高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

慧诚教化2017年秋季中学数学讲义必修一第一章复习学问点一集合的概念1．集合一般地，把一些能够对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素构成集合的叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.学问点二集合与元素的关系1．属于假如a是集合A的元素，就说集合A，记作.2．不属于假如a不是集合A中的元素，就说集合A，记作.学问点三集合的特性与分类1．集合元素的特性2．集合的分类(1)有限集：含有元素的集合．(2)无限集：含有元素的集合．3．常用数集与符号表示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号NN*或N＋ZQR学问点四集合的表示方法1．列举法把集合的元素，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．学问点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(图)子集假如集合A中的元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集(或)真子集假如集合A⊆B，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集(或)2.子集的性质(1)规定：空集是的子集，也就是说，对随意集合A，都有．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即．(3)假如A⊆B，B⊆C，则．(4)假如，，则．3．集合相等定义符号语言图形图言(图)集合相等假如集合A是集合B的子集(A⊆B)，且，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等A＝B4.集合相等的性质假如A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，.学问点六集合的运算1．交集自然语言符号语言图形语言由组成的集合，称为A与B的交集A∩B＝2．并集自然语言符号语言图形语言由组成的集合，称为A与B的并集A∪B＝3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝A∪B＝A∩A＝A∪A＝A∩∅＝A∪∅＝A⊆B⇔A∩B＝A⊆B⇔A∪B＝4.全集在探讨集合与集合之间的关系时，假如一个集合含有我们所探讨问题中涉与的，则就称这个集合为全集，通常记作．5．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中的全部元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作符号语言∁＝图形语言典例精讲题型一推断能否构成集合1．在“①高一数学中的难题；②全部的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是。题型二验证元素是否是集合的元素已知集合.求证：（1）3A；（2）偶数42()不属于A.2、集合A是由形如的数构成的，推断是不是集合A中的元素.题型三求集合1．方程组\b\\{\\(\a\4\\1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))的解集是()\b\\{\\(\a\4\\1(x＝3＝－7))B．{x，＝3且y＝－7}C．{3，－7}D．{(x，y)＝3且y＝－7}2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x，y)＝－1或y＝2}．能表示方程组\b\\{\\(\a\4\\1(2x＋y＝0，－y＋3＝0))的解集的是()A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤C．②⑤ D．②⑤⑥3.数集A满意条件：若a∈A，则\f(1＋a,1－a)∈A(a≠1)．若\f(1,3)∈A，求集合中的其他元素.4．已知x，y，z为非零实数，代数式\f()＋\f()＋\f()＋\f()的值所组成的集合是M，用列举法表示集合M为。题型四利用集合中元素的性质求参数1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△的三边长，则△肯定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝\b\\{\\}(\a\4\\1(0，\f()，b))，则b－a＝.3.已知P＝{2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是.4.已知集合A＝{2－3x＋2＝0}.(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()A．2 B．3C．0或3 D．0或2或36．(2016·浙江镇海检测)已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝.题型五推断集合间的关系设,，则M与N的关系正确的是（）A.B.C.D.以上都不对2．推断下列集合间的关系：(1)A＝{－3＞2}，B＝{2x－5≥0}；(2)A＝{x∈－1≤x<3}，B＝{＝，y∈A}．3．已知集合M＝{＝m＋\f(1,6)，m∈Z}，N＝{＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z}，P＝{＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.题型六求子集个数1．已知集合A＝{2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为．题型七利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝.2．