数值分析试题与答案

武博利依夫•堂试题

2009年~2010年第一学期

课程名称：数值分析专业年级：2009级(研究生)

考生学号：考生姓名：

试卷类型：A卷JB卷口考试方式：开卷J闭卷口

一.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

1.设有节点小,芯,马，其对应的函数y=/(x)的值分别为即%，内，则二次拉

格朗日插值基函数《⑺为o

2.设“X)=/，则“X)关于节点/=0,玉=1,々=3的二阶向前差分

为。

4.〃+1个节点的高斯求积公式的代数精确度为o

二.简答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

1.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

2.什么是不动点迭代法？夕(x)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点

迭代序列收敛于0(x)的不动点？

3.设n阶矩阵A具有n个特征值且满足国＞源性囚N…N|&|,请简单说

明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。

三.求一个次数不高于3的多项式八(x),满足下列插值条件：

123

2412

X

X,3

并估计误差。(10分)

四.试用"=1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分/=f」一dx。（10分）

五.用Newton法求/'（X）=x-cosx=。的近似解。（10分）

六.试用Doolittle分解法求解方程组：

25-6王10

413-19X2=19(10分)

-6-3-6-13一_-30_

20xj+2X2+3X3=24

七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组玉+8々+当=12的迭代格式，并

X

2x}-3X2+153=30

判断其是否收敛？（10分）

八.就初值问题!考察欧拉显式格式的收敛性。a。分）

Iy（o）=%

《数值分析》（A）卷标准答案

(2009-2010-1)

填空题（每小题3分，共12分）

[/\(x-x\x-x)

1.=]22.7；3.3,8；4.2n+l。

0。0一%)(%一々)

二.简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1.解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4分）

对于对称正定阵A,从%=ZL媒可知对任意44i有1/注IW扃。即L的元素不

会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4分）

2.解：（1）若X*=,则称X*为函数°（x）的不动点。（2分）

（2）°（x）必须满足卜列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于

9（x）的不动点:

1）e（x）是在其定义域内是连续函数;（2分）

2）e（x）的值域是定义域的子集；（2分）

3）8（x）在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）

3.解：参照嘉法求解主特征值的流程（8分）

步1：输入矩阵A,初始向量vO,误差限%最大迭代次数N;

步2：置k:=l,u:=0,uO=vO/||vO||00;

步3：计算vk=AukT;

步全计算㈤卜鬻|口;

并置mk:=[vk]r,uk:=vk/mk;

步5：若|mk-u|<£,计算,输出mk,uk；否则，转6；

步6：若k〈N,置k:=k+l,u:=mk,转3；否则输出计算失败

信息，停止

三.解：（1）利用插值法加待定系数法：

设小（X）满足“2（1）=2,小（2）=4,幺（3）=12,贝I」上（X）=3x2_7x+6,（3分）

（3分）

再设p3(x)=.2(X)+K(X-((X-2)(X-3)

K=2（1分）

%(x)=2x3-9x2+15x-6（1分）

(2)/?3(X)=\/(4)⑷(X-1)(X-2)2(X-3)

（2分）

四.解：应用梯形公式得=g[/(O)+/0)]

（2分）

=0.75（1分）

应用辛普森公式得：八八2f（O）+4f出+川）（2分）

6

=0.69444444（1分）

应用科特斯公式得：

/*$[7“。)+32巾+12佃+32/图+7/(1)

（2分）

=0.6931746（2分）

7T

五.解：由零点定理，x—cosx=0在（0,一）内有根。（2分）

2

由牛顿迭代格式x„+1=x„--Y°sx"〃=0,1,（4分）

1+sinxn

7T

取得,

X1=0.73936133;x2=0.739085178

（3分）

x3=0.739085133x4=0.739085133

故取x**乙=0.739085133（1分）

六.解：对系数矩阵做三角分解:

2MI2

4“22（2分）

—6

A=（4分）

若Ly=b,则％=10,y2=-l,y3=4；（2分）

若Ux=y,则x=(3,2,11。（2分）

七.解：（1）对于方程组,雅可比方法的迭代矩阵为

00.5-0.5

B=-10-1（2分）

0.50.50

其特征多项式为det（2/-5）=A（22+1.25）,且特征值为

4=0,4=V1-25z,4=—VL25Z（2分）

故有0（8）=1.25>1,因而雅可比迭代法不收敛。（1分）

（2）对于方程组，Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为

-00.5-0.5'

