有关多种群的数学模型

自然界的多种群模型分析摘要：在我们生活的大自然中，有着太多太多的秩序和规则。种群之间的你争我斗，弱肉强食也是非常激烈。种群，顾名思义就是指同一种生物的一个集合。不同种群之间的关系大致分为四种：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系和寄生与寄主关系。我们这次的建模就是围绕着种群之间的关系来展开的，下面我将从这几个方面来进行分类讨论，由于寄生与寄主的关系不是很常见，关系也比较简单，在此便不再赘述。捕食与被捕食关系：这种关系很简单，大家也能很容易地理解，通俗地解释，就是指一种生物以另一种生物为食，举个例子大家也许会更容易地理解。比如说狼和羊的关系，狼是捕食者，羊是被捕食者，狼以羊为食，是羊的天敌。互利共生关系：指两种生物共同生活在一个区域有助于提高另一种生物的种群密度，假如其中一种生物的数量减少，也会影响另一种生物的数量，使其数量减少。比如草地和森林优势植物的根多与真菌共生形成菌根，多数有花植物依赖昆虫传粉，大部分动物的消化道也包含着微生物群落，最典型的就是大豆与根瘤菌。大豆给根瘤菌提供养分，根瘤菌给大豆提供氮元素。相互竞争关系：有种内和种间两种竞争方式。这里是指两种共居一起，为争夺有限的营养、空间和其他共同需要而发生斗争的种间关系。竞争的结果，或对竞争双方都有抑制作用，大多数的情况是对一方有利，另一方被淘汰，一方替代另一方。举个例子，牛和羊生活在共同的一片草地上，因为这两种生物都以草为食，它们之间不存在其他关系，所以它们之间是竞争关系。以上就是三种种群之间的关系，下面我们就从这三个方面对物种种群密度的变化进行分析。在以下的讨论中我们将建立微分方程的数学模型，对生物多种群之间各种关系进行关键词：生物种群，数量，关系，互相作用，竞争问题重述：生物学的研究对维持地球生态平衡有着不可替代的作用，是可持续发展的重要组成部分！地球上的物种一直只在减少，现在也有很多物种濒临灭绝，因此对

生物学的研究是十分迫切的，也是意义重大的！我们可以通过建立数学模型来来研究生物种群的数量变化规律!多种群模型研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群数量的变化规律。在自然界中，各种生物根据其生理特点、食物来源等分成了不同的层次，各层次之间及同一层次上的种群有着各种各样的联系。而且在同一自然环境中，经常有多种生物共存，对相互影响非常大的生物种群，我们无法割裂开来单独讨论，，故必须弄清楚它们之间的相互关系，一起进行研究，这就导出了多种群的模型！在多种群模型中两种群是比较简单但也十分重要的！本论文将通过建立数学模型来研究两物种之间的竞争、互利共生、捕食这三种关系！从而来解释为什么在战争期间捕鱼的总数减少而掠肉鱼的比例却会上升这一现象！最后将推广到三种群的模型，研究更复杂的问题！符号说明:t:时间x:甲物种种群数量 y：乙物种种群数量f(X):甲种群的发展规律所导出的自身的相对增长率1g2(y):乙种群的发展规律所导出的自身的相对增长率gg1(y):表示乙种群对甲种群的影响%:甲种群的内禀增长率匕：乙种群对甲种群的影响基本假设：f2(x):表示甲种群对乙种群的影响a2:乙种群的内禀增长率c2:甲种群对乙种群的影响1因为种群的基数很大，所以一个种群的数量变化可以视为时间t的连续变换，而非离散的；2其中一个任一种群，在单独，不受其他种群影响的条件下是满足logistic模型的；3外界环境是很美好的，各研究对象除受彼此影响外，是不受自然环境约束的；4假设种群关于种内和种间关系的函数是线性的，这是伏特拉模型的基础；5在竞争关系中，甲种群消耗同种自然资源会对乙种群有阻滞作用；6在捕食关系中，捕食者只以被捕食者为食，被捕食者灭绝后，捕食者将无法单独存活；问题分析：在自然界中，种群之间的竞争是必不可少的，那么种群之间的关系是怎样的呢？现在就来分析一下。对于捕食与被捕食关系，当然是捕食者会不停地捕食被捕食者，直到将被

