2023年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷（含解析）

2023年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共8题，每题4分，满分32分）.1.下列各数中，倒数是它本身的数是(

)A.1 B.0 C.2 D.−22.近两年新能源汽车比亚迪的销量实现了快速增长，2023年比亚迪计划冲击400万台的整车年度销量目标.将数据400万用科学记数法表示为(

)A.4×102 B.4×105 C.3.若分式2x−5有意义，则x的取值范围是(

)A.x>5 B.x≠5 C.x=5 D.x<54.成都市武侯区“水韵园”综合教育基地设有民族危机档案、科技创想营地、匠心制作工坊、舒心交流空间、时尚体育时分五大教育功能区，某校组织学生分区体验种类丰富、课程新颖的综合实践活动.每个功能区的人数分别为：80，79，82，81，82.则这组数据的中位数和众数分别是(

)A.80，81 B.81，81 C.79，82 D.81，825.不等式组x−2≥12x>4x−10的解集在数轴上表示正确的是(

)A.

B.

C.

D.6.若m，n满足(2m+2)2+|n−2|=0，则mnA.−1 B.1 C.−2 D.27.在平面直角坐标系中，将点M(−4,3)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是(

)A.(−7,3) B.(−7,5) C.(−1,5) D.(−1,1)8.如图，在△ABC中，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交边AB于点D.若AD=BC，∠A=35°，则∠ACB的度数为(

)A.60°

B.65°

C.70°

D.75°二、填空题（共5题，每题4分，满分20分）.9.因式分解：x2−2x=______．10.如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，使得点B的对应点D落在边AC的延长线上，若AB=8，AE=5，则线段CD的长为______．

11.已知关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=

．12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C在x轴的正半轴上，顶点D在y轴上，若点A的坐标是(−10,8)，则点C的坐标是______．

13.在二次函数y=ax2−2ax+1图象上有A(2,y1)、B(4,y2)三、解答题（共5题，满分48分）．14.(1)计算：2cos30°+2−1−|1−3|−(π+2023)15.2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行(以下简称“成都大运会”)，这是成都第一次举办世界性综合运动会.某校为了解同学们对“成都大运会”竞赛项目的知晓情况，对部分同学进行了随机抽样调查，结果分为四种类型：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解：D.不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．知晓情况人数A.非常了解4B.比较了解18C.基本了解mD.不了解5根据图表信息，解答下列问题：

(1)求本次调查的总人数及表中m的值；

(2)求扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数；

(3)“非常了解”的四名同学分别是A1，A2两名女生，B1，16.成都凤凰山体育公园由“一场两馆”组成，其中“一场”指的是按照FIFA标准建设的专业足球场，配备专业的固草系统，能同时容纳6万名观众，某数学兴趣小组利用所学知识测量该足球场所在建筑物AB的高度.如图，他们先在地面C处测得建筑物的顶部A的仰角∠ACB=45°，又在与C相距43米的D处测得建筑物的顶部A的仰角∠ADB=31°(其中点B，C，D在同一条直线上)，求建筑物AB的高度.(结果精确到0.1米；参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)

17.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF=∠ACD，DF交CA的延长线于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若DF/​/AB，CE=4105，DE=18.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(1,4)，B(−4,n)两点．

(1)分别求一次函数及反比例函数的表达式；

(2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接PA，PB，且满足S△PAB=15．

i)求点P的坐标；

ii)过点A作直线l/​/PB，在直线l上取一点Q，且点Q位于点A的左侧，连结BQ，试问：△QAB能否与△ABP相似？若能，求出此时点19.我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知A=x−2x−1x，B=x−1x，则化简A÷B的结果为20.当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动.如图，在边长为3cm的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______．

21.已知P是⊙O内一点(点P不与圆心O重合)，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直径为______22.在等边△ABC中(其中AB>43)，点P在AB边上运动，点Q在BC边上运动，且满足PQ=6(点P，Q都不与B重合)，以PQ为底边在PQ左侧作等腰三角形PQD，使得∠PDQ+∠B=180°.则四边形PDQB的面积的最大值是______．

23.某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h(米)与球运行时间t(秒)之间满足函数关系式h=−5t2+mt+n，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米.如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h(米)与球运行时间t(秒)之间满足的函数关系式为______(不要求写自变量的取值范围)；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示.那么在这次投球过程中，球入筐前L的取值范围是______．24.文明，是一座城市的幸福底色，是城市的内在气质.2023年是成都争创全国文明典范城市的关键之年为积极推进创建工作，某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶共120个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半.根据市场调查，A型垃圾分装桶的价格为每个400元，B型垃圾分装桶的价格为每个100元．