B=0-0.5-0.5（2分）

00-0.5

其特征值为4=0,4=4=0.5（2分）

故有0（8）=0.5<1,因而雅可比迭代法收敛。（1分）

八.证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）

1.证：该问题的精确解为了（》）=%/"（2分）

欧拉公式为=y+〃/1%=(l+2A)y,.（2分）

对任意固定的x=x{=ih,

有％=%（1+助）”'=%［（1+几〃产"产，（2分）

则%/*=M七）（1分）

5ra

2.证：牛顿迭代格式为七山=—+:,"=0,1,2,…（3分）

66%

因迭代函数为e（x）=&+-^7,而夕'（x）=3+'T,又x*=加，（2分）

66x63x

则

故此迭代格式是线性收敛的。（2分）

《数值分析》参考解答

三.计算题（每小题7分，共42分）：

1.设f（x）=ex,试构造基函数求/（x）的2次插值多项式6（x）,满足:

舄（0）=/（0）,八'⑼=尸⑼,尸2⑴=/（!）.

解设2（x）的基函数为4为）,4（%）,#0。），则它们满足下列关系（1分）

X01X0

6（X）1e*1

«oW10a0（x）0

01a；(x)0

/）（x）00瓦(x)1

（2分）

a()(O)=co=1

⑴令a0(x)=g%2+dX+C。，则有<441)=劭+/+<:0=0,

。0(°)=%=。

即%=-1也=O,Co=1.所以％(■«)=-+1.

或由4⑴=0,先得a()(x)=(X-1)(履+/).

再由a0(0)=l,得一/=1,即/=—1.由a(；(0)=l,得/一左=0,即k=/=—1.

所以g(X)=—(X—l)(x+1)=—x~+1.(1分)

ax(0)=C[=0

(2)令+ax+q,则有<%⑴=%+4+<?]=1,

<7,(0)=4=0

即%=1,4=0,q=0.所以必(无)=心.

或由%(0)=况(0)=0,先得%。)=履2.再由%⑴=1,得k=l.

所以%(x)=x2.(1分)

>o(O)=c2=O

(3)令4(x)=%/+%x+C2,则有《用⑴=&+与+Q=0，

商0)=%=1

即。2=-1力2=1,，2=0.所以/?o(X)=-x)+X

或由用(0)=用⑴=0,先得4(x)=kx(x-l).

再由片’(0)=1,得一女=1,即女=一1.所以£o(x)=—x(x—l)=—x?+x(1分)

2

最后得P2(x)=f(O)ao(x)+/(l)a,(%)+/'(O)/?o(x)=(e-2)x+x+1.(1分)

2.求f(x)=3x3+2x2+x在区间[-1,1]上的2次最佳一致逼近多项式；

解设所求的2次最佳一致逼近多项式为g(x).令。(x)=；[/(x)-P；(x)].(2分)

1.1

则。(x)的首项系数为1,并且当。(x)=§"(x)—g'(x)]=57T3(x)时，。。)与0的偏

差最小，即/(x)与g(x)的偏差最小.(2分)

因为[—1,1]上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为7；(X)=4X3—3X.(1分)

3a13

所以尸2*(x)=/(x)--T.(x)=3x3+2x2+x-(3x3一一x)=2x2+~x.(2分)

444

3.利用龙贝格公式计算定积分(计算到与即可)：

JJ-+2公・

：

解/(x)=V7+2,xe[-l,7],Tx=―[/(-1)+/(7)]=16,(1分)

7；=17；+-|/(3)=8+4x75=16.94428,

T4=172+[/(I)+/(5)]=8.47214+2x(73+77)=17.22774,

12

，=2，+2"（°）+八2）+，（4）+7（6）1

=8.61387+V2+2+V6+V8=17.30599,（2分）

414

^=-^--^=17.25904,5,=-7；-=17.32223,

41

T（分）

S4=-L,--T4=17.33207,2TSCR

C,=—5,-—5,=17.32644,n=l1617.2590417.3264417.33283

1152151

n=216.9442817.3222317.33273

C=-5-—S,=17.33273,

2154152n=417.2277417.33207

641n=817.30599

/?.=-C-—C,=17.33283.（2^）

'632631

4.利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长力=0.2计算）

Jy'=y+x（i<x<1.6）

[y⑴=1.

