2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理第八章第三节　平面向量的数量积及应用

第三节平面向量的数量积及应用复习目标学法指导1.平面向量的数量积的物理背景及其含义(1)平面向量数量积及其几何意义.(2)平面向量数量积及投影的关系.(3)平面向量数量积的性质及运算律.2.平面向量数量积的坐标表示模、夹角(1)数量积的坐标表示.(2)数量积表示两个向量的夹角.(3)数量积求向量的模.1.善于利用平面几何的知识解决数量积的问题,把握住运算数量积的几种常见方式.2.数量积的定义是推导其他性质的关键,注意夹角的定义.一、数量积的定义及意义1.向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b,作QUOTEOA→=a,QUOTEOB→=b,如图所示,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角,也可记作<a,b>=θ.(2)范围向量夹角θ的范围是[0,π],a与b同向时,夹角θ=0;a与b反向时,夹角θ=π.(3)垂直关系如果非零向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b.

规定:零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0.3.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

1.概念理解(1)在平面图形中运算向量的数量积要注意向量夹角的取值,注意区分平面图形中的角和向量夹角的区别.(2)理解数量积的概念可以和物理中功的公式相联系,加深对概念的理解.(3)向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线,a,b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线.2.与数量积的定义有关的结论(1)a在b方向上的投影:|a|·cosθ或QUOTEa·b|b|(2)|a·b|≤|a||b|,“=”当且仅当a与b共线时取到.二、数量积的性质与运算律1.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=|a|cosθ(e为单位向量,θ为a与e的夹角);

(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,a·a=|a|2,|a|=QUOTEa·a;(4)cosθ=QUOTEa·b|a||b|2.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.3.平面向量数量积的坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.(1)a·b=x1x2+y1y2.(2)|a|=QUOTEx12+y12(3)cosθ=QUOTEx1x2+y11.与数量积的性质和运算律相关的结论(1)0·a=0,0·a=0.(2)a·b=b·c⇔b=0或b⊥(a-c).2.与坐标运算有关的结论A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为(QUOTEx1+x22,QUOTEy1+y22),AB的两个三等分点坐标为(QUOTE2x1+x23,QUOTE2y1+y23)和(QUOTEx1+2x23,QUOTEy1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中正确的是(B)(A)若a·b=0,则a=0或b=0(B)若λa=0,则λ=0或a=0(C)若a2=b2,则a=b或a=-b(D)若a·b=a·c,则b=c解析:当a⊥b时,a·b=0,故A错;当a⊥b,|a|=|b|=1时,a2=b2,故C错;当a⊥b,a⊥c时,a·b=a·c=0,故D错.故选B.2.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(B)(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.3.已知向量QUOTEAB→与QUOTEAC→的夹角为120°,且|QUOTEAB→|=3,|QUOTEAC→|=2.若QUOTEAP→=λQUOTEAB→+QUOTEAC→,且QUOTEAP→⊥QUOTEBC→,则实数λ的值为.

解析:因为QUOTEAP→⊥QUOTEBC→,所以QUOTEAP→·QUOTEBC→=0,所以(λQUOTEAB→+QUOTEAC→)·(-QUOTEAB→)=0,即QUOTEAC→2-λQUOTEAB→2+(λ-1)QUOTEAB→·QUOTEAC→=0,又因为QUOTEAB→·QUOTEAC→=3×2×(-QUOTE12)=-3,所以4-9λ-3(λ-1)=0.所以λ=.答案:4.(2019·江苏卷)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若QUOTEAB→·=6·,则的值是.

