第07讲平面几何一些重要定理（原卷版）

第07讲平面几何一些重要定理【考点预测】1、梅涅劳斯（Menelaus）定理【定理1】设分别是△的边或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，则三点共线的充要条件是．（*）2、塞瓦（Ceva）定理【定理2】设分别是△的边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延长线上，则三线共点或互相平行的充要条件是．3、托勒密（Ptolemy）定理【定理3】设四边形内接于一圆，则．4、斯特瓦尔特（Stewart）定理【定理4】设是△的边上的一点，则．5、西姆松（Simsson）定理【定理5】在凸四边形中，若分别是点在的边边或其延长线上的射影，则三点共线的充要条件是四边形内接于一圆．【典例例题】例1．（2021·全国·高三竞赛）在锐角中，D为边上一定点，P为边上一动点，直线交于点Q，交于点X．、、的三个外接圆分别交于X外的另三点、、，过、、分别作垂线、、，证明：、、均过定点．例2．（2021·全国·高三竞赛）点P为椭圆外一点，过P作椭圆两条切线、，切点分别为A、B，连结，点M、N分别为、中点，连结并延长交椭圆于点C，连结交椭圆于另一点D，连结并延长交于Q，证明：Q为的中点．例3．（2019·全国·高三竞赛）在中，，是的中点，以为圆心的圆分别切、于点、，在的上任取一点，过作圆的切线分别交、于点、，联结交于点．求证：．例4．（2019·全国·高三竞赛）是的内切圆，、、是边、、上的切点，、、都是的直径.求证：、、三线共点.例5．（2019·全国·高三竞赛）如图，△ABC的内切圆分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F，AD与BE交于点P，设点P关于直线EF、FD、DE的对称点分别X、Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点.例6．（2018·全国·高三竞赛）如图，点、是的外接圆上（异于、、）的两点，点关于直线、、的对称点分别是、、，连线、、分别与直线、、交于点、、．求证：（1）、、三点共线；（2）、、三点共线．例7．证明：存在唯一圆，与内切、与外切，并且与内切于点A．例8．设圆与、的切点分别为P、Q．如果，求证：．例9．（2018·全国·高三竞赛）已知正实数、、满足．证明：对任意正实数、、，有．【过关测试】1．（2022·江苏苏州·高二统考竞赛）如图，是的内心，的外角平分线交于点，直线交外接圆于点，直线与直线交点为，证明：.2．（2018·全国·高三竞赛）在正的平面内有任一点（不在的三条高线所在直线上），点关于直线、、的对称点为，、.证明：的外心在一条直线上.3．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰中，，设点D是边上一点，点E是线段的中点，延长与底边交于点F，证明：若，求证：.4．（2021·全国·高三竞赛）如图，、为圆的两切线，为圆的一条割线，为切点连线，D为过C、B关于圆的切线的交点，证明：D、E、F共线．5．（2006·江苏·高三竞赛）已知四边形ABCD是圆内接四边形，直线AC、BD相交于点P，并且.设E为AC的中点.求证：.6．（2005·河南·高一竞赛）为内接三角形，.点在劣弧上，从点分别作、的垂线交于点、，射线、交于点.若，求证：.7．（2018·全国·高三竞赛）如图，已知△ABC内切圆分别与边AB、BC、AC切于点F、D、Q，直线AD、CF分别与交于另一点H、K,证明：.8．（2019·全国·高三竞赛）如图，内接于圆，是劣弧的中点，圆与圆切于点，与边切于点.过点作圆的切线，切点为.证明：.9．（2018·全国·高三竞赛）如图，凸四边形的两组对边的延长线分别交于点，设分别为的外心．求证：∽，∽，∽，∽．10．（2018·全国·高三竞赛）如图，四边形ABCD内接于圆，E是弧上的任意一点，点D关于边BC、CA、AB的对称点分别为，联结，分别交BC、CA、AB所在直线于点．证明：(1)三点共线；(2)，三点共线．11．（2019·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD的顶点D在直线AB、BC、CA上的射影分别为P、Q、R，且∠ABC与∠ADC的角平分线交于点E.求证：点E在AC上的充要条件是PR=QR.12．（2012·江