2020年北京市中考数学一模试卷及解析

2020年北京市中考数学一模试卷及解析第=page2222页，共=sectionpages2222页第=page2121页，共=sectionpages2222页2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第1页。2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第1页。2020年北京市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16分）下面四幅图中所作的∠AOB不一定等于60°的是(    )A. B.

C. D.2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为(    )A.5.19×10-2 B.5.19×10-3实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(    )

A.|a|>|c| B.bc>0 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠BA.60°B.50°

C.40°D.30°如果代数式x+3x有意义，则实数x的取值范围是(    )A.x≥-3 B.x≠0 C.x≥-3且x如果a2-2a-1=0A.2 B.-2 C.4 D.1978年，以中共十一届三中全会为标志，中国开启了改革开放历史征程．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．下图是1994-2017年三次产业对GDP的贡献率统计图(三次产业是指：第一产业是指农、林、牧、渔业(不含农、林、牧、渔服务业)；第二产业是指采矿业(不含开采辅助活动)，制造业(不含金属制品、机械和设备修理业)，电力、热力、燃气及水生产和供应业，建筑业；第三产业即服务业，是指除第一产业、第二产业以外的其他行业).下列推断不合理的是(    )

2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第2页。A.2014年，第二、三产业对GDP的贡献率几乎持平

B.改革开放以来，整体而言三次产业对GDP的贡献率都经历了先上升后下降的过程；

C.第三产业对GDP的贡献率增长速度最快的一年是2001年

D.2006年，第二产业对GDP的贡献率大约是第一产业对GDP的贡献率的10倍2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第2页。如图所示是一个三棱柱纸盒．在下面四个图中，只有一个展开图是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是(    )

A. B.

C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16分）写出一个满足3<a<17的整数a的值为分解因式：12m2-3=如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠如图，在△ABC中，DE//AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若S△DECS△ABC=4如图：已知Rt△ABC，对应的坐标如图，请利用学过的变换(平移、旋转、轴对称)知识经过若干次图形变化，使得点A与点E重合、点B与点D重合，写出一种变化的过程______．2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第3页。2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第3页。2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为______米．

古代有这样一个数学问题：韩信点一队士兵人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人．问这队士兵至少多少人？我国古代学者早就研究过这个问题．例如明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》中就用四句口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半，除百零五便得知．这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3，5，7时，用70乘以用3除的余数(例如：韩信点兵问题中用70乘以2)，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把三个乘积相加．加得的结果如果比105大就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解．按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数为______．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0,4)，点B是x轴正半轴上的点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m=6时，点B的横坐标a的取值范围是______三、解答题（本大题共12小题，共68分）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，

(1)利用刻度尺在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON；

(2)利用两个三角板，分别过点M，N画OM，ON的垂线，交点为P；

(3)画射线OP.则射线OP为∠AOB的平分线．

(1)请写出射线OP为∠AOB的平分线的证明过程．

(2)请根据你的证明过程，写出小林的画法的依据______．

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2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第4页。计算：(12)-2-(π-7解不等式12x-1≤23x-12，并把它的解集在数轴上表示出来．

已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根

(1)求k的取值范围；

(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0如图，点F在▱ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)若BE=5，AD=8，sin∠CBE

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2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第5页。如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(2,0)的直线l：y=mx-3与y轴交于点B．

(1)求直线l的表达式；

(2)若点C是直线l与双曲线y=nx的一个公共点，AB=3AC，求n

如图，AB为⊙O直径，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，射线DC切⊙O于点C、交AB的延长线于点P，连接AC交DE于点F，作CH⊥AB于点H．

(1)求证：∠D=2∠A；

(2)若HB=2，

如图，半圆O的直径AB=5cm，点M在AB上且AM=1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM(或PM的延长线)于点Q.设PM=xcm，BQ=ycm.(当点P与点A或点B重合时，y的值为0)

小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第6页。x11.522.533.54y03.7______3.83.32.5______(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当△PBM的面积为1时，PM的长度约为______cm．

