2014年高考试题理科数学卷解析版

★启用前2014年普通高等学校招生统一考试（卷）123528540分。如果A，B互斥，那 •如果A，B相互独立，那P( B)P(A)

P(AB)P(A)P(B)1圆柱的体积VSh •圆锥的体积V

Sh3其中S表示圆柱的底面面积 其中S表示圆锥的底面面积 7+3+

= 1f(x=log(x212

（A）(0,+¥（C）(2,+¥¥?,【答案】∞-(+2-∴ya2

yb2=1(a>0,b>0的一条渐近线平行于直线lyy

2x+10双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为

=

=

3y2 =

3y2 = 【答案】

5,∴caABECDDABCÐBAC的平分线交圆于点DBCEBADF.在BDABECDFB2=FD?FA；③AE BE?DE；④AF AB?BF 【答案】(2))(2)(4)设a,bÎR，则|“a>b”是“aa>bb”的 充要条 【答案】若ab则a|a|b|b|,∴是充分条件;若a|a|b|b|,则ab,∴242424已知菱形ABCD的边长为2，? 120，点E,F242424BC,DC上，BE=lBC，DF=mDC.若AE 1，2

CE12【答案】

，则323

+m= 56

7

2设CExCFy,则AEAFAC+CEAC+CFACCACECACF2=4-2xcos60°-2ycos60°-2 x 2=λ+

2=1∴+μλ=5选((2)2--

12- 12110二、填空题（6530分.把答案填在题中横线上从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本.已知该校一年级、二年4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取【答案】：m， m3 设{an}是首项为a1，公差为-1Sn为其前n项和.若

列，则a1的值 解在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知 ，则cosA的值 在以O为极点的极坐标系中，圆r 和直线r 相交于A,B两点.DAOB是等边三角形，则a的值 【答案】f

，x

R

4数根，则实数a的取值范围 三、解答题（680分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步）（15（已知函数 ，xR.求fx在闭区间 上的最大值和最小值 44【答案 f(x)=cosxsin(x+π)-3cos2x+3=cosx(sinx•1+cosx 3)-3cos2x+ =sin2x•1-cos2x

3+3=sin2x•1

3(2cos2x－１)=1(sin2x•1-cos2x 34=

sin(2x2

),T

2f()x=2

2sn(

π,3

π2si(

π)]=[-1,

2

1,2

2（16（某大学有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学710设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随量X的分布列和数学期望【答案 x0123p（17（ 中，PA^底面 ， ， AB=1EPC证明BE BEPBD若F为棱PC上一点，满足BF 求二面角F- 【答案 （1）省略 ⊥(1,0-2,0).

|n||BE

32222

33同(2建立直角坐标，设F(xyzPCλPF解得F(xx,2x),则BFAC(1,00), 22解得一个n(0,3,-1).cosnn

= 0+3+0 =310.

|n1||n2

0+1+0 所以，二面角FABP的夹角θ的cosθ=|cosnn>|310 （18（设椭圆x2y21（ab ）的左、右焦点为F,F，右顶点为A，上顶点为B.已 32AB32

线l与该圆相切.求直线的斜率.【答案 |AB

3|FF|∴a2+b234c2且a2c2+b2.解得e=c

.所以，离心率为 1

y2x yFBFPb(x+by0，即x+by0，且11=∴x22(x+b)22b2

(x1k+x1

-x1),半径r,则r2= ,1x2(k

5x

k2即(2r)2= ,又(2r)2=BP2=x2+(y-b)2=x2+(x+2b)2=1.k2 (k

4∴=k24

（19（已知qn1的自然数.设集合M={0,1

,q

A={xx

x+xq

+xqn-1,

?M

, 当q=2n=3A s,t

A，s=

+aq

1t=b+bq +bqn-1+an +an【答案 （1） 省

q=2,n=3∴M={0,1},A当knkN+时，bqk-1aqk-1≥0(q1)qk-1(1q)qk-k∴bq0+bq1+bq2

qn-2-(aq0+aq1+aq2++

qn-2)

n-

1-qn-

n-(1-q)(q0+q1+q2++qn-2)=(1-

1-

=1-qn-即tbqn-1saqn-1)1qn-1,即ts1qn-1+bqn-1aqn- ab，qn-10∴bqn-1aqn-1≥qn-1∴ts1qn-1+qn-10.所以s （20（f(x=x

aex(a

R)，x

Ry

f(xx1x2x1<x2求a

x2随着a

x2随着a【答案 省 省 f(x)xaex∴令f(x)0,则xaex1，x g(x)

ex(1-x)