已知集合A＝{1,2}，B＝{－2＝0}，若B⊆A，则a的值不行能是()A．0 B．1C．2 D．33．设集合A＝{－2≤x≤5}，B＝{＋1≤x≤2m－1}.(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．题型八集合间的基本运算1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．42．已知集合M＝{－3<x≤5}，N＝{>3}，则M∪N＝()A．{>－3} B．{－3<x≤5}C．{3<x≤5} D．{≤5}3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满意B∩A＝B，则符合条件的集合B的个数是()A．1 B．2C．3 D．44．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{(x－2)(x－3)≥0}，T＝{>0}，则S∩T＝()A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)5．下列关系式中，正确的个数为()①(M∩N)⊆N；②(M∩N)⊆(M∪N)；③(M∪N)⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M.A．4 B．3C．2 D．16．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈2＋＝0}，若∁＝{1,2}，则实数m＝.7．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{≤4}，集合A＝{－2<x<3}，B＝{－3≤x≤2}，求A∩B，(∁)∪B，A∩(∁).8．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满意S∩T＝{2}，(∁)∩T＝{4}，(∁)∩(∁)＝{1,5}则有()A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁C．3∈∁,3∈T D．3∈∁,3∈∁题型九依据集合运算的结果求参数1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝.2．已知集合A＝{－1≤x＜3}，B＝{2x－4≥x－2}.(1)求A∩B；(2)若集合C＝{2x＋a＞0}，满意B∪C＝C，求实数a的取值范围．3．设A＝{2＋8x＝0}，B＝{2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.假如A∩B＝B，求实数a的取值范围.4．已知集合A＝{2＋＋12b＝0}和B＝{2－＋b＝0}，满意(∁)∩B＝{2}，A∩(∁)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值.5．U＝{1,2}，A＝{2＋＋q＝0}，∁＝{1}，则p＋q＝.4．设全集U＝R，集合A＝{≤1或x≥3}，集合B＝{＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁)≠∅，则()A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜26．已知集合A＝{2－＋a2－19＝0}，B＝{2－5x＋6＝0}，C＝{2＋2x－8＝0}，摸索求a取何实数时，(A∩B)∅与A∩C＝∅同时成立.题型十交集、并集、补集思想的应用1．若三个方程x2＋4－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2－2a＝0至少有一个方程有实数解，试求实数a的取值范围．题型十一集合中的新定义问题1．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.(1)推断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．2．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()A．7 B．12C．32 D．643．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的全部孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝()A．{0,1,3,4} B．{1,4}C．{1,3} D．{0,3}4．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)，对于随意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()A．(X∪Y)∩∁ B．(X∩Y)∪∁C．(∁∪∁)∩Z D．(∁∩∁)∪Z5．设数集M＝{≤x≤m＋\f(3,4)}，N＝{－\f(1,3)≤x≤n}，且M，N都是集合{0≤x≤1}的子集，假如把b－a叫做集合{≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的“长度”的最小值是.6．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{∈A，且x∉B}.(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否肯定相等？说明理由；(3)已知A＝{>4}，B＝{－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)．学问点一函数的有关概念学问点二两个函数相等的条件1．定义域．2．完全一样．学问点三区间的概念与表示1．一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{≤x≤b}闭区间{<x<b}开区间{≤x<b}半开半闭区间{<x≤b}半开半闭区间

