复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结经营教育乐享［选取日期］复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：Z=x+iyi?=-1,x,y分别称为z的实部和虚部，记作x二Re(z),y二工m(z)。argz=©i①称为主值-k<©i<k,Arg=argz+2kn。利用直角坐标和极坐标的关系式x-rcosd,y二rsinB,故z二rcosB+irsinB；利用欧拉公式二cosB+isinB。z=rel0o1.定义法求积分：定义：设函数w二f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=zo,zi，…，zk_Pzk,…,zn=B,在每个弧段Zk421<(1<=1,2—0上任取一点靛并作箱*sj；-J，)⑵-Zk」)二线T「(耳)4Zk记AzqZk-Zk-1，弧段Zk_!Zk的长度max&1<k<n{Z\Sk}(k=1,2…,n),当5-0时，不论对c的分发即盘的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：Jcf(z)dz=?哈--嗑)心设C负方向(即B到A的积分记作)Jc—f(z)dz当C为闭曲线时，f(z)的积分记作M(z)dz(C圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分D,cdz2)Jc2zdz,其中。表示。到b的任一曲线。(1)解：当C为闭合曲线时，(dz二o.Vf(z)=lSn="-J(Jk/k-Zk-i)二b-alimSn d7AnOf二b-a,即"c=b-a.(2)当C为闭曲线时，(dz二o.f⑶=2z;沿C连续，则积分,cZdz存在，设第Zk.i,则「2：1Z(k-1)( 、El二「I (Zk-Zk-1)有可设盘二Zk，则L2=或-1Z(k-l)⑵工一1)因为Sn的极限存在，且应与J及工2极限相等。所以Sn二(£1+。);Lk-lZk(Zk-Zk-l)zb2-a2Jc2zdz=b2-a21.2定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy带入)』(z)dz得：J；f(z)dz二 JcUdX_vdy+J/dX+udy再设z⑴=x⑴+iy(t) (awt<0)Jcf(z)dz=J^f(z(t))z(t)dt参数方程书写:z=zo+(zi-zo)t(0<t<l)；z=zo+reie，(O<0<2n)

例题1： .*"dz积分路线是原点到3+i的直线段解：参数方程z=(3+i)tJ「z2dzJ；[(3+i)t]2[(3+i)tYdt=(3+i)3*dt26=6+3i例题2：沿曲线y二x2计算々+iy)dz(x=t解：参数方程卜二F或z=t+it2[0<t<l)+i(x2+iy)dzj；(t2+it2)(1+2it)dt=(l+i)['o"dt)dt+2j^otd,5=-6+6j1.3定义衍生2重要积分结果:z=z0+re,e,(0<6<2tt)由参数法可得:-in6de$ pnIre10-in6dec(z-z0)n+1_0ei(n+i)orn^d0=^J0ef - f 2nin=0c(z-z0)n+1=[0nwOf—例题1：T|z|=lz-2例题2：解:解 二2ni解:.柯西积分定理法：柯西-古萨特定理：若f⑵dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：