阅读下列材料：

改革开放以来，我国建筑业在坚持和完善公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度的指引下，企业所有制呈现多元化发展，极大激发了市场活力．建国初期，建筑业企业基本是清一色的国营建筑公司，而如今，建筑业企业类型涵盖了国有、集体、股份制、私营等内资企业，以及港澳台商投资企业、外商投资企业等多种所有制形式．根据2018年国家统计局发布的数据显示：

2017年，建筑业企业中，国有企业2187个，占全部企业比重仅为2.5%，比1996年减少6922个，占比下降19.5个百分点；年末从业人员183.0万人，占全部企业比重3.3%，比1996年减少672.9万人，占比下降37个百分点．

股份制企业32894个，占全部企业比重达到37.3%，比1996年增加31293个，占比提高33.4个百分点；年末从业人员2828万人，占全部企业比重51.1%，比1996年增加2768万人，占比提高48.2个百分点．

私营企业49645个，占全部企业比重达到56.4%，比1996年增加49110个，占比提高55.1个百分点；年末从业人员2340万人，占全部企业比重42.3%，比1996年增加2331万人，占比提高41.9个百分点．

外商投资企业218个，占全部企业比重达到0.2%，比1996年减少170个，占比下降0.7个百分点；年末从业人员8万人，占全部企业比重0.1%，比1996年减少1万人，占比下降0.3个百分点．

根据以上材料回答下列问题：

(1)1996年私营企业有______个，占全部企业比重为______．

2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第7页。(2)请你选择统计表或统计图，将1996年和2017年国有企业、股份制企业、私营企业、外商投资企业所占全部企业比重表示出来．

(3)请你根据以上统计表或统计图，给出一个合理的结论并说明理由．

2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第7页。抛物线M：y=ax2-4ax+a-1(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为D．

(1)抛物线M的对称轴是直线______；

(2)当AB=2时，求抛物线M的函数表达式以及顶点D的坐标；

(3)在(2)的条件下，直线l：y=kx+b(k≠0)经过抛物线的顶点D，直线y

正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．

(1)如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；

(2)如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；

(3)如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第8页。

2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第8页。在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q(x1,y1)与P(x2,y2).若Q，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做DPQ.特别地，当PQ与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”.例如，在图1中，点P(1,-1)，点Q(3,-2)，此时点Q与点P之间的“折距”DPQ=3．

(1)①已知O为坐标原点，点A(3,-2)，B(-1,0)，则DAO=______，DBO=______．

②点C在直线y=-x+4

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2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第9页。2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第10页。答案和解析2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第10页。1.【答案】D

【解析】解：A、∠AOB恰好是直角三角板中的60°角，正确；

B、∠AOB恰好是量角器中的60°角，正确；

C、∠AOB恰好是等边三角形的一个内角等于60°，正确；

D、无法得出∠AOB=60°，只能得出是圆周角的2倍，错误；

故选：D．

根据角的定义即可解决问题；

本题考查角的定义，量角器等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．【解析】解：0.00519=5.19×10-3，

故选：B．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中【解析】解：A、∵a<-4，0<c<1，

∴|a|>|c|，结论A正确；

B、∵b<0，c>0，

∴bc<0，结论B错误；

C、∵a<-4，d=4，

∴a+d<0，结论C错误；

D、-2<b<-1，结论【解析】解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∵∠ACO=50°，

∴∠BCO=90°-50°=40°．

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO=40°．【解析】【分析】2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第11页。本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第11页。【解答】解：由题意可知：x+3≥0x≠0

∴x≥-3且

6.【答案】B

【解析】解：∵a2-2a-1=0，

∴a2-2a=1，

∴(a-【解析】解：由统计图可得，

2014年，第二、三产业对GDP的贡献率几乎持平，故选项A正确，

改革开放以来，整体而言第一、三产业对GDP的贡献率都经历了先上升后下降的过程，第二产业是先下降后上升的过程，故选项B错误，

第三产业对GDP的贡献率增长速度最快的一年是2001年，故选项C正确，

2006年，第二产业对GDP的贡献率大约是第一产业对GDP的贡献率的10倍，故选项D正确，

故选：B．

根据统计图中的数据可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．

本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】D

【解析】解：把三棱柱纸盒往上打开为上底面，同时展开侧面，利用空间想象能力，可以确定，D选项符合该展开图．

故选：D．

三棱柱的侧面展开图是三个长方形，底面是三角形，各选项的展开图外形一样，故本题关键是确定描黑部分的分布．

此题主要考查了几何体的展开图，注意三棱柱的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．

9.【答案】2

【解析】解：∵1<3<2，4<17<5，

∴一个满足3<a<17的整数a的值为2，

故答案为：2．

答案不唯一，先估算出3和17的范围，再求出一个符合的即可．

本题考查了估算无理数的范围，能估算出32020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第12页。【解析】解：12m2-3=3(4m2-1)=3(2m+1)(2m-1)．