2.特别区间的表示定义R{≥a}{>a}{≤a}{<a}符号(－∞，＋∞)a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)学问点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．学问点五分段函数假如函数y＝f(x)，x∈A，依据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的，则称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的，值域是各段值域的．学问点六映射的概念设A，B是两个，假如按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有确定的元素y与之对应，则就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．学问点七函数的单调性1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D上的随意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则就说函数f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则\f(1(x))为减(增)函数．学问点八函数的最大值、最小值最值类别最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意(1)对于随意的x∈I，都有(2)存在x0∈I，使得(1)对于随意的x∈I，都有(2)存在x0∈I，使得结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．学问点九函数的奇偶性1．函数奇偶性的概念偶函数奇函数条件对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)结论函数f(x)是偶函数函数f(x)是奇函数2.性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．例1(2016年10月学考)函数f(x)＝(x－3)的定义域为()A．{>－3} B．{>0}C．{>3} D．{≥3}例2(2016年4月学考)下列图象中，不行能成为函数y＝f(x)图象的是()例3已知函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(\f(1,3)x，x>1，,－x2－2x＋4，x≤1，))则f(f(3))＝，f(x)的单调递减区间是．例4(2015年10月学考)已知函数f(x)＝\f(x＋a＋－,2)，g(x)＝＋1，其中a>0，若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是．例5已知函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1((x<0)，,(a－3)x＋4a(x≥0)))满意对随意的x1<x2都有f(x1)>f(x2)，求a的取值范围．例6(2016年4月学考改编)已知函数f(x)＝\f(1－1)－\f(1－3).(1)设g(x)＝f(x＋2)，推断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证：函数f(x)在2,3)上是增函数．例7(2015年10月学考)已知函数f(x)＝＋\f(1＋1)＋\f(1－1)，a∈R.(1)推断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减．例8(2016年10月学考)设函数f(x)＝\f(1,(－1|－a)2)的定义域为D，其中a<1.(1)当a＝－3时，写出函数f(x)的单调区间(不要求证明)；(2)若对于随意的x∈0,2]∩D，均有f(x)≥2成立，求实数k的取值范围．一、选择题1．函数f(x)＝\r(1－2x)＋\f(1,\r(x＋3))的定义域为()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]2．下列四组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝\r(－2x3)与y＝\r(－2x)B．y＝(\r(x))2与y＝C．y＝\r(x＋1)·\r(x－1)与y＝\r((x＋1)(x－1))D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－13．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{－2≤x≤2}，值域为N＝{0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()4．已知f(x)是一次函数，且(x)]＝x＋2，则f(x)等于()A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－15．设集合A＝{0≤x≤6}，B＝{0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是()A．f：x→y＝\f(1,2)x B．f：x→y＝\f(1,3)xC．f：x→y＝\f(1,4)x D．f：x→y＝\f(1,6)x6．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．17．若函数y＝＋1在1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为()A．2B．－2C．2或－2D．08．偶函数f(x)(x∈R)满意：f(4)＝f(1)＝0，且在区间0,3]与3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式x·f(x)<0的解集为()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－∞，－4)∪(－1,0)C．