解令/（x,y）=y+x,则改进的尤拉公式为:

（匕，得）+/（乙（

%+1=%+5/+h,yll+hfxn,yn^]（2分）

1।（2+7）力（2+h）hh2

（2分）

2y„+—2~/+万.

取人=0.2得，%+|=1.22%+0.22x„+0.02.（1分）

计算结果如下:

]

L2L46|

2.0652

L62.84754

（2分）

5.用牛顿法求方程/（x）=?-3r-2=0在x0=3附近的根（只要求迭代2步）。

解牛顿迭代公式为：七用=%-型）

（2分）

/（X"）

=XX；一乙一2

（2分）

"3U„-1）,

取迭代初值为％=3,则迭代结果如下表所示:

nX"

LEJ3

2.33333

2.05555

（3分）

6.写出解如下线性方程组的高斯―塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应

怎样处理才能得到收敛的高斯―塞德尔迭代公式？

2x-3X=0,

Vl2

3玉+2X2=1.

2-320000-30

解A,O=，L，u=,b=（1分）

320230001

——I—

0120

则=（1分）

2]--32

G^(D-LY'U2003106

得（1分）

()4-320040-9

f=(D-Ly'b=^_2oiroiiro

32山「山（1分）

(k+i)[k}4

X=GX+f=X®+i为高斯-塞德尔迭代公式.（1分）

_9—

o

这时G的2个特征值为4=—“4=0,故P（G）>1,迭代法不收敛.（1分）

2x,-3x=0,,3匹+2X=1、3

若原方程2改写成为2.；9。,这时人是严格对角

3玉+2X2=12

优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛.（1分）

四.证明题（每小题9分，共18分）：

1.证明本试卷第三大题（即计算题）第1小题的插值余项：

/,1

R式x）=/（x）—8（x）=（x—1）（0<J<1）,并有误差估计IR,（%）1<

68

证：方法一：因为&（x）=/（x）—A（x）,则0」是"（X）的零点且。为二重的，（1分）

于是可设&（x）=Mx）/2.（x—1）,令W）=/Q）—6⑴―k（x）产Q—（2分）

则帕)有4个零点：0,0,1,x,连续使用三次罗尔定理,则至£(0,1),使，©=0,(2

分)

即/'篇)一左。)・3!=0=%。)=^~^=一，得凡(x)=—・x2-(x-l).(2

3!66

分)

方法二：设帕)=f(t)-P、3/0一1在)产(f—1),则0Q)有3个零点0,1,X,(1

x(x-1)

分)

”(f)有2+1个零点，。，⑺有一个零点，所以0=，⑹=f'C)-一£⑴3!(2

x2(x-l)

分)

/'•©)=)(?一，(x)3!(2

x2(x-l)

分)

22

f(x)-P2(x)=1f"(x)x(x-1)=1e^x(x-1),即夫2(犬)=，/・(xT).(2

分)

g_________—19

最后1/?2(1)1=幺/(1一%)<£1Jx(l-X)23X+(D/c

~66L62J8

分)

2.证明：求积公式173人“(一，|)+9(0)+初出)恰有5次代数精度.

证：当/(x)=l时，fJ(x)公=[ld(x)=2,

|/(-^|)+1/(o)+|/(J|)=|-i+|/(o)+1-i=2；a分)

「2T

当/(x)=x时，f|/(x)dx=J]Xd(x)=—=0,

11L2L

2与+Q⑼+“◎+灌)=。；°分)

当/(x)=l2时,，J(x)dx=『//(x)=—

““L3J-1

5~3、8,仆5,,3、5,3、28,小5Z3,2

分)

当/(1)=九3时,^f(x)dx=f/d(x)=0.

