高三数学一轮复习-3.4-数列求和课件-理-大纲版人教版

一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知an=(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为（）（A）10（B）11（C）12（D）13【解题提示】研究函数f(x)=的图象的对称性，得出f(n)+f(11-n)=0，即an+a11-n=0.【解析】选B.构造函数f(x)=,此函数关于点P(,0)对称，故f(1)+f(2)+…+f(10)=0，即S10=0.当n≥6时，f(n)>0,∴a11=f(11)>0,∴S11>0.故选B.2.若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17+S33+S50等于（）(A)1(B)-1(C)0(D)2【解析】选A.Sn=.故S17=9,S33=17,S50=-25,S17+S33+S50=1.(n为奇数)(n为偶数）3.有限数列A：a1,a2,…,an,Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列a1,a2,…,a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1,a2,…,a99的“凯森和”为（）（A）1001（B）991（C）999（D）990【解析】选B.设a1,a2,…,a99的“凯森和”为=1000,则1，a1,a2,…,a99的“凯森和”为,而T1=1，T2=S1+1，T3=S2+1，…，T100=S99+1，所以=991，故选B.4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）（A）6秒钟（B）7秒钟（C）8秒钟（D）9秒钟【解题提示】将实际问题抽象为等比数列的求和问题.【解析】选B.设至少需要n秒钟，则1+21+22+…+2n-1≥100,∴≥100,∴n≥7，故选B.5.等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）(A)S7(B)S8(C)S13(D)S15【解析】选C.a2+a8+a11=a2+a7+a12=3a7,因此a7为定值.而S13==13a7.故选C.二、填空题（每小题3分，共9分）6.设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列.设bn=log2a3n+1,则数列{bn}的通项公式bn=____.【解析】设等比数列{an}的公比为q,由S3=7得=7,即a1(1+q+q2)=7①又a1+3,3a2,a3+4成等差数列，故6a2=a1+3+a3+4,即a1q2-6a1q+a1+7=0②由①②得q=2,a1=1或q=,a1=4(舍去）.∴an=2n-1.∴a3n+1=23n,bn=log2a3n+1=log223n=3n.答案：3n7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn=____.【解析】∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.∴Sn==2n+1-2.答案：2n+1-28.（2010·重庆模拟）若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17,则f(14)=17,记f1(n)=f(n),f2(n)=f[f1(n)],……，fk+1(n)=f［fk(n)］,k∈N*,则f2010(8)=____.【解题提示】通过迭代求值，观察值的变化规律.【解析】f1(8)=f(8)=64+1=65,6+5=11,f2(8)=f［f1(8)］=f(11)=121+1=122，1+2+2=5,f3(8)=f［f2(8)］=f(5)=25+1=26，2+6=8,f4(8)=f［f3(8)］=f(8).所以f2

010(8)=f3(8)=8.答案：8三、解答题（共16分）9.（8分）（2010·抚顺模拟）等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求{an}的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.【解析】(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-.(2)由已知可得a1-a1(-)2=3,故a1=4.从而Sn=10.（8分）（2010·南宁模拟）已知数列{an}的前n项和Sn满足：S1=10,当n≥2时，2Sn=(n+4)an.(1)求a2,a3的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求的值.【解析】（1）a1=S1=10,由2Sn=(n+4)an，令n=2，得2S2=(2+4)a2,即2(a1+a2)=6a2,∴a2=5;令n=3，得2S3=(3+4)a3,即2(a1+a2+a3)=7a3,∴a3=6.（2）∵2Sn=(n+4)an,2Sn-1=(n+3)an-1(n≥3)，两式相减，得2an=2(Sn-Sn-1)=(n+4)an-(n+3)an-1,即(n≥3).∴an=·…·=n+3(n≥3,但n=2时也适合，n=1时不适合）∴an=.(3)当n≥2时，10(n=1)n+3(n≥2)

（10分）已知数列{an},an=(n2+n)()n,则是否存在正整数m，使得a1+a2+a3+…+an<m恒成立，若存在求出m的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】设a1+a2+…+an=Sn,则Sn=设Tn=∴Sn=2+4Tn-2(n2+n)×()n+1=8-(2n2+10n+16)()n+1∵(2n2+10n+16)()n+1=0,∴Sn=8,且Sn<8,∴存在正整数m，使a1+a2+…+an<m,m的最小值为8.一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知an=(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为（）（A）10（B）11（C）12（D）13【解题提示】研究函数f(x)=的图象的对称性，得出f(n)+f(11-n)=0，即an+a11-n=0.【解析】选B.构造函数f(x)=,此函数关于点P(,0)对称，故f(1)+f(2)+…+f(10)=0，即S10=0.当n≥6时，f(n)>0,∴a11=f(11)>0,∴S11>0.故选B.2.若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17+S33+S50等于（）(A)1(B)-1(C)0(D)2【解析】 3.有限数列A：a1,a2,…,an,Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，若有99项的数列a1,a2,…,a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1,a2,…,a99的“凯森和”为（）（A）1001（B）991（C）999（D）990【解析】 4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）（A）6秒钟（B）7秒钟（C）8秒钟（D）9秒钟【解题提示】将实际问题抽象为等比数列的求和问题.【解析】选B.设至少需要n秒钟，则1+21+22+…+2n-1≥100,∴≥100,∴n≥7，故选B.5.等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）(A)S7(B)S8(C)S13(D)S15【解析】选C.a2+a8+a11=a2+a7+a12=3a7,因此a7为定值.而S13==13a7.故选C.【规律方法】二、填空题（每小题3分，共9分）6.设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4成等差数列.设bn=log2a3n+1,则数列{bn}的通项公式bn=____.【解析】设等比数列{an}的公比为q,由S3=7得,即a1(1+q+q2)=7①又a1+3,3a2,a3+4成等差数列，故6a2=a1+3+a3+4,即a1q2-6a1q+a1+7=0②由①②得q=2,a1=1或q=,a1=4(舍去）.∴an=2n-1.∴a3n+1=23n,bn=log2a3n+1=log223n=3n.答案：3n7.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn=_____.【解析】∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.∴Sn==2n+1-2.答案：2n+1-28.（2010·重庆模拟）若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17,则f(14)=17,记f1(n)=f(n),f2(n)=f［f1(n)］,……，fk+1(n)=f［fk(n)］,k∈N*,则f2010(8)=_____.【解题提示】通过迭代求值，观察值的变化规律.【解析】f1(8)=f(8)=64+1=65,6+5=11,f2(8)=f[f1(8)］=f(11)=121+1=122，1+2+2=5,f3(8)=f[f2(8)］=f(5)=25+1=26，2+6=8,f4(8)=f[f3(8)］=f(8).所以f2010(8)=f3(8)=8.答案：8三、解答题（共16分）9.（8分）（2010·抚顺模拟）等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1，S3，S2成等差数列.(1)求{an}的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.【