偏心压缩与截面核心

13.4偏心压缩与截面核心13.4偏心压缩与截面核心13.4偏心压缩与截面核心【引言】作用在杆件上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，杆件就受到偏心压缩（或拉伸）。偏心压拉是轴向压缩（拉伸）与弯曲的组合变形，可以分为单向偏心与双向偏心，是工程实际中常见的组合变形（右图所示为单向偏心）。现以矩形截面梁（柱）为例说明其应力分析的方法。13.4偏心压缩与截面核心一、单向偏心压缩（拉伸）当偏心力F通过截面一根形心主轴时，则称为单向偏心压缩。如图所示矩形截面杆，压力F作用在y轴上的E点处，E点到形心O的距离e称为偏心距。13.4偏心压缩与截面核心1.荷载简化和内力计算首先将偏心力F向截面形心平移，得到一个通过形心的轴向压力F和一个力偶矩为Fe的力偶。运用截面法可求得任意横截面上的内力为：轴力：FN

=F，（压力）

弯矩：Mz=Fe。13.4偏心压缩与截面核心2．应力计算和强度条件偏心受压杆截面中任意一点处的应力,可以由两种基本变形各自在该点产生的应力叠加求得轴向压缩时，截面上各点处的应力均相同，其值为平面弯曲时，截面上任意点处的应力为13.4偏心压缩与截面核心截面上各点处的总应力为=

/+//

即：式中：A为横截面面积；Iz为截面对z轴的惯性矩；y为所求点的坐标13.4偏心压缩与截面核心应用式（13－8）计算正应力时，F、Mz、y都可用绝对值代入，式中弯曲正应力的正负号可由观察变形情况来判定。当点处于弯曲变形的受压区时取负号；处于受拉区时取正号。截面上最大正应力和最小正应力（即最大压应力）分别发生在BC边缘及AD边缘上的各点处，其值为13.4偏心压缩与截面核心由于截面上各点均处于单向应力状态，故强度条件为13.4偏心压缩与截面核心3.对结论的讨论当偏心受压柱是矩形截面时，A

=bh，Wz=bh2/6，Mz=Fe，将各值代入式（13－9）得13.4偏心压缩与截面核心边缘B－C上的正应力σmax的正负号，由上式中的符号决定，可能出现三种情况：13.4偏心压缩与截面核心当e＜h/6时，σmax为压应力。截面全部受压，如图所示。当e=h/6时，σmax为零。截面上应力分布如图所示，整个截面受压，而边缘B-C正应力恰好为零。当e＞h/6时，σmax为拉应力。截面部分受拉，部分受压。应力分布如图所示。可见，截面上应力分布情况随偏心距e而变化，与偏心力F的大小无关。当偏心距e＞h/6时，截面上出现受拉区；当偏心距e≤h/6时，截面全部受压。13.4偏心压缩与截面核心二、双向偏心压缩（拉伸）当偏心压力F的作用线与柱轴线平行，但不通过截面任一形心主轴时，称为双向偏心压缩，如图所示。13.4偏心压缩与截面核心1.荷载简化和内力计算设压力F至z轴的偏心距为ey，到y轴的偏心距为ez。先将压力F平移到z轴上，产生附加力偶矩Mz=Fey，再将力F从z轴上平移到截面的形心，又产生附加力偶矩My=Fez。偏心力经过两次平移后，得到轴向压力F和两个力偶Mz、My，可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。13.4偏心压缩与截面核心由截面法可求得任一横截面上的内力为：轴向压力：FN

=F；F对z轴的力偶矩引起对z轴的弯矩：Mz=Fey；F对y轴的力偶矩引起对y轴的弯矩：My=

Fez。13.4偏心压缩与截面核心2.应力计算和强度条件横截面上任一点（y、z）处的应力为应为三部分应力的叠加轴向压力F引起的应力为Mz引起的应力为My引起的应力为13.4偏心压缩与截面核心叠加以上结果可得截面上任一点处的应力为即：弯矩引起的应力//及///的正负，仍然可根据及的转向和所求点的位置决定。截面上应力的正负情况如图所示。13.4偏心压缩与截面核心最大正应力在A点处，最小正应力在C点处，其值为由于危险点A、C都处于单向应力状态，所以强度条件为13.4偏心压缩与截面核心比较可知，前面分析单向偏心受压所得的公式（13－9）、（13－10）式实际上是（13－13）及（13－14）式的特殊情况：压力作用在端截面的一根形心主轴上，其中一个偏心距为零。13.4偏心压缩与截面核心例13-4

