精选数列求和的基本方法和技巧讲义

（优选）数列求和的基本方法和技巧目前一页\总数四十一页\编于十一点数列求和基本方法：公式法分组求和法错位相减法裂项相消法并项求合法目前二页\总数四十一页\编于十一点一.公式法：①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式：③④⑤目前三页\总数四十一页\编于十一点例1：求和：目前四页\总数四十一页\编于十一点一、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.目前五页\总数四十一页\编于十一点

cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差{n}＋一个等比{2n}，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题.分组求和法目前六页\总数四十一页\编于十一点

,

+

n

11.求数列

+

2

3

,

+的前n项和。

,

2

2

2

,

3

2

n

2

+

1

2

3

n解：

=(1+2+3+…+n)

Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+

)

2

2

3

2

ｎ

2

+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分组求和法目前七页\总数四十一页\编于十一点[例1]

求数列的前n项和：，…

解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝目前八页\总数四十一页\编于十一点n个目前九页\总数四十一页\编于十一点二、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.既{anbn}型等差等比目前十页\总数四十一页\编于十一点2．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.【错位相减法】设{an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝目前十一页\总数四十一页\编于十一点[例1]

求数列

前n项的和解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设

…………………①………………②

（设制错位）①－②得∴目前十二页\总数四十一页\编于十一点2023/5/1213已知数列目前十三页\总数四十一页\编于十一点2023/5/1214解：第一步，写出该数列求和的展开等式第二步，上式左右两边乘以等比数列公比目前十四页\总数四十一页\编于十一点2023/5/1215第三步，两式进行错位相减得：化简整理得:目前十五页\总数四十一页\编于十一点

1.设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.变式探究目前十六页\总数四十一页\编于十一点

1．设数列满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求数列的通项；(2)设bn＝，求数列的前n项和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①目前十七页\总数四十一页\编于十一点(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1两式相减，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，目前十八页\总数四十一页\编于十一点2023/5/12191、2、已知数列求该数列的前n项和。目前十九页\总数四十一页\编于十一点三、裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）目前二十页\总数四十一页\编于十一点常见的裂项公式有：目前二十一页\总数四十一页\编于十一点常见的裂项公式有：目前二十二页\总数四十一页\编于十一点例1：求和裂项法求和提示：∴目前二十三页\总数四十一页\编于十一点目前二十四页\总数四十一页\编于十一点1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列四、并项求和目前二十五页\总数四十一页\编于十一点练习：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21目前二十六页\总数四十一页\编于十一点五.相间两项成等差等比综合目前二十七页\总数四十一页\编于十一点目前二十八页\总数四十一页\编于十一点∴{an}是等差数列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),则an=_______解:n=m=1时，a2

=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1时,由an+am=an+m得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，则bn=_____________解：n=m=1时，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1时,由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首项为b1=2，公比为q=2的等比数列，bn=2·2n-1=2n

2n

练习目前二十九页\总数四十一页\编于十一点目前三十页\总数四十一页\编于十一点目前三十一页\总数四十一页\编于十一点目前三十二页\总数四十一页\编于十一点解：(1)证明：由题意得2bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．又∵a1＝2b1＋1＝1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0.故数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．目前三十三页\总数四十一页\编于十一点目前三十四页\总数四十一页\编于十一点目前三十五页\总数四十一页\编于十一点目前三十六页\总数四十一页\编于十一点目前三十七页\总数四十一页\编于十一点目前三十八页\总数四十一页\编于十一点目前三十九页\总数