2022北京初三一模数学汇编：圆的有关计算与证明（含答案）

1/12022北京初三一模数学汇编圆的有关计算与证明一、单选题1．（2022·北京海淀·一模）某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O．A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧围成的区域是表演区．若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示．若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示．若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（

）①在M处放置2台该型号的灯光装置②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号的灯光装置A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题2．（2022·北京海淀·一模）如图，PA，PB是的切线，A，B为切点．若，则的大小为______．3．（2022·北京朝阳·一模）如图，是的弦，是的切线，若，则_________．4．（2022·北京通州·一模）如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果，那么∠P的度数为______．5．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．三、解答题6．（2022·北京朝阳·一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．由记载可得作法如下：①作，在上取一点N，以点N为圆心，为半径作，两圆相交于A，B两点，连接；②以点B为圆心，为半径作，与相交于点C，与相交于点D；③连接，，，．，都是圆内接正三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明，证明：连接，，，．∵，∴为①_________．∴．同理可得，．∴．∴（②____________）（填推理的依据）．∵，∴是等边三角形．同理可得，是等边三角形．7．（2022·北京通州·一模）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．求作：点P，使得AP＝AB，且．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交于点D（异于点C）；③连接DA并延长交于点P．所以点P就是所求作的点．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（____________________）（填推理的依据），由作图可知，，∴______．∴．8．（2022·北京顺义·一模）已知：如图，和射线PN．求作：射线PM，使得．作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D；②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E；③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M；④作射线PM．所以射线PM就是所求作的射线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（_________）（填推理依据）．∴．又∵（________）（填推理依据）．∴．9．（2022·北京朝阳·一模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．10．（2022·北京海淀·一模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．(1)求证：；(2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长．11．（2022·北京顺义·一模）如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，对角线AC，BD交于点E，的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．(1)求证：AE=AF；(2)若AF=6，BF=10，求BE的长．12．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．13．（2022·北京通州·一模）如图1，AB是的直径，点C是上不同于A，B的点，过点C作的切线为BA的延长线交于点D，连接AC，BC．(1)求证：；(2)如图2，过点C作于点E，交于点F，FO的延长线交CB于点G．若的直径为4，，求线段FG的长．

参考答案1．A【解析】【分析】根据圆周角和三角形内角和的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】在M处放置2台该型号的灯光装置，如下图∵在A、B两处安装各一台某种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，∴优弧所对圆周角如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为，且∴为优弧所对圆周角∴，即①方案成立；在M，N处各放置1台该型号的灯光装置，分别连接、、、、、,如下图，∵，∴②方案成立；在P处放置2台该型号的灯光装置，如下图，MN和相切于点P如要照亮整个表演区，则两台灯光照亮角度为总根据题意，，即两台灯光照亮角度总和∴③方案不成立；故选：A．【点睛】本题考查了圆、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角的性质，从而完成求解．2．60°##60度【解析】【分析】先由切线的性质及切线长定理求出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】PA，PB是的切线，A，B为切点故答案为：60°．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．3．60【解析】【分析】因为是的切线，由切线的性质得出PA⊥OA，PB⊥OB，得出∠PAO=∠PBO=90°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120º．，再由四边形内角和等于360°，即可得出结果．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵是的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB∴∠PAO=∠PBO=90°∵，∴∠AOB=2∠C=120º，∵四边形内角和等于360º．∴在四边形AOBP中，∠P=360º-90º-90º-120º=60º．故答案为：60．【点睛】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形内角和定理；解题的关键是利用切线的性质和圆周角定理结合四边形内角和等于360º求角．4．40°【解析】【分析】由PA与PB都为圆O的切线得OB⊥BP，PA=PB，从而求得∠ABP=70°，再根据内角和定理即可求出∠P的度数．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OB⊥BP，PA=PB，∴∠OBP=90°，∵，∴∠ABP=70°，∵PA=PB，，∴∠BAP=∠ABP=70°，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，故答案为：40°【点睛】此题考查了切线长定理及等腰三角形的性质，熟练运用性质及定理是解本题的关键．5．40【解析】【分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，从而得到∠A=40°，再由圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=50°，∴∠A=90°-∠CBA=40°，∵∠CDB=∠A，∴∠CDB=40°．故答案为：40【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，圆周角定理是解题的关键．6．(1)见解析(2)①等边三角形，②同弧上的圆周角等于圆心角的一半【解析】【分析】(1)按照作图的基本步骤规范画图即可．(2)根据圆的性质，等边三角形的判定解答．(1)根据作步骤，画图如下：(2)证明：如图，连接，，，．∵，∴为等边三角形．∴．同理可得，．∴．∴（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．∵，∴是等边三角形．同理可得，是等边三角形．【点睛】本题考查了圆的基本作图，等边三角形的判定，圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用圆周角定理是解题的关键．7．(1)见解析(2)圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC【解析】【分析】（1）根据作法按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（_圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），由作图可知，，∴_∠BAC__．∴．故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC．【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．8．(1)见解析(2)SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据作图过程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可证明，可得，再根据圆周角定理进而可以完成证明．(1)如图所示，(2)证明：连接CD，EM．∵PM=PE=CD=CO，EM=OD，∴（__SSS__）．∴．又∵（同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）．∴．故答案为：SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍．【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，灵活掌握圆周角定理是本题的关键．9．(1)证明见详解(2)【解析】【分析】（1）连接OC，可证明，推导出，又因为，可得，即可证明，即平分；（2）连接BC，由为的直径可证明，由（1）可知，利用三角函数分别解、，解得AC、AD长度，再由勾股定理计算CD的长即可．(1)证明：如图1，连接OC，∵CD为切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；(2)解：如图2，连接BC，∵为的直径，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．10．(1)见解析(2)，【解析】【分析】（1）连接OD，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；（2）设OD与AC交点为F，连接AD，根据∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求出OF的长，得到DF的长，用勾股定理求出AD的长，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的长(1)连接OD，∵点D是的中点，∴OD⊥AC，∵DE是⊙O切线，∴DE⊥OD，∴DE∥AC(2)设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，∵DE∥AC，∴∠E=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EDO=90°，∴△ABC∽△EOD，∴，∵，AC=8，∴AB=10，∴，OD=5，∴∴，∵，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接OD，AD，熟练运用上述性质和判定定理解答11．(1)见详解(2)【解析】【分析】（1）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，最后根据等角对等边即可得证；（2）根据同弧或等弧所对应的圆周角相等得出，根据直径对应的圆周角是直角及切线的性质即可得出，再根据等角或同角的余角相等即可得出，利用ASA证明，根据全等三角形的性质及勾股定理得出，根据三角形的面积公式及勾股定理得出BE的值．(1)证明：∵点D为弧的中点∴，∵为的直径，为的切线∴，∴，∴；(2)∵是的直径，∴，由（1），在中，，∴，∵，∴，∴∴【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的判定及性质定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质定理．12．(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=4，AM=7，AB=6，FM=，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．(1)证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；(2)解：如图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=3，∴OM=4，AM=7，AB=6，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．13．(1)见解析(2)3【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的圆周角是直角，即可求解；（2）根据垂径定理和圆的切线，可证∠OGC=90°，根据角平分线的性质可知OG=OE，根据30°的角所