中科大《线性代数与解析几何》讲义1空间解析几何

第一章空间解析几何§1.1直线与平面§1.1.1直线的方程OBPAOBPl——\在向量空间中，过任意不同两点A,B可作一条直线I。对于直线l上任意点P,由于向量AP//AB,故有实数t使得A一=t-ABo于是得到等式OP=OA+1-AB (1.1)当t取遍所有实数时，等式(1.1)给出直线l上的所有点。等式(1.1)称为直线l的参数方程，非零向量A一称为直线l的方向向量，而t称为参数。设点A的坐标为(a"2,a3),A一的坐标为(**,%),点P的坐标为于是直线l的参数方程可写成坐标形式x=ai+u\t(1.2)y=a2+U21z=a3+Ugt从方程(1.2)中消去参数t,则可得到直线l的点向式方程(1.2)(1.3)x—aiy—a2 z—a3(1.3)U] U2 U3§1.1.2点到直线的距离设直线l过点A,方向向量u,P为空间中任意一点。过点P作直线l的垂线,垂足为B。于是，点P到直线l的距离TOC\o"1-5"\h\z.——. ,-p. ,-一 u-AP.luxAPl / 、|BP|= |AP|sin0 =|AP u| = . . (1.4)u-u |u|

§1.1.3两直线的位置关系向量空间中的任意两条直线11和12,它们可能共面(平行、相交、重合)或异面。设11过点&01皿,《3),方向向量U=(U1,U2,U3);12过点B(bi,&2,&3)，方向向量V=(vi,V2,V3)o两条直线的点向式方程分别为“X-aiy-a2z-a.x-biy-赤z-&3Ui U2 U3 Vi V2 V311与12共面的充分必要条件是U,v,AB共面，即uxv-aB=0 (1.5)11和12的方向向量U和V所夹的锐角或直角称为两直线11和12的夹角。设点分别在11和12上，并且直线CD与11,12都垂直，直线CD称为两直线11和12的公垂直线，公垂线段CD的长度|CD|称为两直线11和12的距离。当11和12平行时，11和12的距离就等于点B到11的距离叵料O当11和12不平行时，因为CD垂直于11和12,所以CD//UxV,CD^A一在uxV方向上的投影，i^n， luxv-A一1 (16)|CD|= |uxv| (1句§1.1.4平面的方程n

在向量空间中，过任意一点M有唯一的平面n与给定的非零向量n垂直。对于平面n上任意点P,都有M一丄n,即TOC\o"1-5"\h\zMP-n=0 (1.7)反之，满足等式(1.7)的点P一定在平面n上。等式(1.7)称为平面n的点法式方程，非零向量n称为平面n的法向量。设点M的坐标为(mi,m2,m3),n的坐标为(n"2,n3)，点P的坐标为(x,y,z),于是方程(1.7)可写成坐标形式ni(x-mi)+”2(y-m2)+«3(z-m3)=0 (1.8)将方程(1.8)展开合并，又可得平面n的一般方程Ax+By+Cz+D=0 (1.9)其中A=ni,B=«2,C=«3,D=-(mini+m2«2+m3“3)。§1.1.5点到平面的距离设平面n的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,法向量n=(A,B,C),M(xo,yo,zo)为平面n上任意一点，P(x,y,z)为空间中任意一点。过点P作平面n的垂线，垂足为Q。点P到平面n的距离iQj-pl=ln.MP1=|A(x—xo)+B(y—yo)+C(z—zo)|屋I——国—— ,A2+B2+C因为点Q在平面n上，所以Axo+Byo+Czo+D=0,由此得(1.10)\Qp\=|Ax+By+Cz+D|

