为元位移;用表示,称为元功。微分形式：积分形式：总功精确值：在数学形式上，力的功等于力沿路径L从a到b的线积分。

若=常矢量，物体作直线运动912000-3-5在不同坐标系下表示元功dA1.平面自然坐标系S+即：元功等于力在切线方向的投影与自然坐标增量的乘积

直角坐标系合力作功=各分力作功的代数和单位：（J

）（eV）

1eV=1.610-19JA1A2AN2、在直角坐标系下表示元功932000-3-5瞬时功率（功率）平均功率单位：（W）三、功率功的概念中没有时间的因素，为了衡量作功的快慢，引入功率942000-3-5例题质点在力F的作用下沿坐标轴ox运动，F=6x,，试求质点从

到处的过程中，力F作的功。解：在全路程上的功为abSxo力在元位移dx上作的功为：952000-3-5A

重力mg重力作功与路径无关只与始末位置有关。重力作功等于重力势能增量的负值yx0y1y2——运动员下降的高度作功=

？§2.6几种常见力的功一、962000-3-5

两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。可见万有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab二、万有引力作功972000-3-5m1m2AB万有引力作功与路径无关只与始末位置有关。982000-3-5或：992000-3-5万有引力作功的特点万有引力作功与路径无关只与始末位置有关。质点沿着任意路径运动一周，万有引力的总功为0

移近时，万有引力作正功，远离时万有引力作负功引力势能万有引力所作的功等于引力势能增量的负值m2m11002000-3-5A三、弹力Oxx1x2作功=

?弹力作功只与始末状态有关。弹力作功等于势能增量的负值1012000-3-5四、摩擦力的功u为滑动摩擦系数摩擦力的功与质点运动的路径有关。1022000-3-5弹力作功重力作功万有引力作功m1m2m2特点：作功与路径无关，只与始末位置有关——保守力m2运动一周万有引力作功为0思考：重力，万有引力，弹性力作功的共同特点1032000-3-5保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关五、保守力、非保守力A（B）力沿任意闭合路径所做的功为零，这种力称为保守力。

重力、弹性力、静电力是保守力。非保守力：作功与路径有关1042000-3-5质点的动能质点系统的动能§2-7动能定理1052000-3-5一、质点的动能定理合力对质点所做的功=质点动能的增量1062000-3-5解：以滑块为研究对象，受力分析如图[例题]光滑水平面上，有一半圆形屏障，质量m的滑块，以初速度v0沿切线方向进入屏障，二者之间的摩擦系数μ，试求滑块从进入屏障运动到从另一端滑出时摩擦力的功。1072000-3-51082000-3-5

质点的动能定理合力对质点所做的功等于质点动能的增量。功是质点动能变化的量度过程量状态量物体受外力作用运动状态变化动能变化末态动能初态动能动能是相对量ABDrifi1092000-3-5例：已知ml，静止下落，求下落角时的速率及绳中张力mgT解：珠子受力不作功,重力mg作功1102000-3-5二.质点系的动能定理对第i质点运用动能定理：对所有质点求和可得：注意：不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。1112000-3-5物理意义：质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。质点系的动能定理[例题]

物体A由静止下滑，B上升，A滑过S的距离时，物体A和B的速率v=？(摩擦力及滑轮的质量不计)－－－要求用动能定理求解。作功的代数和为零。系统初态动能为零，未态动能为由动能定理得：解得：

解：受力如图，外力对A

作正功，对

B作负功，不作功。1132000-3-5

在受保守力的作用下，质点从AB，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只与位置有关的函数，A点的函数值减去B点的函数值，定义为从A

B保守力所做的功，该函数就是势能函数。AB§2-8势能机械能守恒定律势能1142000-3-5保守力作功与路径无关，只取决于系统的始末位置。存在由位置决定的能量EP——势能函数保守力作功等于势能的减少势能的计算方法：系统某一位置的势能=系统从该位置移到势能为0位置的过程中，保守力作的功。势能定义当选择点势能为零1152000-3-5说明：

1、EP值大小与零势能位置的选择有关，但EP是确定值。2、势能零点可任选，但一个问题中只可有一个。1162000-3-5保守力做正功等于相应势能的减少；保守力做负功等于相应势能的增加。外力做正功等于相应动能的增加；外力做负功等于相应动能的减少。比较1172000-3-51、重力势能xzy0设为势能零点，M点的重力势能例：求常见的保守力的势能1182000-3-5MmAB2、万有引力势能或者：质点由位置A移动到位置B万有引力的功:为势能零点取无穷远势能为零，1192000-3-5为什么万有引力势能为负值？1202000-3-5质点从M点移动到O点的过程弹簧拉力作功（势能零点为弹簧原长处）。OXmkx系统的弹性势能为3、弹性势能总结：质点从弹性力作的功为元过程保守力作的功等于质点始末两个位置势能的减少1212000-3-5重力势能（以地面为零势能点）引力势能（以无穷远为零势能点）弹性势能（以弹簧原长为零势能点）势能只具有相对意义系统的机械能质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。1222000-3-5总结：1、势能是相对量。要确定势能的大小，必须选择一个零势能参考点（零势能位置原则上可以任意选取）。2、只有保守力场才可以引入势能的概念。势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。3、势能是属于系统的。势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有的。（例如重力势能属于物体与地球整个系统共有），故保守力总可以选作内力。4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。1232000-3-5弹力势能重力势能万有引力势能势能曲线00h0r1242000-3-5势能曲线提供的信息1、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率的负值，表示质点在该处所受的保守力1252000-3-5注意：1.Ek为状态量2.功是动能增量的量度3.在惯性系成立质点系的动能定理内力虽然成对出现，但相互作用的两质点位移并不相同，所以A内02.由质点系的动能定理推导功能原理