(1)设购买A型垃圾分装桶x个，求x的取值范围；

(2)某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，试问：该企业最少需要花费多少元？25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−13x+1分别与x轴，y轴相交于A，B两点，抛物线y=x2+mx−3经过点A，点C是抛物线的顶点，连接AC．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；

(2)求∠BAC−2∠BAO的度数；

(3)设直线y=kx−k(k≠0)与抛物线相交于P，Q两点(点P在点Q的左侧)，当直线PQ与直线AC相交所成的一个角为45°时，求点26.如图1，在矩形ABCD中，AD=nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G．

(1)求证：PE//FG；

(2)如图2，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值；

(3)若n=2，连接PG，OG，当△POG是以OP为直角边的直角三角形时，求DPAP的值．

答案和解析1.【答案】A

解：倒数是它本身的数是±1，

故选：A．

根据倒数的定义，可知倒数是它本身的数是±1．

本题考查了倒数的意义，关键是搞清互为倒数的两数之积为1．

2.【答案】C

解：将数据400万用科学记数法表示为4×106．

故选：C．

科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<103.【答案】B

解：∵分式2x−5有意义，

∴x−5≠0，

解得：x≠5．

故选：B．

直接利用分式的定义分析得出答案．

此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．4.【答案】D

解：将这组数据重新排列为79，80，81，82，82，

所以这组数据的中位数为81，众数为82，

故选：D．

将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可．

本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．

5.【答案】A

解：x−2≥1①2x>4x−10②，

解不等式①得：x≥3，

解不等式②得：x<5，

∴不等式组的解集为：3≤x<5．

故选：A．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键6.【答案】B

解：根据题意，得2m+2=0，n−2=0，

解得m=−1，n=2，

∴mn=(−1)2=1．

故选：B．

根据非负数的性质列出一次方程，求解得到m、n的值，再代入代数式进行计算即可得解．

本题考查了解一元一次方程，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解一元一次方程的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为07.【答案】C

解：∵将点M(−4,3)向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点A′的坐标是(−4−3,3+2)，平移后的点坐标为(−1,5)，故C正确．

故选：C．

根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答即可．

本题考查了坐标与图形变化−平移，熟记点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．

8.【答案】D

解：如图，连接CD，

根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，

∴CD=AD，

∵AD=BC，

∴CD=BC，

∴∠ACD=∠A=35°，

∴∠BDC=∠CBD=70°，

∴∠BCD=180°−70°−70°=40°，

∴∠ACB=∠BCD+∠ACD=75°．

故选：D．

根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=AD，然后根据AD=BC，∠A=35°，即可求出∠ACB的度数．

本题考查了作图−复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．

9.【答案】x(x−2)

解：原式=x(x−2)，

故答案为：x(x−2)

原式提取x即可得到结果．

此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

10.【答案】3

解：∵将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE，

∴AB=AD，AC=AE，

∵AB=8，AE=5，

∴AD=8，AC=5，

∴CD=AD−AC=8−5=3．

故答案为：3．

根据旋转的性质可得AB=AD=8，AC=AE=5，则CD=AD−AC．

本题主要考查旋转的性质，解题关键在于熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．

11.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查一元二次方程的根的判别式．

根据一元二次方程的根的判别式可得Δ=(−4)2−4m=0，求出m的值即可．

【解答】

解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，

∴Δ=(−4)2−4m=0，

12.【答案】(6,0)

解：过A作AH⊥x轴于H，

∴∠AHB=90°，

∵点A的坐标是(−10,8)，

∴AD=10，AH=8，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=CD=BC=10，AB/​/CD，AD//BC，

∴OD=AH=8，

∴OC=CD2−OD2=102−82=6，

13.【答案】a<0

解：∵二次函数y=ax2−2ax+1，

∴抛物线的对称轴是直线x=−−2a2a=1，

∵2<4，y1>y2，

∴当x>1时，y随x的增大而减小，

∴a<0．

故答案为：a<0．

14.【答案】解：(1)2cos30°+2−1−|1−3|−(π+2023)0

=2×32+12−(3−1)−1

=3+12−3+1−1

=12；

(2)x−2y=4①2x+3y=15②，

【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用加减消元法进行计算，即可解答．

本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

15.【答案】解：(1)本次调查的总人数为4÷10%=40(人)．

m=40−4−18−5=13．

(2)扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数360°×1340=117°．

(3)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名男生和一名女生的结果有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1【解析】(1)用A的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的总人数；用本次调查的总人数分别减去选择A，B，D的学生人数，即可得m的值．