(－4，－1)∪(1,4)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)二、填空题9．已知函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1－\f(1,2)x，x≥0，,\f(1)，x<0，))若f(a)＝a，则实数a＝.10．设f(x)＝2＋＋2是定义在1＋a,1]上的偶函数，则f(x)>0的解集为．11．若关于x的不等式x2－4x－a≥0在1,3]上恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题12．已知函数f(x)＝\f(1＋2＋b)的图象经过点(1,3)，并且g(x)＝(x)是偶函数．(1)求函数中a、b的值；(2)推断函数g(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．13．已知二次函数f(x)＝2－2＋2＋b在区间2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求f(x)的解析式；(2)若b>1，g(x)＝f(x)＋在2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．答案精析学问条目排查学问点一1．确定的不同的全体2．每个对象学问点二1．属于∈2．不属于∉学问点三1．确定性互异性无序性2．(1)有限个(2)无限个3．正整数集有理数集学问点四1．一一列举出来2．共同特征学问点五1．随意一个A⊆BB⊇Ax∈Bx∉AABBA2．(1)任何集合∅⊆A(2)A⊆A(3)A⊆C(4)AC3．集合B是集合A的子集(B⊆A)4．假如A＝B,则A⊆B，且B⊆A学问点六1．属于集合A且属于集合B的全部元素{∈A，且x∈B}2．全部属于集合A或属于集合B的元素{∈A，或x∈B}3．B∩AB∪AAA∅AAB4．全部元素U5．不属于集合A∁{∈U，且x∉A}题型分类示例例1D例2A∵A＝B，∴2∈B，则a＝2.]例3{4}解析∵全集U＝{2,3,4}，集合A＝{2,3}，∴∁＝{4}．例4A∵A∩B＝A，∴A⊆B.∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，∴m＝2，故选A.]例5B由B中不等式变形得(x－2)(x＋4)>0，解得x<－4或x>2，即B＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)．∵A＝－2,3]，∴A∪B＝(－∞，－4)∪－2，＋∞)．故选B.]例6C图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁，故选C.]例7AA＝{1≤3x≤81}＝{0≤x≤4}，B＝{2(x2－x)>1}＝{2－x>2}＝{<－1或x>2}，∴A∩B＝{2<x≤4}＝(2,4]．]考点专项训练1．B∵集合A＝{1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z＝{1,2,3,4,5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5，故选B.]2．C由x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.又集合A＝{－1≤x≤1}，∴A⊆B，故选C.]3．D45．A∁＝{2,4,5,7}，A∩(∁)＝{3,4,5}∩{2,4,5,7}＝{4,5}，故选A.]6．A因为全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且∁＝{－1}，所以1,3是集合A中的元素，所以\b\\{\\(\a\4\\1(a＋2＝1，2＋2＝3))或\b\\{\\(\a\4\\1(a＋2＝3，2＋2＝1，))由\b\\{\\(\a\4\\1(a＋2＝1，2＋2＝3，))得a＝－1.由\b\\{\\(\a\4\\1(a＋2＝3，2＋2＝1，))得a无解，所以a＝－1，故选A.]7．DA＝{2－8x＋15＝0}＝{3,5}，∵B⊆A，∴B＝∅或{3}或{5}，若B＝∅时，a＝0；若B＝{3}，则a＝\f(1,3)；若B＝{5}，则a＝\f(1,5).故a＝\f(1,3)或\f(1,5)或0，故选D.]8．D∵集合A＝{2≥16}＝{≤－4或x≥4}，B＝{m}，且A∪B＝A，∴B⊆A，∴m≤－4或m≥4，∴实数m的取值范围是(－∞，－4]∪4，＋∞)，故选D.]9．{1,2}10．01解析A＝{1，a}，∵x(x－a)(x－b)＝0，解得x＝0或a或b，若A＝B，则a＝0，b＝1.11．4解析全集U＝{x∈－2≤x≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{－1,0,1,2,3}，∁＝{－2,4}，∵B⊆∁，则集合B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}，因此满意条件的集合B的个数是4.12．1，＋∞)解析由x2－x<0，解得0<x<1，∴A＝(0,1)．∵B＝(0，a)(a>0)，A⊆B，∴a≥1.13．3，＋∞)解析由－2|<a，可得2－a<x<2＋a(a>0)，∴A＝(2－a,2＋a)(a>0)．由x2－2x－3<0，解得－1<x<3.B＝(－1,3)．∵B⊆A，则\b\\{\\(\a\4\\1(2－a≤－1，,2＋a≥3))解得a≥3.