*假+袅(。)+*唱)=|(-砂+9(。)+海)3=。；

(1

分)

「32

HH4

当/(x)=/时，y(/(x)Jx=£xJ(x)=—=-,

2岛+*）+21）=汨IT加到w

(1

分）

当/（外=/时,^f（x）dx=£x5J（x）=0,

3”1）+"⑼+端檄=8

(1

分）

即求积公式对次数不超过5的多项式准确成立，但当/。）=/时，

fJ（x）dx=[产明（了）=、=亍，

5f..（13.+8m，小、+5f..（[3.）=5（.反6+8/，（小、）+5.[3,6,

9~P99\59~P9°9W6=石’不成工(2

分）

综之，求积公式具有5次代数精度.(1

分）

数值分析试题1

1.已知X；=325413,X；=0.325413都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）

解：

由已知可知,n=6

X；=0.325413x1（）6#=6,左一"=0,绝对误差限句=1x10°=0.52分

乂；=0.325413乂10°«=0,左一〃=一6,绝对误差限£2=；'10-62分

100

2.已知己=024求|即,1413Ml2(6分)

0-24

/MT.

Ml=max{1,4,8}=8,1分

ML=max{1,6,6}=6,1分

I矶=兀历）1分

100100100

ATA02-20240802分

0440-240032

Amx(A'A)=max{l,8,32}=321分

=V32=4V2

||A||2

3.设/(1)=(1一〃1(6分)

①写出f(x)=0解的Newton迭代格式

②当a为何值时，X"1=9(x«)(k=0,l……)产生的序列{xj收敛于行

解：

.....”4)a；-。)'_5x«a

A.+1—X.-----------X.-----------------——----r-..

①Newton迭代格式为：八八)64(4—4)66xk3分

/、5xa

(p(x)=—+—

6ox

②*<x）=3—1，当卜（亚）|=3二£<1,即一2<。<22时迭代收敛3分

66x*1112

-321「3一

4.给定线性方程组Ax=b，其中：A=,b=用迭代公式

12-1

RAD=x“）+。出—Ax（*））（k=O,i……）求解Ax=b,问取什么实数a,可使迭代收

敛（8分）

1—3ct—2a

公式的迭代矩阵为B=I-aA=2分

—a1-2a

A—(1—3a)2a

其特征方程为同==02分

w_a??.—(1—2<z)

即，解得％=1—a,4=1—4a2分

要使其满足题意，须使0（6）<1,当且仅当0<a<0.52分

12-人"讨论解此方程的3迭代法的收

5.设方程Ax=b,其中A=111

221

敛性，并建立Gauss-Seidel迭代格式（9分）

解：

A=L+D+U

ro-22

Bj=-D-'(L+U)=-10-13分

-2-20

IA/—B,I==0,4=4=4=()2分

即P（5,）=0<1,山此可知Jacobi迭代收敛1分

Gauss-Seidel迭代格式：

xf+D=5一24)+2%?

-老)(k=0,1,2,3....)3分

„(*+!)_7_9r(A+l)_9r(t+1)

43—/乙人］乙人

6.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组：Ax,="（i=l,2,3）其中

21I4

A232，仇=L=X],=X9（12分）

234

解:

1

1=LU3分

2

10044

由Ly=b1,即1107得丫=1分

1119

21141

由Uxl=y,即021xl=3得xl=2分

0022

②AX2=b2

001

10y=1得y=01分

111

21110.5

由Ux2=y,即021x2=0得x2=02分

00200

③AX3-h3

2110.5

232x3=0

2340

'100'0.5''0.5

由Ly=b3=x2,即110y=0得丫=-0.51分

11100

-21r-0.50.375

由Ux3=y,即021x3=-0.5得x3=-0.252分

002_00

XI-101

-1

yi01

7.已知函数y=f（x）有关数据如下：丫丫

要求一次数不超过3的H插值多项式，使“3（玉）=%，”3（玉）=%（6分）

作重点的差分表，如F：

ixif(xi)

0-1-1

1201

10-1

21123分

2

H式X)=/[x0]+/[x0,x1](x-x0)+/[x0,xl,xl](x-x0)(x-x1)+/[x0,x1,xl,x2](x-x0)(x-xl)

=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)

=2x3+x23分

xi0123

8.有如下函数表：f（xi）491625

试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）

解：

M(x)=++(―。

=4+5x+x(x-l)

