建筑力学讲义之平面任意力系

3、平面任意力系3．1力的投影、力对点的矩3.1.1力在坐标轴上的投影已知合力求分力公式：已知分力求合力公式：力投影的要点：力平移力在坐标轴上投影不变；力垂直于某轴，力在该轴上投影为零；力平行于某轴，力在该轴上投影的绝对值为力的大小。3.1.2力对点的矩力F与距离d两者的乘积来量度力F对物体的转动效应。转动中心O称为力矩中心，简称矩心。矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：（1）力的大小与力臂的乘积。（2）力使物体绕O点的转动方向。MO(F)=±稍通常规定嘉：逆为正妻，反之为帐负。食在平面问亲题中，力省矩为代数停量。狠力矩的单富位：期（协）或礼（延）。笔M忌O俭(远F小)=±渴2慰△伍AOB恰力矩在下显列两种情鼠况下等于腿零：膨（歼1诊）力等于袖零；志（功2隐）力的作捞用线通过盾矩心，即触力臂等于腾零。蜻3塞．诉2纯平面任意据力系的简伶化糠3.2.亦1给首力的平移岂定理云平面任意胡力系：症指各力的财作用线位垮于同一平后面内但不据全汇交于圾一点，也抚不全平行牵的力系。净力的平移欢定理：作滥用在刚体拣上的力捆F淡，可以平仙移到同一宿刚体上的狂任一点，狂但必须附否加一个力贡偶，其力充偶矩等于坐力块F铸对新作用闭点之矩枪。能3.2.鸣2截平面任意忠力系向作断用面内任菊一点简化授设在物体修上作用有派平面一般滥力系壮F树1装，威F渴2陈，耗…标，持F胡n臭，如节图锁3樱－绳1臣（底a筐）所示。烟为将这力诱系简化，贵首先在该狼力系的作踪用面内任进选一狡点丸o坡作为歼简化中心饰，根据力机的平移定艇理，将各孤力全部平读移铲到慧o摆点（医图彻3秆－昼1砌（佩b医）），得殿到一个平怀面汇交力怀系端F粒1准′右，盾F叙2蝇′奸，积…扣，武F刊n脚′红和一个附鼓加的平面区力偶系曾。罢其中平面增汇交力系叮中各力的葛大小和方蜡向分别与怕原力系中剂对应的各堵力相同，凭即恐F枯1顺′金=风F庄1无，娘F熄2黄′知=帽F轿2障，警…斥，写F零n盈′滔=榴F煌n宣各附加的牢力偶矩分锯别等于原津力系中各贩力对简化荐中开心朽O肉点之矩，亡即蒸由平面汇低交力系合际成的理论元可知，标F脱1浸′隔，姓F情2慎′拖，吸…草，袭F脸n淘′兔可合成为得一个作用淋于授O拢点的力梦R漏ˊ翻，并称为问原力系的知主矢您（原图亩3炊－烤1怠（温c剑）），即梢R败′童=柄F织1座′慰+脚F疲2刊′渔+缎…浮+渐F丽n掏′斗=窝F艳1死+同F部2啦+枪…稍+相F石n桐=条∑臣F宴i查滤倡不（往3摇－１）扎求主矢珍R秧′误的大小和矩方向，可监应用解析铜法。匀过艘O忘点取直角尘坐标伞系锁ox详y望，如签图纱3兄－蕉1勉所示。主倚矢宋R普′商在暗x拍轴毛和岔y强轴上的投揪影为拨R尊x城′勇=暑x锁1泽′护+悟x烟2丸′满+兄…衬+姨x召n豆′杠=岭x蔽1俭+剩x痒2帽+评…牢+佩x撞n枣=胖∑具X商R贷y振′济=动y瑞1眯′广+恒y炼2权′精+哪…趴+街y晌n牧′竞=呼y右1值+括y烈2遮+列…铁+于y位n返=饱∑圾Y魂式中待x疏i余′遣、爷y我i啦′句和帜x晕i钩、帆y垒i针分别是力摆F轿i防′新和踢F申i器在坐标约轴爪x莲和词y热轴上的投京影。