定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点Zo与终点Z1来确定。闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，G在C的内部，且以复合闭路r=C+G所围成的多连通区域G全含于D则有：外⑵dz二如z)dz+2f(z)dz二0即如z)dz』f(z)dz推论:2f(z)dz=£；=i叮(z)dzr2z—1例题速兀dz 0为包含。和।的正向简单曲线。解：被积函数奇点Z二0和ZE.在C内互不相交，互不包含的正向曲线Q和C2。2z—1r2z—1—；dzyk—;dzclz(l-z)+c2z(l-z)r1 1 r1 14n+Rz+，n+Rz=O+27ri+27Ti+O二4ni原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点zo与终点zi有关，即JcQM='Zof(9dg这里的Z］和Z0积分的上下限。当下限Z0固定，让上限Z1在B内变动，则积分在B内确定了一个单值函数F(Z),即F(z)JzJ&)d4所以有若f(z)在单连通区域B内解析,则函数F(z)必为B内的解析函数,且F&)=f(z).根据定理2.2和2.4可得⑵dz二f(zD-F(zo).例题:求「zcoszdz解：函数ZCOSZ在全平面内解析J^zcoszdz•|'J：sinzdz•。二zsinz®oI1二isini+cosz'°=isini+cosi-1e-1-le-1+l=i2i+2i-1=e"-l此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。柯西积分公式法：设B为以单连通区域，zo位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数不在zo不解析,所以在B内沿围绕Zo的闭曲线C的积分e-z。一般不为零。 取Z0位中心，以5>0为半径的正向圆周W-ZoLm立积分曲线为,由于f(z)的连续性，所以(f(z)rf(z)Jcz-z。Z=c5z-ZOZ=27rif(zo)定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D,zo为C内的任一点，有：1rf(Z)f(zo)=2mz-z°£ 叱d7 九7一F-dz例题：1)，z|=2zGZ 2)|z|=2(9_z，z+i)z

2£ 9-z，,(p d?解：=2ttisinz|z=o=O解：=y|z|=2z-(-i)zIT=27ri9-z2|z=-i=5解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为n!$f(z)f(n)(zo)二如|(z-zo)皿Idz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D内围绕zo的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.f—dz例题：c严C：|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：1 nni原式=2rri.&(ez)(4)|z二，二适3.解析函数与调和函数：定义：(1)调和函数：如果二元实函数穴x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：屋3d2(p六+彳二0,则称仅x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确(2)共轨调和函数：u(x,y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共辗调和函数。若v是u的共辗调和函

数，则-U是V的共胡调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共辗调和函数。求解方法:Oudv(1)偏积分法：若已知实部U二u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数云二百两drdvzdudrdvzduOx」社4丫+g(X)=-dy从而边对y积分得vJ去dy+g(x).再由近二一狼又得g(x)J【-＞。。丫限+6：rd\l rdUdrdUv=oxdy+।一的一oxoxdyQx+C同理可由v(x,y)求u(x,y).不定积分法：因为f&"Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVx所以f(z)」U⑵dz+cf⑵」V(z)dz+c线积分法：dvdvOurdu若已知实部u二u(x,y),利用C-R方程可得的dv二板dx+而dy=-而dx+)版dy故虚部为f(x,y)0u,仇/V=(x°y。，＞dx最dy+c该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共辗函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x/y)dudududuq2令q2dx二2Oy二-20x=2x+y四=-2y+x所以满足拉普拉斯方程,

dvdwoy=dvdwoy=2y-xdvdu0y=0x=2x+y2X所以v」(2y・x)dx+(p(y)=2xy-万+(P(Y)dv,，，y=2x+3(y)=2x+yTOC\o"1-5"\h\z2z y_(p(y)=y<p(y)=2+c2 22L.Lv(x,y)=2xy-2 2+cf(z)=u(xzy)+iv(xzy)=2(2-i)z+iC4.留数求积分：留数定义：设Zo为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、O<lz-zol<5，我们把f(z)在zo处的洛朗展开式中负一次幕项系数c_i称为f(z)在zo处的留数，记为Res[f⑵,zo]即Res[f(z)zz0]=c.i或者Res[f或者Res[f⑵,zo]二，c‘(Z)dzC为O」z-Zo|<5留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点Z1Z2…Zn,M(z)dz=27Tg=iRes[f(z)/k]其中Zk表示函数f(z)的孤立奇点孤立奇点：定义：如果函数/(z)在Zo不解析，但在Zo某个去心邻域O」z-Zol<3内解析，则称Zo1 1 1为f(z)的孤立奇点。 例如£、e'都是以z二0为孤立奇点函数(z+i)(Z+2)以z=-1、z-2为孤立奇点 在孤立奇点Z二Z0的去心邻域内，函数f(z)可展开为洛朗级数