捕食者全部捕食完。但是，被捕食者一旦灭绝，捕食者也会因为没有食物来源而灭绝。对于竞争关系，因为这两个种群的食物来源是相同的，它们会竞争同一种食物或是生存条件。当然，弱的一方也就会因为失去生存的条件而灭绝，而生存下来的一方不但不会因为一方的灭绝而灭绝，其种群数量还会越来越多。对于互利共生关系，两种群生活在一起，可以互相为之提供必需的生存资源，所以其二者的种群数量会一直保持在一个稳定的状态，不会迅猛的增长，也不会突然地灭绝。模型建立：多种群模型是研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群数量的变化规律的模型。在同一自然环境中，多种生物之间是有密切的关系的。大致可分为这几种关系：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系，当然我们在摘要中也曾提到过。我们小组首先两种群模型进行建模，再以此为基础对多种群模型进行更加深入的探讨。设t时刻，甲乙两种群的数量为x(t)，y(t)。甲乙两种群相对于自身的增长率为1互和1空xdtydt由于之前已经假设单个种群的增长只与另一个种群有关，不存在任何的客观环境条件来阻碍该种群的数量增长。下面我们给出甲乙两种群的增长模型：1dx_了=f1(*)+g1(y)1dy~~^=f2(x)+g2(y)其中f1(x)和g2(y)分别表示甲乙两种群各自的发展规律所导出的自身的相对增种群对这一种群的影响，这四个函数需要根据g2(y种群对这一种群的影响，这四个函数需要根据g2(y尸假设：f(x)=adx—=(a+cy)xdy—=(a+cx)y这是根据假设建立的两种群关系的微分方程模型其中a1这是根据假设建立的两种群关系的微分方程模型其中a1a2是甲乙种群的内禀增长率，由食物来源决定；C1，c2反映的是两种群的相互作用。下面我们将根据所建立的模型讨论捕食关系的两种群。捕食关系的两种群设：甲种群为兔子X⑴，乙种群为狼y。）。根据假设，狼只以兔子为食，兔子灭绝后，狼将无法生存。所以有：％>0a<所以有：％>0a<0我们令：兔子对狼的增长有促进作用：c2>00.02所以模型变为:dx——x(1-0.1y)dtdy—=y(-0.5+0.02x)dt下面我们编写程序，检验模型的正确性。子程序：functiondx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-0.6+0.01*x(1))主程序：ts=0:0.1:20;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),结果显示:结果分析：由显示的图形结果可知：兔子和狼的数量是周期性的震荡模型，一方面，兔子数量的增长促进了下一时间狼的数量的增长，而狼的增长反过来又使得下一时间段的兔子数量减少。呈现出周期的震荡，这与捕食关系的特点是大致符合的。但是现实生活中，兔子和狼的数量并不会一直是震荡的，它们最后都将趋于一个稳定的状态所以这个模型有待改进！模型的改进：在上述的模型中，我们只讨论了自禀增长和种群间的影响。却忽略了种群自身竞争关系的影响。现实生活中，一个种群的发展也是会受到自身数量的影响的，主要表现为种内竞争。以兔子为例，兔子的数量越多，内部竞争往往更激烈，然后会对兔子的数量增长起反作用。综合以上讨论，我们在前面的模型中加入了-bix，—七丫项。模型变换为：dx—=x(a-bx+c_y)dy—=y(a-by+cx)然后对改进的模型进行检验：我们令a1=1,a2=-0.5c,1=-0.cl,=0b1010.703,b2=0.02子程序functionxdot=sh(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.017;t=0.03;h=0.02;xdot=[(r-t*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d-h*x(2)+b*x(1).*x(2));]主程序：ts=0:0.1:50;x0=[25,2];[t,x]=ode45('sh',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid结果显示如下：改进后的模型结果显示:兔子和狼的增长先是大幅的震荡，但是随着时间的推移，两种群最终将趋于小幅度的平缓震荡，这与实际是吻合比改进前的模型要好，更加贴近于实际。由两种群的捕食模型，我们知道，捕食关系的两个种群是平缓的震荡的关系。竞争关系模型：我们假设，甲种群是老鼠X()，乙种群是兔子y()根据先前的假设:老鼠和兔子是竞争关系的两种群，其中一种群的增长必定会阻碍另一种群数量的增长。所以有：a>0兔子对老鼠的增长有抑制作用，所以c1<0a>0老鼠对兔子的生长有抑制作用，所以c2<0b<0 b<0竞争关系的模型是:dx—=x(a-bx-cyi)dy—=y(a-by-cx)令 'a=1,a=0.9,c=0.1,c=0.2,b=0.03,b=0.011 2 1 2 1 2编写程序：子程序：functionxdot=s(t,x)r=1;d=0.9;a=0.1;b=0.2;t=0.03;h=0.01xdot=[(r-t*x(1)-a*x(2)).*x(1);(d-h*x(2)-b*x(1).*x(2));]主程序ts=0:0.1:15;x0=[25,30];[t,x]=ode45('s',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid演示结果：