故答案为：2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第12页。【解析】解：∵∠1=60°，

∴∠AED=120°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°-∠AED=420°．

故答案为：420°【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC∽△ABC是解题的关键．

由DE//AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出S△DECS△ABC=(DCAC)2=49，再结合AC=3即可求出DC的长度．

【解答】

解：∵DE//AB，

∴△DEC∽△ABC，

∴S△DECS△ABC【解析】解：先将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位，

故答案为：先将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位

根据旋转的性质，平移的性质即可解决问题；

考查了坐标与图形变化-旋转，平移，对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

14.【答案】【解析】解：过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，

在Rt△ABE中，

∴sinα=AEAB，

∴AE=AB×sin20°≈68，

2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第13页。在Rt△BCG中，

∴sinβ=BGBC，

∴BG=BC×sin45°≈142，

∴2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第13页。【解析】解：3×5×7=105，

70是5与7的倍数，而用3除余1，

21是3与7的倍数，而用5除余1，

15是3与5的倍数，而用7除余1，

因而

70×2是5与7的倍数，用3除余2，

21×3是3与7的倍数，用5除余3，

15×4是3与5的倍数，用7除余4，

所以70×2+21×3+15×4=263=2×105+53，

则得53除以3余2，53除以5余3，53除以7余4，

所以这队士兵至少有53人．

故答案为：53．

我们先求是5与7的倍数而用3除余1的数，3与7的倍数而用5除余1的数，3与5的倍数而用7除余1的数，再利用所求得的数和3、5、7的最小公倍数3×5×7=105求出符合题目的解．

此题考查的知识点是带余数的除法，求得是5与7的倍数而用3除余1的数，3与7的倍数而用5除余1的数，3与5的倍数而用7除余1的数是关键．

16.【答案】4<a【解析】解：如图所示：当△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m，

m=6，点B的横坐标a的取值范围是：4<a≤5．

故答案为：4<a≤5．

直接利用已知画出符合题意的三角形进而得出答案．

此题主要考查了坐标与图形的性质，正确画出三角形是解题关键．【解析】解：(1)在Rt△OPM和Rt△OPN中，

∵OP=OPOM=ON，

∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)，

∴∠POM=∠PON．

∴OP平分∠AOB．

2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第14页。

(2)由(1)可知：小林的画法的依据是HL，

故答案为2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第14页。【解析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19.【答案】解：去分母，得：3x-6≤4x-3，

移项，得：3x-4x≤6-3，

合并同类项，得：-x≤3【解析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求解．

本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质：

(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

20.【答案】解：

(1)∵一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，

∴△>0，即16-4k>0，

∴k<4；

(2)当k=3时，解x2-4x+3=0，得x1=3，x【解析】(1)利用根的判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；

(2)利用(1)可求得k的值，则可求得方程的两根，代入x2+mx-1=0可求得m的值．

本题主要考查根的判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵EF//AB，BE//AF，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴▱ABEF是菱形；

2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第15页。(2)解：作DH⊥AC于点H，

∵sin∠CBE=12，

∴∠CBE=30°，

∵BE//AC2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第15页。【解析】(1)由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得结论；

(2)作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．

本题主要考查了菱形的性质及判定定理，锐角三角函数等，由锐角三角函数解得AH，CH是解答此题的关键．

22.【答案】解：(1)∵直线l：y=mx-3过点A(2,0)，

∴0=2m-3．

∴m=32．

∴直线l的表达式为y=32x-3；

(2)当x=0时，y=-3，

∴点B(0,-3)，

如图1，当点C在BA延长线上时，作CD⊥y轴于点D，

则△BAO∽△BCD，

∴BABC=OACD=BOBD，即34=2CD=33+OD，

解得：CD=83，OD=1，2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第16页。【解析】(1)将点A坐标代入直线解析式求得m即可；