答案精析学问条目排查学问点一非空数集唯一确定从集合A到集合B{f(x)∈A}学问点二1．相同2．对应关系学问点三1．a，b](a，b)a，b)(a，b]学问点五对应关系并集并集学问点六非空的集合随意一个元素x唯一学问点八f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M题型分类示例例1C例2A当x＝0时，有两个y值对应，故A不行能是函数y＝f(x)的图象．]例35－1，＋∞)解析f(3)＝\f(1,3)3＝－1，∴f(f(3))＝f(－1)＝－1＋2＋4＝5，当x≤1时，f(x)＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，对称轴x＝－1，f(x)在－1，1]上递减，当x>1时，f(x)递减，∴f(x)在－1，＋∞)上递减．例4(0,1)解析由题意得f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(x，x>a，，x≤a，))在平面直角坐标系内分别画出0<a<1，a＝1，a>1时，函数f(x)，g(x)的图象，由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，有\b\\{\\(\a\4\\1(0<a<1，(a)>a，))解得0<a<1，a的取值范围为0<a<1.例5解由题意知，f(x)为减函数，∴0<a<1且a－3<0且a0≥(a－3)×0＋4a，∴0<a≤\f(1,4).例6(1)解∵f(x)＝\f(1－1)－\f(1－3)，∴g(x)＝f(x＋2)＝\f(1＋1)－\f(1－1)，∵g(－x)＝\f(1,－x＋1)－\f(1,－x－1)＝\f(1＋1)－\f(1－1)＝g(x)，又∵g(x)的定义域为{≠－1且x≠1}，∴y＝g(x)是偶函数．(2)证明设x1，x2∈2,3)且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝(\f(11－1)－\f(11－3))－(\f(12－1)－\f(12－3))＝\f(2(x1－x2)(x1＋x2－4),(x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3))，∵x1，x2∈2,3)且x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2－4>0，(x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3)>0，综上得f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在2,3)上是增函数．例7(1)解因为f(－x)＝－＋\f(1,－x＋1)＋\f(1,－x－1)＝－(＋\f(1－1)＋\f(1＋1))＝－f(x)，又因为f(x)的定义域为{x∈≠－1且x≠1}，所以函数f(x)为奇函数．(2)证明任取x1，x2∈(0,1)，设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)＋\f(x2－x1,(x1－1)(x2－1))＋\f(x2－x1,(x1＋1)(x2＋1))＝(x1－x2)a－\f(1,(x1－1)(x2－1))－\f(1,(x1＋1)(x2＋1))]＝(x1－x2)a－\f(2(x1x2＋1),(x\o\(2,1)－1)(x\o\(2,2)－1))]．因为0<x1<x2<1，所以2(x1x2＋1)>2,0<(\o\(2,1)－1)(\o\(2,2)－1)<1，所以\f(2(x1x2＋1),(x\o\(2,1)－1)(x\o\(2,2)－1))>2>a，所以a－\f(2(x1x2＋1),(x\o\(2,1)－1)(x\o\(2,2)－1))<0.又因为x1－x2<0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减．例8解(1)单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是1，＋∞)．(2)当x＝0时，不等式f(x)≥2成立；当x≠0时，f(x)≥2等价于k≤\f(1,[x(－1|－a)]2).设h(x)＝x(－1|－a)＝\b\\{\\(\a\4\\1(－x[x－(1－a)]，0＜x≤1，[x－(1＋a)]，1＜x≤2.))①当a≤－1时，h(x)在(0,2]上单调递增，所以0<h(x)≤h(2)，即0<h(x)≤2(1－a)．故k≤\f(1,4(1－a)2).②当－1<a<0时，h(x)在(0，\f(1－a,2)]上单调递增，在\f(1－a,2)，1]上单调递减，在1，2]上单调递增，因为h(2)＝2－2a≥\f((1－a)2,4)＝h(\f(1－a,2))．即0<h(x)≤2(1－a)．故k≤\f(1,4(1－a)2).③当0≤a＜1时，h(x)在(0，\f(1－a,2)]上单调递增，在\f(1－a,2)，1－a)上单调递减，在(1－a,1]上单调递减，在1,1＋a)上单调递增，在(1＋a,2]上单调递增，所以h(1)≤h(x)≤{h(2)，h(\f(1－a,2))}且h(x)≠0.因为h(2)＝2－2a>\f((1－a)2,4)＝h(\f(1－a,2))，所以－a≤h(x)≤2－2a且h(x)≠0.当0≤a＜\f(2,3)时，因为|2－2＞|－，所以k≤\f(1,4(1－a)2)；当\f(2,3)≤a＜1时，因为|2－2≤|－，所以k≤\f(12)，综上所述，当a<\f(2,3)时，k≤\f(1,4(1－a)2)；当\f(2,3)≤a<1时，k≤\f(12).考点专项训练1．A要使函数有意义，则\b\\{\\(\a\4\\1(1－2x≥0，＋3>0，))即\b\\{\\(\a\4\\1(x≤0，>－3.))故－3<x≤0.即函数的定义域为(－3,0]，故选A.]2．D在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y≤0，两个函数的值域不同；在B选项中，前者的定义域x≥0，后者的x∈R，定义域不同；在C选项中，前者定义域为x>1，后者为x>1或x<－1，定义域不同；在D选项中，两个函数是同一个函数，故选D.]3．B4．Af(x)是一次函数，设f(x)＝＋b，(x)]＝x＋2，可得k(＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋＋b＝x＋2，k2＝1，＋b＝2，解得k＝1，b＝1.则f(x)＝x＋1，故选A.]5．A678．D求x·f(x)<0即等价于求函数在其次、四象限