(2)用360°乘以本次调查中C的学生人数所占的百分比，即可得出答案．

(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．

本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图，能够理解统计表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．

16.【答案】解：由题意得：AB⊥BD，

设AB=x米，

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，

∴BC=ABtan45∘=x(米)，

∵CD=43米，

∴BD=BC+CD=(x+43)米，

在Rt△ABD中，∠ADB=31°，

∴AB=BD⋅tan31°≈0.6(x+43)(米)，

∴x=0.6(x+43)，

解得：x=64.5，

∴AB=64.5米，

【解析】根据题意可得：AB⊥BD，设AB=x米，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出BD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．

本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

17.【答案】(1)证明：连接BD，OD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ABD+∠ODA=90°，

∵∠ABD=∠ACD，∠ACD=∠ADF，

∴∠ADF=∠ACD，

∴∠ADF+∠ODA=90°，

即∠ODF=90°，

∴OD⊥DF，

∴OD为⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

(2)解：∵DF/​/AB，

∴ACAF=410510=45，

∴设AC=4x，AF=5x，

∵∠AFD=∠DFC，∠FDA=∠FCD，

∴△FAD∽△FDC，

∴FDFC=FAFD=ADCD，

即FD9x=5xFD=AD9105，

解得FD=3【解析】(1)连接BD，OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD，而∠ACD=∠ADF，则∠ADF=∠ACD，所以∠ADF+∠ODA=90°，则OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论；

(2)根据平行线分线段成比例定理，由DF/​/AB得到ACAF=45，设AC=4x，AF=5x，再证明△FAD∽△FDC，根据相似三角形的性质得到FD9x=5xFD=AD918.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y=mx，得：4=m1，

解得：m=4，

∴反比例函数的表达式为y=4x，

∴n=4−4=−1，

∴B(−4,−1)，

把A(1,4)，B(−4,−1)代入y=kx+b，得k+b=4−4k+b=−1，

解得：k=1b=3，

∴一次函数的表达式为y=x+3；

(2)i)如图，过点P作PH/​/y轴，交AB于点H，

设P(t,4t)，则H(t,t+3)，

∴PH=t+3−4t，

∵S△PAB=15，

∴12PH⋅(xA−xB)=15，即12(t+3−4t)×5=15，

解得：t=−1或t=4(舍去)，

∴点P的坐标为(−1,−4)；

ii)存在点Q，使△QAB与△ABP相似．

设直线BP的解析式为y=k′x+b′，则−4k′+b′=−1−k′+b′=−4，

解得：k′=−1b′=−5，

∴直线BP的解析式为y=−x−5，

∵直线l/​/PB，

∴设直线l的解析式为y=−x+d，把A(1,4)代入，得：4=−1+d，解得：d=5，

∴直线l的解析式为y=−x+5，

设Q(n,−n+5)，其中n<1，如图，过点A作AG//y轴，AE//x轴，过点B作BC/​/x轴，交AC于点C，交PH于点D，过点Q作QE/​/y轴，交AE于点E，

则∠C=∠E=∠BDP=90°，AC=4−(−1)=5，BC=1−(−4)=5，BD=−1−(−4)=3，PD=−1−(−4)=3，AE=1−n，QE=−n+5−4=1−n，

∴△ABC、△BPD、△AQE都是等腰直角三角形，

∴BP=32，AB=52，AQ=2(1−n)，

当△ABQ∽△BAP时，

则AQAB=BPAB【解析】(1)把A(1,4)代入y=mx，可求得反比例函数的表达式，进而求得n的值，再运用待定系数法求得一次函数的表达式即可；

(2)i)过点P作PH/​/y轴，交AB于点H，设P(t,4t)，则H(t,t+3)，根据S△PAB=15，建立方程求解即可得出答案；

ii)运用待定系数法可得直线BP的解析式为y=−x−5，直线l的解析式为y=−x+5，设Q(n,−n+5)，其中n<1，分两种情况：当△ABQ∽△BAP时，当19.【答案】x−1

解：∵A=x−2x−1x，B=x−1x，

∴A÷B=(x−2x−1x)÷x−1x

=x2−2x+1x⋅xx−120.【答案】2.7

解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，

∴估计点落入黑色部分的概率为0.7，

∴估计白色部分的总面积约为3×3×(1−0.7)=2.7(cm2)，

故答案为：2.7．

先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右可估计点落入黑色部分的概率为0.7，再乘以正方形的面积即可得出答案．21.【答案】12

