2023年高考数学一轮复习习题：第二章第7节　函数的图象

第7节函数的图象考纲要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象eq\o(→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up13(纵坐标不变),\s\do13(各点横坐标变为原来的\f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up13(横坐标不变),\s\do13(各点纵坐标变为原来的A(A>0)倍))y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up13(x轴下方部分翻折到上方),\s\do13(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up13(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\do13(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象.1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.()(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.2.下列图象是函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是()答案C解析其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.3.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()答案B解析依题意知，在2h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)在[－π，π]的图象大致为()答案D解析∵f(－x)＝eq\f(sin（－x）－x,cos（－x）＋（－x）2)＝－f(x)，且x∈[－π，π]，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝eq\f(π,－1＋π2)>0，排除B，C，只有D满足.5.(2021·昆明质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为()A.y＝f(|x|) B.y＝f(－|x|) C.y＝|f(x)| D.y＝－|f(x)|答案B解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|).6.(2020·兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logeq\r(2)f(x)的定义域是________.答案(2，8]解析当f(x)>0时，函数g(x)＝logeq\r(2)f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].考点一作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)图象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的图象，如图①实线部分.(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.感悟升华1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】分别作出下列函数的图象：(1)y＝sin|x|；(2)y＝eq\f(2x－1,x－1).解(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.(2)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②所示.考点二函数图象的辨识1.(2020·浙江卷)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]的图象大致为()答案A解析因为f(x)＝xcosx＋sinx，则f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，又x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则C，D错误.且x＝π时，y＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，知B错误；只有A满足.2.(2021·成都诊断)函数f(x)＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))的图象大致为()答案A解析根据题意，f(x)＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝xsinx，定义域为R，关于原点对称.有f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，即函数y＝f(x)为偶函数，排除B，D.当x∈(0，π)时，x>0，sinx>0，有f(x)>0，排除C.只有A适合.3.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,log\s\do9(\f(1,3))x，x>1，))则函数y＝f(1－x)的大致图象是()答案D解析法一先画出函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,log\s\do9(\f(1,3))x，x>1))的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(31－x，x≥0，,log\s\do9(\f(1,3))（1－x），x<0，))故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.4.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A.f(x)＝x＋sinx B.f(x)＝eq\f(cosx,x)C.f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2))) D.f(x)＝xcosx答案D解析从图象看，y＝f(x)应为奇函数，排除C；又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，知f(x)＝x＋sinx不正确；对于B，f(x)＝eq\f(cosx,x)，得f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，当0<x<eq\f(π,2)时，f′(x)<0，所以f(x)＝eq\f(cosx,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上递减，B不正确；只有f(x)＝xcosx满足图象的特征.感悟升华1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质【例2】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.角度2函数图象在不等式中的应用【例3】(1)若函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则eq\f(f（a）,a)，eq\f(f（b）,b)，eq\f(f（c）,c)的大小关系是()A.eq\f(f（a）,a)>eq\f(f（b）,b)>eq\f(f（c）,c) B.eq\f(f（c）,c)>eq\f(f（b）,b)>eq\f(f（a）,a)C.eq\f(f（b）,b)>eq\f(f（a）,a)>eq\f(f（c）,c) D.eq\f(f（a）,a)>eq\f(f（c）,c)>eq\f(f（b）,b)(2)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是()A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案(1)B(2)D解析(1)由题意可得，eq\f(f（a）,a)，eq\f(f（b）,b)，eq\f(f（c）,c)分别看作函数f(x)＝log2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率.结合图象可知，当a>b>c>0时，eq\f(f（a）,a)<eq\f(f（b）,b)<eq\f(f（c）,c).(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.角度3求参数的取值范围【例4】(1)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,（x－1）3，x<2.))若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.(2)(2020·唐山月考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________.答案(1)(0，1)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析(1)画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0，1).(2)先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与射线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为eq\f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).感悟升华1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练2】(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)(2021·合肥调研)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为________.(3)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.答案(1)[－1，＋∞)(2)(－2，－1)∪(1，2)(3)5解析(1)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞).(2)∵xf(x)<0，∴x和f(x)异号，由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0，当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2).(3)方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq\f(1,2)或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.一、根据函数图象确定函数解析式【例1】(2021·长沙雅礼中学检测)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的是()A.y＝sin(ex＋e－x) B.y＝sin(ex－e－x)C.y＝cos(ex－e－x) D.y＝cos(ex＋e－x)答案D解析由函数图象知，函数图象关于y轴对称，∵y＝sin(ex－e－x)为奇函数，图象关于原点对称，B不正确；又－1<f(0)<0，但sin2>0，cos0＝1，故A，C不正确；只有y＝cos(ex＋e－x)满足图象特征.故选D.素养升华函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.二、由图象特征研究函数性质求参数【例2】设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4，))若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(－∞，1] B.[1，4]C.[4，＋∞) D.(－∞，1]∪[4，＋∞)答案D解析作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.素养升华1.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.2.图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.A级基础巩固一、选择题1.(2020·天津卷)函数y＝eq\f(4x,x2＋1)的图象大致为()答案A解析令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝eq\f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，因此，函数为奇函数，排除C，D.当x＝1时，f(1)＝eq\f(4,2)＝2>0，排除B.故选A.2.(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6，6]的图象大致为()答案B解析因为y＝f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)，x∈[－6，6]，所以f(－x)＝eq\f(2（－x）3,2－x＋2x)＝－eq\f(2x3,2－x＋2x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项C.当x＝4时，y＝eq\f(2×43,24＋2－4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))∈(7，8)，排除A，D项，B正确.3.(2021·西安调研)函数y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的图象大致为()答案D解析当x>0时，|x|＝x，此时y＝ax(0<a<1)；当x<0时，|x|＝－x，此时y＝－ax(0<a<1).则函数y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的大致图象如图所示.4.下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x) C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)答案B解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x).法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.5.(2020·豫北名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝3－2x，则不等式f(x)>0的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))答案C解析根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝3－2x，可得其图象如图，且f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝0，则不等式f(x)>0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).6.若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,ln（x＋a），x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)＝()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(5,4) C.－1 D.－2答案C解析由图象知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（a－1）＝0，,b－a＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5.))∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,ln（x＋2），x≥－1.))故f(－3)＝5－6＝－1.7.函数y＝2|x|·sin2x的图象可能是()答案D解析设f(x)＝2|x|sin2x，其定义域为R，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除A，B.令f(x)＝0，得sin2x＝0，∴2x＝kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，排除C，D正确.8.若函数y＝f(x)的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是()A.y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2))) B.y＝f(2x－1)C.y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(1,2))) D.y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))答案B解析函数f(x)的图象先整体往右平移1个单位，得到y＝f(x－1)的图象，再将所有点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)，得到y＝f(2x－1)的图象.二、填空题9.若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________.答案(3，1)解析由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).10.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.答案－eq\f(1,2)解析函数y＝|x－a|－1的大致图象如图所示，∴若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，只需2a＝－1，可得a＝－eq\f(1,2).11.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________.答案(－1，0)解析在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0).12.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________.答案1解析由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0).又y＝f(x)在R上单调递减，∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).依题意，得t＝1.B级能力提升13.若直角坐标系内A，B两点满足：(1