解析:如图,过点D作DF∥CE交AB于点F,由D是BC的中点,可知F为BE的中点.又BE=2EA,则知EF=EA,从而可得AO=OD,则有QUOTEAO→=QUOTE12AD→=(QUOTEAB→+QUOTEAC→),=QUOTEAC→-=QUOTEAC→-,所以6QUOTEAO→·QUOTEEC→=(QUOTEAB→+QUOTEAC→)·(-QUOTE13AB→)=-+QUOTEAB→·=·QUOTEAC→,整理可得=3,所以=.答案:QUOTE3考点一平面向量数量积的运算[例1](2018·天津卷)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,QUOTEBM→=2QUOTEMA→,QUOTECN→=2QUOTENA→,则QUOTEBC→·QUOTEOM→的值为()(A)-15(B)-9 (C)-6 (D)0解析:如图,连接MN.因为QUOTEBM→=2QUOTEMA→,QUOTECN→=2QUOTENA→,所以QUOTEAMAB=QUOTE13=,所以MN∥BC,且QUOTEMNBC=QUOTE13,所以QUOTEBC→=3QUOTEMN→=3(QUOTEON→-QUOTEOM→),所以QUOTEBC→QUOTEBC→·QUOTEOM→=3(QUOTEON→·QUOTEOM→-QUOTEOM→2)=3(2×1×cos120°-12)=-6.故选C.(1)求两个向量的数量积,有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算,但要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.(2018·嘉兴模拟)如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中AB=QUOTEt+1,AD=QUOTEt+2,则QUOTEAC→·QUOTEBD→等于(A)(A)1 (B)2(C)t (D)2t解析:QUOTEAC→·QUOTEBD→=QUOTEAC→·(QUOTEAD→-QUOTEAB→)=QUOTEAC→·QUOTEAD→-QUOTEAC→·=|QUOTEAC→||QUOTEAD→|cos∠DAC-|QUOTEAC→||QUOTEAB→|cos∠BAC=QUOTEAD→2-QUOTEAB→2=(t+2)-(t+1)=1.考点二平面向量的夹角[例2]已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=QUOTE13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=.

解析:由已知得e1·e2=1×1×QUOTE13=,a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9e1·e2=11-3=8.又因为a2=(3e1-2e2)2=9+4-12e1·e2=13-4=9,得|a|=3,b2=(3e1-e2)2=9+1-6e1·e2=10-2=8,得|b|=2QUOTE2,所以cosβ=QUOTEa·b|a||b|=QUOTE83×22=QUOTE223QUOTE223.答案:QUOTE223QUOTE223根据平面向量数量积的性质,若a,b为非零向量,则cos<a,b>=QUOTEa·b|a||b|,a⊥b⇔a1.(2019·金丽衢十二校第一次联考)已知向量a=(4,),b=(1,5QUOTE3),则a与b的夹角为(C)(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°解析:cos<a,b>=QUOTEa·b|a||b|==所以<a,b>=60°.故选C.2.(2018·浙江台州期末统考)设非零向量a,b,则“a,b的夹角为锐角”是“|a+b|>|a-b|”的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由于|a+b|>|a-b|等价于a·b>0,若a,b的夹角为锐角,则a·b>0,所以|a+b|>|a-b|成立,反之不一定成立,如a,b夹角为0,不一定为锐角,所以“a,b的夹角为锐角”是“|a+b|>|a-b|”的充分不必要条件.故选A.考点三平面向量的模[例3](1)设a,b为单位向量,若向量c满足|c-(a+b)|=|a-b|,则|c|的最大值是()(A)2QUOTE2 (B)2 (C)QUOTE2 (D)1(2)(2018·浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为QUOTEπ3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是()(A)QUOTE3-1 (B)QUOTE3+1 (C)2 (D)2-QUOTE3解析:(1)如图.记QUOTEOA→=a,QUOTEOB→=b,=c,则a+b=QUOTEOD→,a-b=QUOTEBA→,由已知得|QUOTEOC→-QUOTEOD→|=|QUOTEBA→|,又由|QUOTEBA→|=|QUOTEOC→-QUOTEOD→|≥|QUOTEOC→|-|QUOTEOD→|得|c|=|QUOTEOC→|≤|QUOTEOD→|+|QUOTEBA→QUOTEBA→|=|a+b|+|a-b|,由已知得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=4,而≤=QUOTE2,故|c|≤2QUOTE2.故选A.解析:(2)由b2-4e·b+3=0得b2-4e·b+3e2=(b-e)·(b-3e)=0.设b=QUOTEOB→,e=QUOTEOE→,3e=QUOTEOF→,所以b-e=QUOTEEB→,b-3e=QUOTEFB→,所以QUOTEEB→·=0,取EF的中点为C,则B在以C为圆心,EF为直径的圆上.如图,设a=QUOTEOA→,作射线OA,使得∠AOE=,所以|a-b|=|(a-2e)+(2e-b)|≥|a-2e|-|2e-b|=||-|QUOTEBC→|≥QUOTE3-1.故选A.(1)求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为数量积的运算.(2)求模也可将向量置于特殊图形中,利用图形解决向量的模.(2019·温州2月模拟)在平面上,e1,e2是方向相反的单位向量,|a|=2,(b-e1)·(b-e2)=0,则|a-b|的最大值为(D)(A)1 (B) (C)2 (D)3解析:由题意得(b-e1)·(b-e2)=0⇒b2-b·(e1+e2)+e1·e2=0,e1,e2是方向相反的单位向量,所以e1+e2=0,e1·e2=-1,b2-1=0⇒|b|=1,所以|a-b|≤|a|+|b|=3,|a-b|的最大值为3.故选D.考点四平面向量的应用[例4](1)已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且|QUOTEOA→|=|QUOTEOB→|=|QUOTEOC→|,QUOTENA→+QUOTENB→QUOTENB→+QUOTENC→=0,QUOTEPA→·QUOTEPB→=QUOTEPB→·=QUOTEPC→·QUOTEPA→,则点O,N,P依次是△ABC的()(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心(2)(2019·浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1,当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是,最大值是.