解：设最小距离为m，最大距离为n，

由根与系数的关系得，

m+n=−−12aa=12，

∵P是⊙O内一点，

∴点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径，

即圆的直径是12，

故答案为：12．

由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的直径．22.【答案】12解：如图，过点D作DH⊥PQ于点H．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∵∠PDQ+∠B=180°，

∴∠PDQ=120°，

∵DP=DQ，DH⊥PQ，

∴QH=PH3，∠DQP=∠DPQ=30°，

∴DH=QH⋅tan30°=3，

∴S△PDQ=12⋅PQ⋅DH=12×6×3=33，

∵PQ=6是定值，∠B=60°，

∴当△PBQ是等边三角形时，△PBQ的面积最大，最大值=34×62=923.【答案】h=−5t2+30t+10解：由题意知，发射点的坐标为(0,10)，球框中心的坐标为(5,35)，

∴−5×52+5m+n=35n=10，

解得m=30n=10，

∴球离地面的高度h(米)与球运行时间t(秒)之间满足的函数关系式为h=−5t2+30t+10；

∵h=−5t2+30t+10=−5(t−3)2+55，

∴抛物线顶点为(3,55)，

由“投射矩”概念可知，当2≤t≤4时，L最小，最小为55−[−5×(2−3)2+55]=5，

当0≤t≤2时，L最大，最大为[−5×(2−3)2+55]−10=40，

∴球入筐前L的取值范围是5≤L≤40．

故答案为：h=−5t24.【答案】解：(1)根据题意得，x≥12(120−x)，

解得：x≥40，

∴x的取值范围为40≤x≤120；

(2)设该企业需要花费y元，

根据题意得，y=400x+100(120−x)=300x+12000，

∵k=300>0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=40时，y=24000，

答：企业最少需要花费【解析】(1)根据A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半得到不等式，解不等式即可得到结论；

(2)设该企业需要花费y元，根据题意得到一次函数解析式，根据余弦函数的性质即可得到结论．

本题考查了一元一次不等式的应用与一次函数的综合，利用一次函数的增减性求最小值是解决本题的关键．

25.【答案】解：(1)当x=0时，y=1，

∴B(0,1)，

当y=0时，x=3，

∴A(3,0)，

将点A代入y=x2+mx−3，

∴9+3m−3=0，

解得m=−2，

∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3，

∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，

∴C(1,−4)；

(2)作B点关于x轴的对称点B′，连接CB′、AB′，

∴∠BAB′=2∠BAO，

∴∠BAC−2∠BAO=∠B′AC，

∵B(0,1)，

∴B′(0,−1)，

∴AB′=10，AC=25，CB′=10，

∴AC2=AB′2+B′C2，AB′=CB′，

∴△AB′C是等腰直角三角形，

∴∠CAB′=45°，

∴∠BAC−2∠BAO=45°；

(3)∵y=kx−k=k(x−1)，

∴直线经过顶点F(1,0)，

设直线PQ与直线AC交于点E，

∴∠FEA=45°或∠FEA=135°，

过点F作FM⊥AC交于点M，连接CF，

∴AN=2，CN=4，

∴AC=25，

∴sin∠OAC=25=FMAF，

∴FM=45，

当∠FEA=45°时，FM=EM=45，

∴EF=4105，

设直线AC的解析式为y=mx+n，

∴3m+n=0m+n=−4，

解得m=2n=−6，

∴直线AC的解析式为y=2x−6，

当2x−6=kx−k时，解得x=6−k2−k，

∴E(6−k2−k,4k2−k)，

∴(6−k2−k−1)2+(4k2−k)2=325，

解得k=1【解析】(1)分别求出A、B点的坐标，再由待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)作B点关于x轴的对称点B′，连接CB′、AB′，根据勾股定理的逆定理判断出△AB′C是等腰直角三角形，再求∠BAC−2∠BAO=45°；

(3)直线经过顶点F(1,0)，设直线PQ与直线AC交于点E，过点F作FM⊥AC交于点M，连接CF，利用直角三角形sin∠OAC=25=FMAF，求出FM=45，当∠FEA=45°时，EF=4105，求出直线AC与直线PQ的交点E(6−k2−k,4k26.【答案】(1)证明：由翻折知，∠APE=∠OPE，

∵FG平分∠PFC，

∴∠PFG=∠CFG，

∵AD/​/BC，

∴∠APF