由于南F怎i炭′诚和叙F更i遵大小相等册、方向相音同，所以货它们在同响一轴上的粱投影相等岩。手主矢阅R迹′雕的大小和旱方向为败牲恨（院3芝－倾2史）也叫泻裙袍葵间（乞3法－浸3施）衰为搜R贺′姥与依x衡轴所夹的割锐角，圾R辅′收的指向纽由询∑沾X邪和渗∑京Y扣的正负号傲确定。狼由力偶系姐合成的理傅论知，净m案1良，花m百2停，蚁…枝，旁m阁n虚可合成为稼一个力偶乔（如政图家3次－罚1顾（份c缎）），并风称为原力都系对简化蠢中永心增O致的主矩，线即去卸凝（形3意－声4猜）荒综上所述灶，得到如伯下结论：酬平面一般烂力系向作建用面内任极一点简化色的结果，杯是一个力傅和一个力偏偶。这个厘力作用在唱简化中心传，它的矢帮量称为原摘力系的主巨矢，并等陪于原力系子中各力的推矢量和；捷这个力偶片的力偶矩女称为原力痛系对简化猴中心的主旷矩，并等忧于原力系副各力对简惩化中心的老力矩的代啦数和。驱应当注意畏，作用于宇简化中心座的力禽R郑′爆一般并不解是原力系被的合力，研力偶矩为阅M逼O愈′妻也不是原五力系的合岔力偶，只乌有柿R纸′票与踪M波O有′符两者相结臭合才与原饮力系等放效。刘由于主矢称等于原力它系各力的祖矢量和，资因此讽主矢闹R猴的大小和聪方向与简舟化中心的埋位置无关勺。而主矩饥等于原力柿系各力对铲简化中心觉的力矩的拆代数和，竹取不同的李点作为简糊化中心，跑各力的力代臂都要发胸生变化，验则各力对圾简化中心卫的力矩也投会改变，逗因而，主麻矩一般随顽着简化中稻心的位置移不同而改零变面。焰3.2.转3绪平面任意抽力系简化危的结果赏（尖1墓）若岭R州′布=软0扎，龄M贝O只′宽≠坑0去，说明原疗力系与一泛个力偶等台效，而这俩个力偶的少力偶矩就宪是主矩。向（脸2外）若灾R得′戴≠篇0球，籍M矩O锄′哄=兼0途，则作用摧于简化中己心的力埋R挨′佩就是原力太系的合力汤，作用线叠通过简化倚中心。享（肯3活）若示R绝′帮≠少0纲，六M晚O唱′粗≠点0粥，这时根桨据力的平扯移定理的姨逆过程，倚可以进一咸步合成为短合力翻R举，如屠图亲3喜－乒2抹所示。驾将力偶矩喜为虫M法O蹈′野的力偶用顾两个反向错平行力西R衬、介R样〞表示，么并使县R种′湖和帜R言〞等值、岗共线，使携它们构成江一平衡力集图酷3星－筝2认（峰b输），为保督持清M腰O梅′编不变，只达要取力臂爬d壳为醋将饲R四〞和楚R肥′因这一平衡其力系去掉泻，这样就世只剩下漠R系力与原力糟系等效（乘图盼3递－位2扫（夺c猪））。合骆力蹈R每在稀O啄点的哪一听侧，由贡R忽对挨O腥点的矩的浩转向应与夸主晒矩默M腾O拘′墓的转向相超一致来确势定。片（桐4衫）猎R新′鼠=脑0暮，支M殃O梅′忠=必0廉，此时力摊系处于平是衡状态。瑞3.戒3很合力投影如定理、合良力矩定理胀合力投影就定理：县合力在任吵一坐标轴咽上的投影桐等于各分两力在同一抵坐标轴上霜投影的代这数和。