/(z)=^n=-ooCn^z-zo^洛朗级数中负累项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在Z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点Zo的类型：可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幕项，即对一切n<0有Cn=O,则称Zo是f(z)的可去奇点因为没有负幕项,即jfO,(〃二1,2.…・)故5=0。遇到函数千②由奇点类型是可去奇点，一般对函数£⑵求积分一般为零-f(z)dz=2滔；=iRes[f⑵,ZkLo。判断可去奇点方法:⑴函数f(z)在某个去心邻域O1z-z0|<5内解析，则Zo是f⑵的limf(z)可去奇点的充要条件是存在极限ZTZ。 二Q,其中Co是一复常数；(2)在⑴的假设下，zo是f(z)可去奇点的充要条件是：存在r<3,使得f(z)在oJz-ZoJ内有界4.2.2极点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有限个负幕项，即有正整数m,c_m/O,而当n<-m时c_n二o则称Zo是f(z)的m级极点。TOC\o"1-5"\h\zC-mC-m+〔 Ci/ 、m/xm+1其洛朗展开式是：f(z)二(*勺)+(Z-ZO) +...+Z-Z0+Co+C1(Z_Zo)^m+...+Co(z_Zo)nJm J*这里C_m/0，于是在o/z-ZqI(§有/ 、这里C_m/0，于是在o/z-ZqI(§有f(z)=[(z-z0)+(z-z。) +…z-z°)C-1z-z°)+Z-z0+Co+Ci(Z-Zo)，＞rn+•••+Co(z-Zo)n+•••]=夕⑵一个在O」z-Zol〈B解析，同时叩(z)#o,则Zo是f(z)的m级极点。判断定理：(1)f(z)在zo的去心邻域O」z-z°l油解析，zo是f(z)的m级极点的充要limf(z)条件是可以表示成*的形式。(2)zo是f(z)的m级极点的充要条件是ztz。=8.4.2.3本性奇点：若函数f(z)在孤立奇点zo的去心邻域内洛朗级数展开式中只有无限个负幕项，则称Zo是f(z)的本性奇点limf(z)判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限ZTZ。。4.3函数在极点的留数：准则一：若Zo为一级极点，则limf(z)(z-z0)Res[f(z)/Zo]=ztz。准则二：做Zo为m级极点，则1 .d111'1(m_ 必m_iRes[f(Z)/Zo]=Zfdz{(z-zo)mf(z)}P(Z)准则三:设f(z)二词,P(z)以及Q(z)都在Zo解析,如果P(Zo)=O,QQo)学0,则zo是f(z)的一级极点，而且：P(Z0)Res[f(z),zo]=Q&)4.4无穷远处的留数：定义：扩充z平面上设z二8为f(z)上的孤立奇点，即f(z)在％团<+8内解析，c为圆环绕原点z二0的任一条正向简单闭曲线，则积分值1£2mJc-i称为f(z)在Z=8处的留数，记作Res[f(z),8]=斓c-if(z)dz如果f(z),在R〈|z|<+oo内的洛朗展开式为y00 nf⑵产练=一8%Z贝惰小什⑵,叫二9如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远处在内)设为zi,Z2,Zn，8则f(z)在各奇点的留数总和为零，即线=於卜⑵dz】+Res[f⑶,8];o；1.14.4.2 Res[f(z),8]二・Res[fG)z\o]例题：求下列Res[f(z),8]的值ez 1(1)f(Z)=z2-1 (2)f(z)=z(z+l)4(z-4)解：(1)在扩充复平面上有奇点：±1,8,而±1为f(Z)的一级极点且Zlim(z-l)f(z) 1Res[f(z),l]:zTi =zti 二2ez

lim(z-l)f(z)lim三二-iRes[f(z),-1]二zT-i 二zti'二_2VRes[f(z)/°°]+Res[f(z)zl]+Res[f(z),-l]=O得1--1Res[f(z)/°°]=-{Res[f(z),l]+Res[f(z)/-1]]=2(e+e)=-shli.1 1i ](2)由公式Res[f(z),8]=_Res