=1-，g(x)

，g(x)

1时，对应x，x e，.所以，a∈(01)，e

e由(1)图像可知0xx,当a变小时x变小↓，x变大↑,x2变大x x1

（-3用数形证明x1+x2

令hxg

2

=

=g

+g

x)-=-x

x

xe

>>0∴h>>

1

x+

ex1+ex-（-a

21∴令xxxex1+ex2

gx),2x

明gx是递增的gx

e2x1-

再令h

=

e2

exx

hx

=ex+

ex

∴hx>

=

e2x1

gx

.2)(

(a

12345678ABBDADCC7+3+

=

（A）1-

1+

7+

(7+i)(3- 25-

=1-i3+

(3+4i)(3- xy2xy满足约束条件xy20y21O2-y21O2-zx2y的最小值为 x解

i=1T=3S=3i

2T=5S=15i=3时，T=7S=105i=4输出S=1051f(x=log(x212

（A）(0,+¥（C）(2,+¥

（B）(-（D）(-

,

x2

4>0x<-2x

2f(x单调递增区间为(-?,a2

yb2=1(a>0,b>0的一条渐近线平行于直线lyy

2x+10双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为

=

=

3y2 =

3y2 = ï解

，所以a2=5b2=

20ï ABECDABECD

=a+

= DABCÐBACD，BCEBADFBD平分ÐCBFFB2AE BE?DE；④AF AB?BF

FD?FA 解 由弦切角定理得?

?

?BAE，又?

?AFBDBFDDAFB

，即AF AB?BF，排除A、 又?

?

?DBC设a,bÎR，则|“a>b”是“aa>bb”的 解 设f(x)

ìïx2,x³xxf(x=

f(xRa>baa>bb

x2,x<已知菱形ABCD的边长为2，? 120，点E,F分别在边BC,DC上BE=lBCDF=mDCAE

1，CE

，则3

+m= （A）2

3

6

（D）解 因为?

120AB

AB

=-2BE=lBCAE

AB+

AD，AF=mAB

ADAE

1，所以(AB+

AD)=1，即

+

lm= 2同理可得lm-l

m=- ②，①+②得3

+m= 612110二、填空题（6530分.把答案填在题中横线上242424个容量为242424生中抽 解 应从一年级抽取

4+5+5+

单位：m

体的体积 m3解 该几何体的体积为p

1p

2=

m3 设{an}是首项为a1，公差为-1Sn为其前n项和.若S1S2S4列，则a1的值 解：- 依题意得S2=S

，所以(2a-1)2=a(4a-6)，解得a=-1 1

1在DABCAB,C所对的边分别是a,bc.已知b2sinB=3sinC，则cosA的值

c a4 解 因为2sinB=3sinC，所以2b=3c，解得b ，a=2c b2+c2- 所以cosA = 在以O为极点的极坐标系中，圆r

4sinq和直线rsinq

aABDAOB是等边三角形，则a的值 解 圆的方程为x2+(y-2)2=4，直线为y=a 桫y x因为DAOB是等边三角形，所以其中一个交点坐标 ,a÷桫y xf(x

x2+3x，x

Rf

ax

1=04个互异的实数根，则实数a围 0<a<1a>显然a>0y=-

a(x

1)y=-

x2

3xa=1f

ax

1=0y3y31xy

a(x

y

x2+3xa=9f

ax

1=02结合图象可知0<a<1a>9x2+x-解2：显然ax2+x-y91Oy91O令t=x-1，则a4

t +5t因为t ?(?t4

][4,+?所以t +5?t

ゥ 结合图象可得0<a<1a> t三、解答题（680分．解答）（15（ 3已知函数fxcosxsinx 3

3cosx

，xR4fx在闭区间 4413分.11解：f(x=cosx

sinx

3cos2x33÷ 33÷=1sinx?cos 3cos2x =1sin2x 3(1+cos2x)+ =1sin2x 桫sin2x桫

f(x的最小正周期T

=p2轾 轾p解：因为f(x)在区间 上是减函数，在区间 臌 臌12骣p

骣p

f ÷=

，f ÷=

，fç 桫

桫

4 4轾p 所以，函数f(x)在闭区间 上的最大值为，最小值为 臌4 （16（某大学有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学710设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随量X的分布列和数学期望本小题主要考查古典概型及其概率计算，互斥、离散型随量的分布列13分.解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为A， 349所以，f(x)的最小正周期T 解：随量X的所有可能值为 (k 所以，随量X的分布列X0123P161231随量X的数学期望 （17（ 中，PA^底面 ， ， AB=1EPC证明BE BEPBD若F为棱PC上一点，满足BF 求二面角F- zz 13分.（方法一B(100)C(220)D(020)P(002)EPCE（Ⅰ）证明：BE=(0,1,1)DC=(200)BE