解析:(1)由|QUOTEOA→|=|QUOTEOB→|=|QUOTEOC→|知点O到A,B,C距离相等,为外心;由QUOTENA→+QUOTENB→+QUOTENC→=0,即=-(QUOTENB→+QUOTENC→)知N为△ABC三条中线交点即重心;由QUOTEPA→·QUOTEPB→=QUOTEPB→·QUOTEPC→,即QUOTEPB→QUOTEPB→·(QUOTEPA→-QUOTEPC→)=0得QUOTEPB→QUOTEPB→·QUOTECA→=0,即QUOTEPB→QUOTEPB→⊥QUOTECA→,同理QUOTEPC→⊥QUOTEAB→,QUOTEPA→⊥QUOTEBC→,即P为垂心,故选C.解析:(2)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则=(1,0),=(0,1).设a=λ1QUOTEAB→+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6=λ1QUOTEAB→+λ2QUOTEAD→-λ3QUOTEAB→-λ4QUOTEAD→+λ5(QUOTEAB→+QUOTEAD→)+λ6(QUOTEAD→-QUOTEAB→)=(λ1-λ3+λ5-λ6)QUOTEAB→+(λ2-λ4+λ5+λ6)QUOTEAD→=(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6).故|a|=QUOTE(λ1-λ3+因为λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1,所以当λ1-λ3+λ5-λ6=0,λ2-λ4+λ5+λ6=0时,|λ1QUOTEAB→+λ2QUOTEBC→+λ3QUOTECD→+λ4QUOTEDA→+λ5QUOTEAC→+λ6QUOTEBD→|取得最小值0.考虑到λ5-λ6,λ5+λ6有相关性,要确保所求模最大,只需使|λ1-λ3+λ5-λ6|,|λ2-λ4+λ5+λ6|尽可能取到最大值,即当λ1-λ3+λ5-λ6=2,λ2-λ4+λ5+λ6=4时可取到最大值,所以|λ1QUOTEAB→+λ2QUOTEBC→+λ3+λ4QUOTEDA→+λ5QUOTEAC→+λ6QUOTEBD→|的最大值为=2.答案:(1)C(2)02QUOTE5以向量为载体求相关变量的取值范围是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题,通过几何图形的分析,转化为不等式解集或函数值域等问题.已知圆O:x2+y2=4上有三个不同的点P,A,B,且满足=xQUOTEOB→-QUOTE12OA→(其中x>0),则实数x的取值范围是.