结果分析：模型结果显示，具有竞争关系的两物种（如老鼠和兔子），在资源有限的条件下，一种物种（老鼠）的兴盛，必定会使得与其竞争的另一物种（兔子）的衰弱，时间较长后，竞争力弱的种群必定走向灭亡,如图示的一条曲线最后趋于0。这与实际也是很吻合的，所以该模型也很好的解释了竞争关系的两种群关系。互利共生关系模型：具有互利共生关系的两种群会相互促进彼此的数量的增长。我们假设：所以有：甲种群为大豆x（），乙种群为根瘤菌y（）。a>0大豆为根瘤菌提供养料，促进增长七>0a>0根瘤菌为大豆提供氮素，促进增长C2>0b<0,b<012模型为：dx—=x(a-bx+cy')dy—=y(a-by+cx)模型的检验，编写程序:令初值系数为：a=1,a=0.9,c=0.1,c=0.2,b=0.03,b=0.0212 12 1 2程序如下：子程序functionxdot=shi(t,x)r=1;d=0.9;a=0.1;b=0.2;t=0.03;h=0.02xdot=[(r-t*x(1)+a*x(2)).*x(1);(d-h*x(2)+b*x(1).*x(2));]主程序ts=0:0.1:5;x0=[25,20];[t,x]=ode45('shi',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid模型演示结果:结果分析：如图形结果所示，大豆和根瘤菌起到了彼此相互促进的作用，大豆的增长促进了根瘤菌数量的增长，而根瘤菌的增长也反过来促进了大豆数量的增加。这与实际的互利共生的两物种的情况也很吻合，所以该模型是试用于具有互利共生关系两种群的。模型的推广：三个种群间相互作用规律的研究：以植物、食草动物、食肉动物为例。设植物、食草动物、食肉动物的数量分别为X(1),X⑵,X⑶。不考虑自然资源对植物的限制。得三种群数量变化率的微分方程为：dx(1)——=x(1)x(al+blx(1)+clx(2))dtdx(2) =x(2)x(a2+b2x(1)+c2x(2)+d2x(3))dtdx(3) =x⑶x(a3+c3x(2)+d3x(3))dt其中各系数为：a1=1,a2=-0.3,a3=-0.4;b1=-0.03,b2=0.05,b3=0;c1=-0.1,c2=-0.02,c3=0.06;d1=0,d2=-0.02,d3=-0.01.该微分方程没有解析解，可用Matlab求微分方程的数值解。编辑程序如下：functiondx=hc(t,x)dx=zeros(3,1);dx(1)=x(1)*(1-0.03*x(1)-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-0.3-0.02*x(2)+0.05*x(1)-0.02*x(3));dx(3)=x(3)*(-0.4-0.01*x(3)+0.06*x(2));[t,x]=ode45('hc',[015],[25102]);plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')运行后得到的图形为：

这是三种群的捕食关系图，有结果可以看出：甲种群的增长会使乙种群大量增长，具体体现在图中绿色曲线的上升，乙种群的增长也为丙种群的增长提供了契机，使得捕食乙物种的丙快速增长。但是随着时间的推移，最后三个种群必将处于平衡状态，即由图形显示的三条曲线最后基本上变成了平行线。这个结果与实际是完全吻合的，体现了这一数学模型在假设的前提下的准确性。由以上情况我们可以得出结论：我们改进的模型是正确的，并对实际有准确的反映和预测能力。由此，我们可以推出N种群的具体模型如下：dxTOC\o"1-5"\h\z—i=x(a+bx+cx+dx+ + nx)dt11 11 12 13 1ndx2=x(a+bx+cx+dx+ + nx)dt 2 2 22 21 23 2ndx出3 3 33 31 3—§=x(a+bx+cx+dx出3 3 33 31 3dx—-=x(a+bx+cx+ddtnnnnn1模型的应用:生物种群的数学模型是很有实际意义的，例如生物入侵是现今困扰全世界的难题，生物入侵者会给原生态系统的本土生物带来严重威胁，造成生态系统的不平衡。种群的数学模型可以指导我们如何应对这些问题，例如从生物的捕食关系模型中，我们知道可以引进入侵生物的天敌来进行生物防治。生物种群模型还可以指导我们进行最高效的农业生产，例如如何在有限的草场里实现最大的农业产总结与思考：不足之处：由于我们接触数学建模时间不是很长，对于论文写作的了解还不是很深入，所以难免有疏漏之处，不能做的很完善。而且我们这次做的是生物种