0BE

DC解：BD=

n=(xyzPBD的法向量，则

x+2y=íî íî

2z=y=1，可得n=(2,1,1)PBDn,BE nn,BE nn 623BEPBD所成角的正弦值为33解：BC=(120)CP=

2,2)，AC=(2,2,0)，AB=(1,0,BF==BC+lCP=由点F在棱PC上，设BF==BC+lCP=故

2l,2

2l,2l由BF^AC，得BF 0

11

2l)+2(2

2l)=0，解得l .即BF= ,, 22 n=(xyz)FAB的法向量，则ïn1

0即

1x

1y

3z=

z=1，可得n1=(0,-3,1)FABABP的法向量n2=(0,10)

3n, n, n1=-10´F

AB

P是锐角，所以其余弦值 33（方法二证明：PD中点MEMAMEMPCPDEM//DCEM

1DC2EM//ABEMBE//AM

ABABEMPA^ABCDPA

CD，而CD

DA，从而CD^PADAMÌPAD，于是CD

AMBE//AMBE

CD解：BM，由（Ⅰ）有CD^PAD，得CD^PDEM//CDPD^EMAD

APMPDPD

AMPD

BEPD^BEMBEM^PBD222BEPBDBMBE^ÐEBMBEPBD所成的角.222

EM，可得ÐEBMPD

，而M为PD中点，可得AM ，进而BE 12故在直角三角形BEM中，tan? EM=AB ，因此sin? 312 所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值 33解：如图，在DPACFFH//PA交ACH.PA^ABCDFH^ABCDFHAC

ACBFBH

ACAC^FHBABCD内，可得CH=3HA，从而CF=3FPPDCFG//DCPD于点GDG=3GPDC//AB，故GF//ABABF,GAB

PA，AB

ADAB^PADAB

所以ÐPAGF

AB

P在DPAGPA

2，PG

1PD ，?

452 23由余弦定理可得AG ，cos?3 F

AB

3P的斜率值3（18（ 设椭

1（ab0）F1F2AB32AB32

线l与该圆相切.求直线的斜率.13解：设F2的坐标为(c,0)AB

3232

，可得a2+b2=3c2又b2=

a2

c222

=122所以，椭圆的离心率e 22a2+ 3ca2+

c2=3c2，解得a

22解：由（Ⅰ）知a2=

2c2b2=c2

+c2=P(x0y0)F1(-c,0)B(0c)F1P=(x0+cy0)F1B=

0，即(x0+c)c

y0c=0.又c

0x0

y0+c

0 Px y0+0= 由①和②可得3x2+

=0.而点P不是椭圆的顶点，故x= 4ccy0 ，即点P的坐标为 , 桫3-4c+

c+设圆的圆心为T(x,y)，则x= =-

2c，y=

=2c (x-(x- +y-1)2(21)

5c3

设直线l的斜率为k，依题意，直线ly=kxkx1-kx1- k2+

=r

c55ç- 桫 k2+k2+

8k+1=0，解得k

4 所以，直线l的斜率为4 或4 （19（已知qn1的自然数.设集合M={0,1

,q

A={xx

x+xq

+xqn-1,

?M

, 当q=2n=3A s,t

A，s=

+aq

+an1t=b+bq +b+an ai,bi

M，i=1,

n.证明：若an<bns<t本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前n项和，不等式的证明等基14分.（Ⅰ）解：当q

2n=3M=A={xx

x1+2x2+4x3,xi

M

=（Ⅱ）证明：s,t

A，s=

+aq

1，t=b+bq +bqn-1+an +anai,bi

M，i=1,

n及an<bns-t=(a

b)+(a

b)q

- )qn-2+(a

b)qn-+(an- n+(an-?

1)+(q

q +(q

qn-2

qn-(q

qn- -qn-1-=-1<0s<t（20（f(x=x

aex(a

R)，x

Ry

f(xx1x2x1<x2求a

x2随着a

x2随着a方法.考查函数思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.14（Ⅰ）解：f(x=x

aexf¢(x=

aex（1）a£0f¢(x)>0Rf(xR（2）a>0f¢(x=0x=-lnaxf¢(x)f(xx(-? -ln(-lna,+¥f＋0—f↗-lna-↘f(x的单调递增区间是(-?

lna)；单调递减区间是

lna,+¥y

f(x1°f

lna)>0；2s1?

?, ln