高考立体几何大题及答案理

1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。（I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱1B1C1中，⊥、E分别为1、B1C的中点，⊥平面1（Ⅰ）证明：（Ⅱ）设二面角ACBA1ACBA1B1C1DE3.（2009浙江卷）如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（）求与平面所成角的正弦值．4.（2009北京卷）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为的中点时，求与平面所成的角的大小.5.（2009江西卷）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离．6.（2009四川卷）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面相互垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（）设线段、的中点分别为、，求证：∥（）求二面角的大小。7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面＝＝a,点E是上的点，且＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对随意的（0、1），都有⊥:(Ⅱ)若二面角的大小为600C，求8.（2009湖南卷）如图3，在正三棱柱中，4,,点D是的中点，点E在上，且.（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值。9.（2009四川卷）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面相互垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（）设线段、的中点分别为、，求证：∥（）求二面角的大小。10.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：（Ⅰ）直线到平面的距离；（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．11．如图，四棱锥P­中，底面为平行四边形，∠＝60°，＝2，⊥底面．(1)证明：⊥；(2)设＝，求二面角A－－C的余弦值．12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，垂足为H，是四棱锥的高，E为中点证明：若60°，求直线与平面所成角的正弦值参考答案1、【解析】（I）解法一：作∥交于N，作交于E，连、，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而M为侧棱的中点M.解法二:过作的平行线.（）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为的中点，取的中点G，连，易证，则即为所求二面角.解法二、分别以、、为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—，则。SASABCDMzxy（Ⅰ）设，则，由题得，即解之个方程组得即所以是侧棱的中点。法2：设，则又故，即，解得，所以是侧棱的中点。（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即二面角的大小。2、解法一：（Ⅰ）取中点F，连接，则，从而。连接，则为平行四边形，从而。又⊥平面，故⊥平面，从而⊥，即为的垂直平分线，所以。（Ⅱ）作⊥，垂足为G，连接。由三垂线定理知⊥，故∠为二面角的平面角。由题设知，∠600..设2，则。又2，，故。由得2，解得。故。又⊥，所以四边形为正方形。因为⊥，⊥，∩，故⊥平面，因此平面⊥平面。连接、，设∩，则⊥，⊥平面。连接，则∠为与平面所成的角。因为正方形，，故1，又2，所以∠300，即与平面所成的角为300.解法二：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）（，，c）.于是=（，，0），=（-1，b,0）.由⊥平面知⊥，=0，求得1，所以。（Ⅱ）设平面的法向量则又=（-1，1，0），=（-1，0，c）,故令1,则1,(1,1,).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角为60°知，=60°，故°，求得于是，所以与平面所成的角为30°3、（Ⅰ）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面（Ⅱ）在中，，所以而平面，，所以平面而平面，所以平面平面，所以平面由（Ⅰ）知四边形是平行四边形，所以所以平面，所以直线在平面内的射影是，所以直线与平面所成角是在中，，所以4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形是正方形，∴⊥，∴⊥，∴⊥平面，∴平面.（Ⅱ）设∩，连接，由（Ⅰ）知⊥平面于O，∴∠为与平面所的角，∴O，E分别为、的中点，∴，，又∵，∴⊥底面，⊥，在△中，，∴，即与平面所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设则，∴⊥，⊥，∴⊥平面，∴平面.（Ⅱ）当且E为的中点时，，设∩，连接，由（Ⅰ）知⊥平面于O，∴∠为与平面所的角，∴，即与平面所成的角的大小为.多面体的体积为—＋—5、解：方法（一）：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则是在平面上的射影，所以就是与平面所成的角，且所求角为（3）因为O是的中点，则O点到平面的距离等于D点到平面距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则就是D点到平面距离.因为在△中，，，所以为中点，，则O点到平面的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为.（3）设所求距离为，由，得：6、【解析】解法一：因为平面⊥平面，平面，⊥，平面∩平面，所以⊥平面.所以⊥.因为⊿为等腰直角三角形，，所以∠45°，又因为∠45,所以∠90°，即⊥.因为平面,平面,所以…………6分（）取的中点N,连结,则∴为平行四边形,所以∥.∵在平面内不在平面内,∴∥平面.…………8分（）由⊥,平面⊥平面,易知⊥平面.作⊥,交的延长线于G,则∥.从而⊥平面,作⊥于H,连结,则由三垂线定理知⊥.∴∠为二面角的平面角.∵,∠45°,∠90°,∠45°.设1,则1,则在⊿中,∠45°1,在⊿中,,∴二面角的大小为…………12分解法二:因等腰直角三角形，，所以又因为平面，所以⊥平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设，则，从而于是，∵平面，平面，（），从而于是∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，故∥平面（）设平面的一个法向量为，并设＝（即取，则，，从而＝（1，1，3）取平面D的一个法向量为故二面角的大小为7、（Ⅰ）证发1：连接，由底面是正方形可得。平面ＡＢＣＤ，是在平面上的射影，由三垂线定理得.()解法1：平面，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，.又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤ，平面。过点D在平面内做于F，连接，则，故是二面角的平面角，即60°在△中，,，。于是，在△中，由60°=得，即=3，解得=8、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又平面，所以.而，,所以⊥平面.又平面，故平面⊥平面.（Ⅱ）解法1:过点A作垂直于点,连接.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，所以平面,故是直线和平面所成的角。因为，所以.而是边长为4的正三角形，于是，443.又因为，所以=4,即直线和平面所成角的正弦值为.解法2:如图所示，设O是的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),(2,0,),D(-1,,0),E(-1,0,0).易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是由此即知，直线和平面所成角的正弦值为.所以与不共面，它们是异面直线。……..12分9、【解析】解法一：因为平面⊥平面，平面，⊥，平面∩平面，所以⊥平面.所以⊥.因为⊿为等腰直角三角形，，所以∠45°，又因为∠45,所以∠90°，即⊥.因为平面,平面,所以………………6分（）取的中点N,连结,则∴为平行四边形,所以∥.∵在平面内不在平面内,∴∥平面.…………8分（）由⊥,平面⊥平面,易知⊥平面.作⊥,交的延长线于G,则∥.从而⊥平面,作⊥于H,连结,则由三垂线定理知⊥.∴∠为二面角的平面角.∵,∠45°,∠90°,∠45°.设1,则1,则在⊿中,∠45°1,在⊿中,,∴二面角的大小为………………12分解法二:因等腰直角三角形，，所以又因为平面，所以⊥平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设，则，从而于是，∵平面，平面，（），从而于是∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，故∥平面（）设平面的一个法向量为，并设＝（即取，则，，从而＝（1，1，3）取平面D的一个法向量为故二面角的大小为10、解法一:（Ⅰ）平面,到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以为所求直线到面的距离。在中，由平面，得，从而在中，。即直线到平面的距离为。（Ⅱ）由己知，平面，得，又由，知，故平面，所以，为二面角的平面角，记为.在中,,由得,,从而在中,,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二:（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设可得,由.即,解得∥，面,所以直线到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则因且,而,此即解得①,知G点在面上,故G点在上.,故有②联立①,②解得,为直线到面的距离.而所以（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设,.由得,解得.即.故由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以11.解：(1)因为∠＝60°，＝2，由余弦定理得.从而2＋2＝2，故⊥．又⊥底面，可得⊥．所以⊥平面．故⊥．(2)如图，以D为坐标原点，的长为单位长，射线为x轴的正半轴建立空间直角坐标系.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1