如图所示矩形截面柱，柱顶有屋架传来的压力F1=100kN，牛腿上承受吊车梁传来的压力F2=30kN与柱轴有一偏心距e

=0.2m。现已知柱宽b

=180mm，试问截面高度h为多大时才不会使截面上产生拉应力？在所选h尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少？13.4偏心压缩与截面核心解：将作用力向截面形心O简化，得轴向力F=F1+F2=130kN对z轴的力偶矩Mz=F2e

=30kN×0.2m=6kN·m要使截面上不产生拉应力，应满足：即：解得：h≥0.28m，此时截面中的最大压应力为13.4偏心压缩与截面核心例13-5

挡土墙的横截面形状和尺寸如图如示，C点为其形心。土壤对墙的侧压力每米长为F=30kN，作用在离底面h/3处，方向水平向左。挡土墙材料的密度ρ为2.3×103kg/m3。试画出基础面m-n上的应力分布图。13.4偏心压缩与截面核心解：（1）内力计算。挡土墙很长，且是等截面的，通常取1m长度来计算。每1m长墙自重为土壤侧压力为：F=30kN用截面法求得基础面的内力为：轴力：FN=G=103.5kN

13.4偏心压缩与截面核心（2）应力计算基础底面的面积A=b2×1m=2m×1m=2m2=2×106mm2抗弯截面系数

基础面m-m边上的应力为n-n边上的应力为。基础面应力分布如图所示。13.4偏心压缩与截面核心三、截面核心1．截面核心的概念在前面的研究中，我们知道，偏心受压杆件截面中是否出现拉应力与偏心距的大小有关。当外力作用在截面形心附近的某一个区域内时，可以实现使中性轴在横截面边缘以外，杆件整个截面上正应力全部为压应力而不出现拉应力，则形心附近的这个外力作用区域称为截面核心。土建工程中大量使用的砖、石、混凝土材料，其抗拉能力远低于抗压能力，主要用作承压构件。这类构件在偏心压力作用下，应力求使全截面上只出现压应力而不出现拉应力，为此，就需将外力F作用点控制在截面核心内。13.4偏心压缩与截面核心2．截面核心的确定我们知道，中性轴将截面分为两个区域：一边是拉应力区，一边是压应力区。倘若中性轴位置正好与截面的轮廓线相重合，则截面全部处在中性轴一边，整个截面上只有一种符号的应力。据此，可用以确定的核心的位置。若设中性轴上点的坐标为y0、z0，由偏心受压时截面上任意点处的应力计算式：所以有13.4偏心压缩与截面核心在上式中，ey、y0（ez、z0）同号时，应力为负，所以中性轴与偏心距一定处于形心的两侧，而且中性轴的位置与外力大小无关，只与力作用点的位置及截面形状、尺寸有关。因此有由此得中性轴方程式（13－15）是一个直线的截距式方程，表明中性轴是一根不通过形心的直线。在形心主轴z及y上的截距分别为13.4偏心压缩与截面核心中性轴在形心主轴z及y上的截距分别为如果让中性轴与截面的某条轮廓线相重合，使截面内只产生一种符号的应力，由（13－16）式可以确定此时外力作用点的位置（即偏心距）为13.4偏心压缩与截面核心再让中性轴与截面各条轮廓线一一重合，便可得到截面上只产生一种符号的应力时外力作用点的轨迹，即截面核心的轮廓。例13-6求如图所示矩形截面的截面核心。13.4偏心压缩与截面核心解：（1）计算有关参数（2）将AB

边作为中性轴I-I

，从图中可得，其截距为

13.4偏心压缩与截面核心代入（13-17）式，得到力的作用点1的坐标为：从而可在截面上定出点1位置13.4偏心压缩与截面核心再以AD边作为中性轴II-II，其截距为代入(13－17)式，得到力作用点2的坐标：类似地以CD、BC为中性轴,可分别得3、4点坐标。

13.4偏心压缩与截面核心中性轴由Ⅰ-Ⅰ绕A点顺时针旋转到时Ⅱ-Ⅱ，力的作用点将沿直线从1点移到2点。这可以从中性轴方程（13－15）式看出：当中性轴绕A点旋转时，各条中性轴上都含A点坐标（y0=yA，z0=zA），将它代入（13－16）式，得到力作用点的变化规律为式中yA、zA为不变量，所以ey与ez间成线性关系。因此，将前面所得各点间依次联成直线，便得整个截面