解析:因为=xQUOTEOB→-QUOTE12OA→,所以QUOTEOP→-QUOTEOA→=xQUOTEOB→-QUOTE12OA→,即xQUOTEOB→=-QUOTE12OA→,两边平方得4x2=4+1-QUOTEOP→·QUOTEOA→,设<QUOTEOP→,QUOTEOA→>=α,则4x2=5-4cosα,因为-1<cosα<1,所以1<5-4cosα<9,即1<4x2<9,因为x>0,所以QUOTE12<x<QUOTE32.即实数x的取值范围是(QUOTE12,).答案:(QUOTE12,QUOTE32)类型一平面向量数量积的运算1.(2019·衢州第一次模拟)在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AB=2AD=2DC=4,AC与BD相交于O,过点A作AE⊥BD于E,则·等于(C)(A) (B) (C)3 (D)2解析:如图,由题意知BD⊥DC,∠ADC=120°,所以∠ADB=30°,∠ACD=30°,由题意得AE∥CD,所以∠EAO=30°,AC=2QUOTE3,AE=1,QUOTEAE→·=|QUOTEAE→|·|QUOTEAC→|·cos30°=1×2QUOTE3×QUOTE32=3.故选C.类型二平面向量的夹角2.(2019·浙江省模拟)设θ是两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,则(B)(A)若θ确定,则|a|唯一确定(B)若θ确定,则|b|唯一确定(C)若|a|确定,则θ唯一确定(D)若|b|确定,则θ唯一确定解析:|b+ta|2=b2+2ta·b+t2a2,令g(t)=b2+2ta·b+t2a2,二次函数图象开口向上,所以最小值为=|b|2-|b|2cos2θ=|b|2sin2θ=1,故当θ故选B.3.(2019·余高、缙中、长中5月模拟)已知平面向量a,b不共线,且|a|=1,a·b=1,记b与2a+b的夹角是θ,则θ最大时,|a-b|等于(C)(A)1 (B) (C)QUOTE3 (D)2解析:设|b|=x,则b·(2a+b)=2a·b+b2=x2+2,(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=x2+8,cosθ==,所以cos2θ===,即当x2=4,x=2时,cos2θ取到最小值,则θ取到最大值,此时|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2+4=3,所以|a-b|=QUOTE3.故选C.类型三平面向量的模4.已知在△ABC中,|QUOTEBC→|=10,QUOTEAB→·QUOTEAC→=-16,D为边BC的中点,则|QUOTEAD→|等于(D)(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:因为QUOTEAB→·QUOTEAC→=-16,QUOTEBC→=QUOTEAC→-QUOTEAB→,所以|QUOTEBC→|=|QUOTEAC→-QUOTEAB→|,所以|QUOTEAC→-QUOTEAB→|2=|QUOTEBC→|2=100,所以QUOTEAC→2+QUOTEAB→2-2QUOTEAC→·QUOTEAB→=100,所以QUOTEAC→2+QUOTEAB→2=68,又因为=QUOTE12AB→+QUOTE12AC→,所以|QUOTEAD→|2=QUOTE14(QUOTEAB→2+QUOTEAC→2+2QUOTEAB→·QUOTEAC→)=QUOTE14×(68-32)=9.所以|QUOTEAD→|=3.类型四平面向量的应用5.(2019·浙江三校第一次联考)如图,圆O是半径为1的圆,OA=,设B,C是圆上的任意2个点,则QUOTEAC→·的取值范围是(A)(A)[-,3] (