(2)先求出点B坐标，再分点C在BA延长线上和点C在线段AB上两种情况，利用相似三角形的判定与性质求出点C的坐标即可．

本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OC，

∵射线DC切⊙O于点C，

∴∠OCP=90°

∵DE⊥AP，

∴∠DEP=90°，

∴∠P+∠D=90°，∠P+∠COB=90°，

∴∠COB=∠D，

由圆周角定理得，∠COB=2∠A，

∴∠D=2∠A；

(2)解：由(1)可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，

∴cos∠COP=cos∠D=35，

∵CH⊥OP，2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第17页。【解析】(1)连接OC，根据切线的性质得到∠OCP=90°，根据垂直的定义得到∠DEP=90°，得到∠COB=∠D，根据圆周角定理证明；

(2)设⊙O的半径为r，根据余弦的定义、勾股定理计算即可．

本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．

【解析】解：(1)当x=2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ=BM=4，

当x=4时，点P与B重合，此时BQ=0．

故答案为4；0．

(2)函数图象如图所示：

(3)如图，

在Rt△BQM中，∵∠Q=90°，∠MBQ=60°，

∴∠BMQ=30°，

∴BQ=12BM=2，

观察图象可知y=2时，对应的x的值为1.1或3.7．

故答案为1.1或3.7．

(1)当x=2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ=BM=4，当x=4时，点P与2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第18页。【解析】解：(1)49645-49110=535个，56.4%-55.1%=1.3%；

(2)利用统计表表示如下：

(3)改革开放以来，股份制企业、私营企业发展迅速，占比增长很快；而国有企业和外商投资企业则占比下降，发展出现负增长，从而说明国家积极鼓励和发展股份制企业、私营企业，政策向股份制企业和私营企业倾斜．

(1)1997年私营企业49645个，比1996年增加49110个，可求出1996年私营企业的数量，

(2)根据2017年国有企业、股份制企业、私营企业、外商投资企业所占全部企业比重，以及与1996年对应关系，求出1996年各种企业所占比重，制成统计表，

(3)根据占比变化情况，提出合理的结论．

考查用统计图或统计表反映一组数据的发展趋势，并从中得出合理化的意见和建议，达到搜集和整理数据的目的．

26.【答案】x=2

【解析】解：

(1)∵抛物线M：y=ax2-4ax+a-1(a≠0)，

∴抛物线的对称轴直线为：x=-b2a=--4a2a=2．

故答案为：x=2．

(2)∵抛物线M：y=ax2-4ax+a-1(a≠0)的对称轴为直线，抛物线M与x轴的交点为点A，点B，(点A在点B的左侧)，AB=2

∴点A、B的坐标分别为(1,0)，(3,0)，

∵点A在抛物线M上，

∴将A的坐标代入抛物线的函数表达式，得a-4a+a-1=0，

解得a=-12，

∴抛物线M的解析式为：y=-12x2+2x-32，

∵抛物线M的解析式为：y=-12x2+2x-32=-12(x-2)2+12

∴顶点坐标D为(2,12).

(3)如图，由(2)知点D的坐标为(2,12).

∵直y=n与直线l的交点横坐标记为x3，(x3<4)，且当-2≤n≤-1时，总有x1-x3<2020年北京市中考数学一模试卷及解析全文共22页，当前为第19页。x3-x2<0，

∴直线l与y轴的交点在(0,-2)的下方，

∴b<-2，

∵直线l：y=kx+b(k≠0)经过抛物线的顶点D，

∴2k+b=12，

∴k=14-b2>54．

故k的取值范围：k>54．

(1)根据对称轴的公式进行计算即可；

(2)根据题意，分别求出A、B两点坐标，然后再代入抛物线解析式中求出a值，即可解答；

(3)根据题意，画出函数图象，然后根据函数的图象直接求出k的取值范围即可．

本题考查的是二次函数的性质，二欠函数的