高三数学第一轮复习讲解正弦定理和余弦定理

浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容\f(A)＝\f(B)＝\f(C)＝2R(R为△外接圆半径)a2＝b2＋c2－2；b2＝c2＋a2－2；c2＝a2＋b2－2．变形形式a＝2，b＝2，c＝2；A＝\f(a,2R)，B＝\f(b,2R)，C＝\f(c,2R)；a∶b∶c＝∶∶；\f(a＋b＋A＋B＋C)＝\f(A).A＝\f(b2＋c2－a2,2)；B＝\f(c2＋a2－b2,2)；C＝\f(a2＋b2－c2,2).2.正弦定理解决的问题有哪两类？提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角．3．余弦定理解决的问题有哪三类？提示：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边．温馨提示：解斜三角形的类型：(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边与其一边的对角，用正弦定理，有解的状况可分为以下状况，在△中，已知a、b和角A时，解的状况如下：A为锐角A为钝角图形关系式a＝AA＜a＜ba≥ba＞b解个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，a＜A时，无解；A为钝角时，a＝b，a＜b均无解．(3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解．(4)已知两边与夹角，用余弦定理，必有一解．4．三角形面积设△的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.(1)S＝\f(1,2)(h为边上的高)；(2)S＝\f(1,2)C.1．(2013·高考北京卷)在△中，a＝3，b＝5，A＝\f(1,3)，则B＝()\f(1,5) \f(5,9)\f(\r(5),3) D．1解析：选B.在△中，由正弦定理\f(A)＝\f(B)，得B＝\f()＝\f(5×\f(1,3),3)＝\f(5,9).2．在△中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不确定解析：选B.∵A＝12\r(2)＜a＜b.∴三角形的个数有两个．3．(2014·兰州调研)在△中，a＝3\r(2)，b＝2\r(3)，C＝\f(1,3)，则△的面积为()A．3\r(3) B．2\r(3)C．4\r(3) \r(3)解析：选C.∵C＝\f(1,3)，∴C＝\f(2\r(2),3)，∴S△＝\f(1,2)C＝\f(1,2)×3\r(2)×2\r(3)×\f(2\r(2),3)＝4\r(3).4．在△中，B＝60°，b2＝，则△的形态为．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－260°＝，即a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c又B＝60°，∴△为等边三角形．答案：等边三角形5．(2013·高考安徽卷)设△的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3A＝5B，则角C＝解析：由3A＝5B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2所以a＝\f(5,3)b，c＝\f(7,3)b，所以C＝\f(a2＋b2－c2,2)＝\f(\f(5,3)b2＋b2－\f(7,3)b2,2×\f(5,3)b×b)＝－\f(1,2).因为C∈(0，π)，所以C＝\f(2π,3).答案：\f(2π,3)利用正、余弦定理解三角形(2013·高考山东卷)设△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，B＝\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求(A－B)的值．[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋B)又b＝2，a＋c＝6，B＝\f(7,9)，所以＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△中，B＝\r(1－2B)＝\f(4\r(2),9)，由正弦定理得A＝\f()＝\f(2\r(2),3).因为a＝c，所以A为锐角．所以A＝\r(1－2A)＝\f(1,3).因此(A－B)＝B－B＝\f(10\r(2),27).在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．1．(2012·高考浙江卷)在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝\r(3)B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，C＝2A，求a，c的值．解：(1)由A＝\r(3)B与正弦定理\f(A)＝\f(B)，得B＝\r(3)B.所以B＝\r(3)，所以B＝\f(π,3).(2)由C＝2A与\f(A)＝\f(C)，得c＝2a.由b＝3与余弦定理b2＝a2＋c2－2B，得9＝a2＋c2－.所以a＝\r(3)，c＝2\r(3).利用正、余弦定理判定三角形的形态在△中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2A＝(2b＋c)B＋(2c＋b)C.(1)求A的大小；(2)若B＋C＝1，试推断△的形态．[解](1)由已知，依据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)即a2＝b2＋c2＋.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2A，故A＝－\f(1,2)，A＝120°.(2)由①得2A＝2B＋2C＋又B＋C＝1，故B＝C＝\f(1,2).因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△是等腰钝角三角形．推断三角形的形态，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而推断三角形的形态；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而推断出三角形的形态，此时要留意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．(1)在△中，2\f(A,2)＝\f(c－b,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△的形态为；(2)在△中，若b＝C，c＝B，则△的形态为．解析：(1)∵2\f(A,2)＝\f(c－b,2c)，∴\f(1－A,2)＝\f(c－b,2c)，∴A＝\f().由余弦定理\f()＝\f(b2＋c2－a2,2)，∴a2＋b2＝c2，∴△为直角三角形．(2)由b＝C可知\f()＝C＝\f(A)，由c＝B可知c＝a·\f(a2＋c2－b2,2)，整理得b2＋c2＝a2，即三角形肯定是直角三角形，A＝90°，∴C＝B，∴B＝C，故△为等腰直角三角形．答案：(1)直角三角形(2)等腰直角三角形与三角形面积有关的问题(2013·高考湖北卷)在△中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知2A－3(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△的面积S＝5\r(3)，b＝5，求C的值．[解](1)由2A－3(B＋C)＝122A＋3A－2＝0，即(2A－1)(A＋2)＝解得A＝\f(1,2)或A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝\f(π,3).(2)由S＝\f(1,2)A＝\f(1,2)·\f(\r(3),2)＝\f(\r(3),4)＝5\r(3)，得＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2A＝25＋16－20＝21，所以a＝\r(21).从而由正弦定理得C＝\f()A·\f()A＝\f(2)2A＝\f(20,21)×\f(3,4)＝\f(5,7).三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝\f(1,2)C＝\f(1,2)B＝\f(1,2)A，一般是已知哪一个角就运用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．3．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2\f(C,2)＋2\f(A,2)＝\f(3,2)b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若B＝60°，b＝4，求△的面积．解：(1)证明：2\f(C,2)＋2\f(A,2)＝a·\f(1＋C,2)＋c·\f(1＋A,2)＝\f(3,2)b，则a(1＋C)＋c(1＋A)＝3b.由正弦定理，得A＋