=x2+4x+44分

9.求取）=*在［-1,1］上的二次最佳平方逼近多项式6（x）,并求出平方误差（8分）

解：

2

令8(x)=劭+a]x+a2x2分

取m=l,n=x,k=x:计算得:

(m,m)==0(m,n)=yxdx=\(m,k)=(j2dx=o

(n,k)=[x'c^xdx=\

lx=0.5(k,k)=(m,y)=

(n,y)=1户[3"=0.5

戊二0(k,y)=

4=1

得方程组：■〃o+0.5〃2=03分

0.5q=0.5

解之得即=C,%=1,〃2=—2c（c为任意实数，且不为零）

即二次最佳平方逼近多项式尸2（x）=c+x-lex21分

2

平方误差：例；=||/-P||'=|f|；-l>i@，y）=2分

2j=0-3

10.已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson公式计算乃=的近似值（保

留小数点后三位）（8分）

Xf(x)=4/(l+x"2)

0.0004.000

0.1253.938

0.2503.765

0.3753.507

0.5003.200

0.6252.876

0.7502.560

0.8752.265

1.0002.000

解£

）i复合梯形公式:

n=初(。)+2吗+冲+吗)+尺)+/)+吟+4)]+/(1)}

=3.1394分

用复合Simpson公式：

54=如(0)+叫)+**«)]+2[心+怜+吟]+阿}

=3.1424分

11.计算积分/=fsinxdx,若用复合Simpson公式要使误差不超过金xlO-5,问区间

［0,二7T］要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间［0,TT2］应分为多少等

22

分？(10分)

：①由Simpson公式余项及f(x)=sinx,/">(x)=sinx

71

I/?„(/)!<2(二)4max|/<4,(x)k—(-)4(-)4<-xl0-52分

।"I1804〃04城13604n2

2

即〃42665,〃25.08,取n=62分

［，(

即区间0,刍分为12等分可使误差不超过xlr51分

22

②对梯形公式同样max|/”(x)Kl,由余项公式得

0<x<-

2

兀

K(7)|<—(―)<-xio-52分

1"112In2

即“N254.2,取”=2552分

即区间[。苧分为51。等分可使误差不超过9M

1分

12.用改进Euler格式求解初值问题'巾"=°要求取步长卜为0」,计算丫（w

7（1）=1

的近似值（保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89]（6分）

改进Euler格式为：

y“+i=%+妙(x“，y“)

h~

%,+i=%+，y“)+/(x.+i，%+i)1

于是有

)'“+i=y“-o」(y“+Wsinx“)

(n=0,1,2....)2分

-

2-2

yn+i=-0O5(y“+y„sinx„+yn+1+yn+lsinx„+l)

由y(i)=y()T，计算得

<y,=l-0.1(l+l2sinl)=0.816

y(l.l)«y,=0.838

即y(l.l)的近似值为0.838

13.即（x）ee（a,b）,定义：=lim/[x,/],证明：f[x0,x0]=/'[x0]

XfM

■■（4分）

lim'[%]=lim/[x,x0]=f[x0,x0]

XTX。X-XoXT/4分

故可证出/[Xo，/]=f'[x0]

14.证明：设AeR"、"，M为任意矩阵范数，则夕（6分）

、，.□

-UH•

设几为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=/lx1分

且「缶）=冈，若X是实数，则x也是实数，得=1分

而同中小||H*H4故州|x|141Ali悯2分

由于卜|卜0,两边除以|x|得到曰＜||A||1分

故「(A)4Ml1分

当4是复数时，一般来说X也是复数，上述结论依旧成立

数值分析试题2

1、（本题5分）试确定工作为万的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。

7

2?

解因为——=3.142857…=0.3142857…x1（）7

7

乃=3.141592…

所以

22

7T-------=0.001264…<0.005=」xl0-2:--xlO1-3（2分）

722

这里，m-0,m—n+\--2,n-3

由有效数字的定义可知工作为力的近似值具有3位有效数字。（1分）

7

而相对误差限

乃_22

j=----=0-001264-"»0.0004138<0.0005=-x10-3（2分）

7t7t2

'2-1

2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：-12

,13

「2-11、(1丫1£

=A=LDlJ=,32

解设-123G1d21

341,321人W人

由矩阵乘法得:

527

d、=2&=—,&=

-25

（3分）

,__1