1262000-3-5系统受力外力内力保守内力非保守内力A外+A非保内+A保内=Ek-EPA外+A非保内=Ek+EP=（Ek+EP）机械能功能原理物理意义：外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。A1272000-3-5注意：（1）与动能定理形式不同，无本质的区别。在动能定理中，功包括外力功和所有内力功。在功能原理中的功，包括外力功和非保守内力功。（2）不要重复计算保守力的功（3）适用于刚体。1282000-3-5当A外+A非保内=0Ek+EP=常量机械能守恒定律条件1292000-3-5

即在满足机械能守恒条件下的运动过程中，动能的增加等于势能的减少。即动能与势能等量地相互转换着。转换的形式是多种多样的，但所有传递和转换都是通过保守内力作功来实现的，这叫做不变中有变。

机械能守恒和转换定律：如果一个系统内只有保守内力作功，其它内力都不作功，或所作总功始终为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但其总和为一恒量。Ek+EP=常量1302000-3-5(3)适合这个定律的系统称为孤立保守系统

但是，对于有非保守内力作功的孤立系统，机械能不守恒。如炸弹爆炸，机械能增加；汽车刹车，机械能减少。能量守恒与转换定律：

一个封闭系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，它只能从一种形式转化为另一种形式，或从系统内的一个物体传递给另一个物体。推广之：注意：“守恒”与“不变”1312000-3-5当外力对系统做功为零和系统非保守内力做功为零时，系统的机械能守恒。总之：机械能守恒定律系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能保持不变系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能保持不变1322000-3-5[例题2]

如图所示，质量为m的珠子，穿在半径为R的固定不动的铅直圆环上，并可沿圆环作无摩擦的滑动。珠子又与倔强系数为k的轻弹簧连结，而弹簧的另一端固定于环底点C。开始时，珠子静止于环顶A处，此时弹簧无形变。当珠子滑到点B（B与O在同一水平线上）时，珠子的速度为多大？圆环作用于珠子上的正压力为多大？

解：以弹簧、珠子和地球为系统，珠子受力如图所示,系统机械能守恒。取A点为零势能点，由机械能守恒定律得：所以：1332000-3-5将

v

的值代入上式，可求得：在点B的法向上应用牛顿定律，得1342000-3-5力学中三个守恒定律的应用三大状态量：动量角动量机械能三大作用量：冲量角冲量（时）功（空）三大基本定律：①根基②时间③空间

牛顿定律动量原理动能定理角动量原理功能原理

1352000-3-5三大守恒定律：

(1)动量守恒定律——

条件：根据结论：

(2)角动量守恒定律——

条件：根据结论：

(3)机械能守恒定律——

条件：根据结论：第三章

角动量角动量守恒定律一、质点的角动量O质点相对O点的矢径与质点的动量的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用表示。直角坐标系中角动量的分量表示二、质点的角动量定理1、力矩O力矩的分量式:对轴的力矩单位：牛·米（N·m）2、质点的角动量定理（2）力

的作用线与矢径共线即()。有心力：

物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点力心力矩为零的情况:（1）力

等于零；作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。角动量定理的微分形式角动量定理的积分形式三、质点角动量守恒定律

质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。

——质点的角动量守恒定律。2-6

刚体的定轴转动一、质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理对由n个质点组成的质点系中第i个质点，有：质点i受力对i求和有：因内力成对出现故该项为零得：

作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量的增量。

——质点系对固定点的角动量定理2、质点系对轴的角动量定理因有：设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动转动惯量Ii质点系的转动惯量单位为千克·米2（kg·m2）3、转动惯量的计算与转动惯量有关的因素：质量分布与转轴的位置。单个质点的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布注意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:I是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。ROdm例2、求质量为m、半径为R、厚为l

的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=dx平行轴定理前例中IC表示相对通过质心的轴的转动惯量，IA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有：I＝IC＋md2。这个结论称为平行轴定理。练习：右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）二、刚体的转动定律刚体定轴转动的转动定律

刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出

和为合外力和合内力将切向分量式两边同乘以r，变换得ZMdfdFO

rdFd

dm

dFn转动平面转动定律vvvvvvz分解为作用在质量元dm上的切向力和法向力：对等式左边积分得到外力矩角加速度对所有质量元都相等于是有所以其中写成矢量形式m反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。M＝I与地位相当刚体绕定轴Z的转动惯量(momentofinertia)刚体定轴转动的转动定律的应用例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。mgmg解：比较：三、定轴转动的动能定律1、转动动能

刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。2、力矩的功式中对i求和，得：力矩的功率为：当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。

3、刚体定轴转动的动能定理当θ=θ1时，ω=ω1

所以：

合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理例2、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角