1 ,A2+B2+C2(1.10)§1.1.6两平面的位置关系向量空间中的任意两个平面ni和旳，它们可能平行、相交或重合。

设两平面的一般方程分别为:Aix+Biy+ + =0,n:A2x+B2y+C2z+D=0ni的法向量ni=(Ai,Bi,Ci)和旳的法向量攻=(A2,B2,C2)所夹的锐角或直角们称为两平面ni和n的夹角。当ni和n2共线时，两平面平行或重合。若A1=醫=C1=D1则两平面平行，若A=簣=C1=D则两平面重合。此时，平行平面ni和旳的距离就等于n2上任意一点到平面ni的距离。当ni和n2不共线时，两平面相交于一条直线1。方程组(L11)JAix十Biy十Ciz+Di=0(L11)[A2X+B?y+C2Z+D2=0也称为直线1的一般方程。通过一条直线可以作无限多个平面，因此总是可以表示成为两个平面的交线。由已知直线的点向式方程(1.3)(假设*=0),可以很容易地写出直线的一般方程U2X—uiy+(uia2—的一般方程oU3X—Uiz+(uia3—U3^i)=0由直线的一般方程(1.11)求直线的点向式方程，则应当首先求出方程组(1.11)的一个解即直线上的一个点(⑶皿仙)和直线的方向向量u=niX8,然后代入到点向式方程(1.3)中。§1.2.3中介绍了求两条异面直线li和I2的距离的方法，现在给出求li和I2的公垂线1的方法。设直线li和I2的方向分别为u和v,贝ljuXv为1的方向向量，li和1张成的平面ni具有法向量(uXv)Xu,I2和1张成的平面力2具有法向量(uXv)XVo于是可以先求出ni和n2的方程，1正是ni和力2的交线。当然，也可以先求出1在1i,12上的垂足，然后求出1的方程。§1.1.7直线和平面的位置关系向量空间中的任意一条直线1和一个平面n它们可能平行、相交或直线在平面上。U2U3Ui设l的方向向量U=(ui,U2,U3)和力的法向量n=(A,B,C)所夹的锐角或直角为则軒=2-©=arcsin与帶称为直线l和平面n的夹角。当u和n不垂直时，l和n有唯一的交点，可通过解线性方程组求得交点的坐标。当u和n垂直时，若Aai+Ba-2+Ca，3+D=0,则l和n有公共点(a「a2,a3),l在n上；若Aa1+Ba2+Ca3+D=0,则l和n平行。§1.2空间曲线与曲面§1.2.1曲线和曲面的方程P(t)=(x(t),y(t),z(t)) (1.12)表示一条空间曲线，(1.12)称为该曲线的参数方程；P(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)) (1.13)表示一个曲面，(1.13)称为该曲面的参数方程；满足/(x,y,z)=0 (1.14)的点(x,y,z)的集合形成一个曲面，(1.14)称为该曲面的一般方程；满足(1.15)"(x,y,z)=0(1.15)[g(x，y，z)=0的点(x,y,z)的集合则是两个曲面f(x,y,z)=0和g(x,y,z)=0的交线，(1.15)称为该曲线的一般方程。§1.2.2§1.2.2柱面由一族平行直线形成的曲面叫柱面，这些直线叫做柱面的母线。柱面上与每条母线都相交的一条曲线叫做柱面的一条准线。过准线上的各点作平行于母线方向的直线，或者将一条母线沿着准线作平行移动，又或者将一条准线沿着母线作平行移动，都可以得到柱面。一般地，设母线的方向U=(**,%),准线的参数方程p(t)=(P1(t),P2(t),P3(t))，则柱面具有参数方程P(s,t)=su+p(t) (1.16)§1.2.3锥面由一族经过给定点的直线形成的曲面叫锥面，这些直线叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点。锥面上与每条母线都相交的但不经过顶点的一条曲线叫做锥面的一条准线。把准线上的各点与顶点用直线联结起来，就可以得到锥面。一般地，设顶点&。"2仙)，准线的参数方程p(t)=(pl(t),p2(t),P3(t)),则锥面具有参数方程P(s,t)=(1—s)A+sp(t) (1.17)设f(x,y,z)是一个齐次多项式，如果f(x,y,z)=0,则对任意实数t都有f(tx,ty,tz)=0o因此，f(x,y,z)=0在空间中表示一个顶点在原点的锥面。它与任意不过原点的平面的交线都是它的一条准线。§1.2.4旋转面由空间中的一条曲线Y绕着一条直线l旋转而产生的曲面叫做旋转面，Y叫做旋转面的子午线，l叫做旋转面的轴。

§1.3二次曲面简介一般方程为三元二次多项式，具有形式ailx2+ai2xy+ai3xz+哑寸+a23yz+a33z2+aix+a2y+a3z+a=0的曲面称为二次曲面。常见的二次曲面有2221.椭球面%+%+%=1(a>(a>0,b>0,c>0)2.单叶双曲面%+*—C2=1(a>0,b>0,c>0)2223.双叶双曲面x2—告—J=1(a>0,b>0,c>0)a2 b2 c2x2 y2 z24..二次锥面—2+-y2 2=0(a>0,b>