盐由上面分鉴析可知，军当立R米′真≠容0用，让M淘O鞭′丧≠丈0胁时，还可典进一步简检化为一合挤力羊R匪，见替图太4湾－眯6弯，合力阻对衫O候点的矩是而所以里由于简化杜中辣心爱O桃是任意选沫取的，故木上式有普熔遍的意义经。于是可役得到平面驰力系的合蜂力矩定理粱。孟平面一般趴力系的合余力对作用里面内任一失点之矩等森于力系中抢各力对同址一点之矩欺的代数和睡。极例毛3-鸽1毫、达2追、缸3迁3.身4湿平面任意抱力系的平欢衡条件边3.4.铁1案平面任意膝力系的平贤衡条件与赢平衡方程丘平面任意蔽力系平衡逆方程的基托本形式芬∑阔F溪X碎=0贿∑梯F伐Y羞=0粉∑笨M鸽o洒（唐F座）县=0抖3.4.吴2苍平衡方程疯的其它形果式尼1谱．二力矩父形式的平耻衡方程吩在力系作脆用面内任相取两饼点拿A翅、做B逃及龙X饲轴，如俩图誉3束－高5闹所示，可取以证明平匙面一般力税系的平衡怨方程可改篮写成两个剪力矩方程办和一个投桐影方程的垫形式，即狭萄弟痰(轿3帐－也6)熄式猾中猛X胸轴不暴与鸟A予、植B袋两点的连墨线垂直舒。家证明：首局先将平面墓一般力系欧向蜻A丝点简化，疲一般可得递到麻过女A急点的一个致力和一个援力偶。若自成立，则寻力系只能侵简化为通驱过彻A而点的合力彻R终或成平衡泰状态。如疮果障又成立，筐说明福R克必通怀过讨B掌。可见合老力旅R钓的作用线烛必赞为矛A孔B捏连线。又喂因贿成立，则伞，即合力附R我在挨X喘轴上的投墓影为零，禾因眉A蹄B英连线不垂犁直州X言轴，合力筛R腥亦不垂直脊于衬X遭轴，由遭可推得盒。可见满鸽足方程鹅（暴3繁－顿6青）的平面药一般力系蓄，若将其笼向兆A滑点简化，无其主矩和草主矢都等泥于零，从旦而力系必拘为平衡力羽系。幻2留．三力矩按形式的平旱衡方程允在力系作宁用面内任再意取三个喜不在一直跟线上的筐点蜻A贺、伴B济、是C谨，如睛图黄3孔－韵6分所示，则闯力系的平拍衡方程可教写为三个劫力矩方程需形式，即泉焦许塞抓乏残（懒3辽－烟7枯）仍式中嘱，倾A退、栗B裤、胖C言三点不在股同一直线欢上。毙同上面讨牵论一样，蔑若绢和女成立，则团力系合成狠结果只能坑是通沈过懂A怕、应B跨两点的一直个力（劈图叹3捧－惠6窗）或者平隙衡。如果获也成立，好则合力必远然通冈过喜C幕点，而一蝶个力不可侵能同时通桑过不在一岭直线上的嫂三点，除征非合力为际零，号才能成立胀。因此，粉力系必然廊是平衡力董系。顷综上所述禾，平面一薯般力系共趣有三种不摄同形式的猪平衡方程土，即式半（阵3罢－淋5动）、式他（窗3稀－糠6枯）、式灭（蜂3艘－无7寿），在解火题时可以通根据具体兼情况选取外某一种形私式。无论纠采用哪种插形式，都潜只能写出肥三个独立恋的平衡方哑程，求解剑三个未知总数。任何园第四个方霸程都不是至独立的，痛但可以利户用这个方愉程来校核渐计算的结乳果。艺【员例墓3膛－睁7辆】呀前边某屋架如祥图搜3椒－腰7具（性a接）所示，终设左屋架亿及盖瓦共教重寄，右屋架庄受到风力暖及荷载作假用，其合冰力宫，雄与谷B恭C绪夹角为尤，试剪求岗A滥、杯B漏支座的反搅力。咽【解矛】指格取整个屋呼架为研究宵对象，画流其受力图箱，并选取佣坐标鸟轴除X机轴金和乡Y玉轴，如醉图魂3急－申7植（困b红）所示，多列出三个穿平衡方程校核慕说明计算龙无误。垮【躲例阴3驳－兽8挎】同器藏梁沙A惨C售用三根支漆座链杆连追接，受一滥力圆作用，如递图绪3咽－挨8桨（登a盼）所示。拢不计梁及换链杆的自另重，试求素每根支座茄链杆的反极力。档【解刑】彻厕取耳A污C体梁为研究膜对象，画硬其受力图猜，如府图盆3田－栏8忆（与b她）所示。朝列平衡方亲程时，为歌避免解联冷立方程组缠，最好所雀列的方程钞中只有一碎个未知力弟，因此，次取隙和碗的交各点衔O丑１外为矩洋心列平衡泡方程本取折与您的交蛋点植O根2隆为矩心列疫平衡方程取校核勿说明计算极无误。宣3.4.害3般心平面任意悬力系的特迫殊形式明（始1劣）平面汇妙交力系绘对于平面妈汇交力系扭，可取力泥系的汇交捧点作为坐仰标的原点玻，酬图盖3诉－护9(a称)夫所示，因亏各力的作命用线均通龄过坐标原拉点桂o坑，各力阀对伐o警点的矩必栗为零，即漫恒有肢。因此，翻只剩下两宾个投影方唇程镜即为平面稻汇交力系幅的平衡方残程。勤（撕2凤）平面力丢偶系朋平面力偶犁系如赠图奉3侮－先9(b选)著所示，因粥构成力偶由的两个力箩在任何轴症上的投影徐必为零，通则恒有渴和凤，只剩下残第三个力丸矩方程，误但因为力引偶对某点脚的矩等于企力偶矩，谣则力矩方她程可改写替为您即平面力萍偶系的平织衡方程。奥（肌3钱）平面平伶行力系贩平面平行证力系是指棒其各力作权用线在同报一平面上茧并相互平固行的力系悲，如结图耐3过－路9跨（Ｃ）所阔示，熄选叛O周Y典轴与力系批中的各力回平行，则愈各力锅在广X芝轴上的投欣影恒为零怖，则平衡私方程只剩劣下两个独帮立的方程咽来尸（错3墓－惊8装）皂若采用二教力矩式难（悠4眯－饶6舍），可得概段禁（拉3借－务9斩）忙式链中棍A阅、伸B野两点的连贵线不与各贪力作用线谣平行。旺平面平行刻力系只有幻两个独立赴的平衡方偿程，只能欧求解两个串未知量。恭【故例搅3纠－贫9歌】打坏哗图宜3什－捡1横0邪所示为塔渔式起重机增。已知轨妈距吴，机身重踪，其作用使线到右轨枯的距离拦，起重机逝平衡重梳，其作用较线到左轨祸的距离名，荷载斧P制的作用线懒到右轨的信距离景，磁（赔1铃）试证明些空载时（久时）起重前机时否会歇向左倾倒确？波（杂2岩）求出起按重机不向标右倾倒的沙最大荷载侧P界。信【解只】随厕以起重机搏为研究对临象，作用贼于起重机双上的力有拌主动狼力道G气、笛P水、睡Q婚及约束力萝和俱，它们组陆成一个平薄行力系（瓦图叶3察－裳1陕0挑）。扣使起重机蜻不向左倒虹的条件是和，当空载私时，取规，列平衡竹方程趣所以起重及机不会向淡左倾倒游使起重机搂不向右倾蔑倒的条件扣是局，列平衡水方程愁欲使茂，则需竿当荷载指时，起重冠机是稳定序的。絮3.4.圈4辈宿解题一般叨步骤及注厅意点惊⑴溉找听选取研究今对象。根流据题意选遣取与已知莲力和未知蒜力有关的伙物体作为号研究对象础，并画出永简图。诞⑵座受力分条析，画出扶受力图。控在研究