数字信号处理(高西全丁美玉第三版)课后答案

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西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案

1.2教材第一章习题解答

1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。

解：

x(n)(n4)2(n2)(n1)2(n)(n1)2(n2)4(n3)

0.5(n4)2(n6)

2n5,4n1

2.给定信号：x(n)6,0n4

0,其它

(1)画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；

(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列;

(3)令xl(n)2x(n2),试画出xl(n)波形;

(4)令x2(n)2x(n2),试画出x2(n)波形;

(5)令x3(n)2x(2n),试画出x3(n)波形。

解：

(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。

(2)

x(n)3(n4)(n3)(n2)3(n1)6(n)

6(n1)6(n2)6(n3)6(n4)

(3)xl(n)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(二)所

/J,sO

(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(三)所

示。

(5)画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图(四)

所

3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

3(1)x(n)Acos(n),A是常数；78

(2)x(n)e

解：

lj(n)801

37

2w

143

(1)w(2)w

,,这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；

12,16,这是无理数，因此是非周期序列。8w

5.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系

统是否是线性非时变的。

(1)y(n)x(n)2x(n1)3x(n2)；(3)y(n)x(nnO),nO为整常数；

(5)y(n)x2(n)；

n

(7)y(n)解：

x(m)o

m0

(1)令：输入为x(nnO),输出为

y(n)x(nnO)2x(nnO1)3x(nnO2)

y(nnO)x(nnO)2x(nnO1)3x(nnO2)y(n)

故该系统是时不变系统。

y(n)T[axl(n)bx2(n)]

axl(n)bx2(n)2(axl(n1)bx2(n1))3(axl(n2)bx2(n2))

T[axl(n)]axl(n)2axl(n1)3axl(n2)

T[bx2(n)]bx2(n)2bx2(n1)3bx2(n2)

T[axl(n)bx2(n)]aT[xl(n)]bT[x2(n)]

故该系统是线性系统。

(3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

令输入为x(nnl),输出为y(n)x(nnlnO),因为

y(nnl)x(nnlnO)y(n)

故延时器是一个时不变系统。又因为

T[axl(n)bx2(n)]axl(nnO)bx2(nnO)aT[xl(n)]bT[x2(n)]

故延时器是线性系统。

(5)y(n)x(n)

22

令：输入为x(nnO),输出为y'(n)x2(nnO),因为

y(nnO)x(nnO)y(n)

2

故系统是时不变系统。又因为

T[axl(n)bx2(n)](axl(n)bx2(n))

2

2

2

aT[xl(n)]bT[x2(n)]axl(n)bx2(n)

因此系统是非线性系统。

n

(7)y(n)

m0

x(m)

n

令：输入为x(nnO),输出为y(n)

x(mn

m0

),因为

nnO

y(nnO)

m0

x(m)y(n)

故该系统是时变系统。又因为

n

T[axl(n)bx2(n)]

(ax(m)bx

1

m0

2

(m))aT[xl(n)]bT[x2(n)]

故系统是线性系统。

6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。(1)

y(n)

IN

N1

x(nk)；

k0

nnO

(3)y(n)

knnOx(n)

x(k)；

(5)y(n)e解:

(1)只要N1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有

关。如果x(n)M,则y(n)M,因此系统是稳定系统。

nnO

(3)如果x(n)M,y(n)

knnO

x(k)2n0IM,因此系统是稳定的。系统是非因

果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果x(n)M,则

y(n)e

x(n)

e

x(n)

e

M

,因此系统是稳定的。

3

7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输

出输出y(n)的波形。解：

解法(1):采用图解法

y(n)x(n)h(n)

x(m)h(nm)

m0

图解法的过程如题7解图所示。

解法(2):采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

x(n)(n2)(n1)2(n3)h(n)2(n)(n1)

12

(n2)

因为

x(n)*x(n)*A

(n)(n

x(n)k)

Ax(n

k)

y(n)x(n)*[2n()n(

所以

1

)2

n⑵]

1

x2n(x)n(l)xn(

2

2)

将x(n)的表达式代入上式，得到

y(n)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2)

4.5(n3)2(n4)(n5)

8.设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出

输出

y(n)o

(1)h(n)R4(n),x(n)R5(n)；

(2)h(n)2R4(n),x(n)(n)(n2)；

n

(3)h(n)0.5u(n),xnR5(n)o

解：

(1)y(n)x(n)*h(n)

m

R4(m)R5(nm)

先确定求和域，由R4(m)和R5(nm)确定对于m的非零区间如下：

0m3,n4mn4

根据非零区间，将n分成四种情况求解：

①n0,y(n)0

n

②0n3,y(n)1n1

m0

3

③4n7,y(n)

mn418n

④7n,y(n)0

最后结果为

0,n0,n7

y(n)n1,0n3

8n,4n7

y(n)的波形如题8解图(一)所示。

(2)

y(n)2R4(n)*[(n)(n2)]2R4(n)2R4(n2)

2[(n)(n1)(n4)(n5)]

y(n)的波形如题8解图(二)所示.

(3)

y(n)x(n)*h(n)

mR5(m)0.5nmu(nm)0.5nmR5(m)0.5mu(nm)

y(n)对于m的非零区间为0m4,mn。①n0,y(n)0n

②0n4,y(n)0.5n0.5

m0

mm10.5n1110.55

10.5(10.5nn1)0.520.5nn4③5n,y(n)0.5n0.5

m010.510.50.5310.5nn

最后写成统一表达式:

y(n)(20.5)R5(n)310.5u(n5)nn

11.设系统由下面差分方程描述:

y(n)1

2y(n1)x(n)1

2x(n1)；

设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。5解:

令：x(n)(n)

h(n)1

2h(n1)(n)1

2(n1)

1

2n0,h(0)

nl,h⑴

n2,h(2)

n3,h(3)1212h(1)(0)121)lh(0)(1)h(l)12(0)1

12112h(2)()22

归纳起来，结果为

Inlh(n)()u(n1)(n)2

12.有一连续信号xa(t)cos(2ft)，式中，f20Hz,

(1)求出xa(t)的周期。2

a(t)的表达式。(2)用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号x

a(t)的时域离散信号(序列)x(n)的波形，并求出x(n)的周期。(3)画出对应x

第二章

教材第二章习题解答

1.设X(e)和Y(e)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换:

(1)x(nnO)；

(2)x(n)；

(3)x(n)y(n)；

(4)x(2n)o

解：

jwjw

(1)FT[x(nnO)]

nx(nnO)ejwn6

令n'nnO,nnnO,则

FT[x(nnO)]

jwn

n

x(n)e

jw(nnO)

e

jwnO

X(e

jw

)

(2)FT[x(n)]

*

n

x(n)e

*

[

n

x(n)e

jwn*

]X(e

*jw

)

(3)FT[x(n)]

n

x(n)e

jwn

令n'n,则

jwn

FT[x(n)]

n

x(n)e

»

X(e

jw

)

(4)FT[x(n)*y(n)]

X(e

jw

)Y(e

jw

证明：x(n)*y(n)

m

x(m)y(nm

FT[x(n)*y(n)]

n

m

x(m)y(nm)]e

jwn

令k=n-m,则

FT[x(n)*y(n)]

[

k

m

x(m)y(k)]e

jwk

jwk

e

jwn

k

y(k)e

jw

m

x(m)e

jwn

X(e)Y(e

jw

)

2.已知X(e

jw

1,wwO

)

0,wOw

求X(e)的傅里叶反变换x(n)。解:x(n)

12

jw

wOwO

e

jwn

dw

sinwOn

n

3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)H(ejw)ej(w),如果单位脉冲响应

h(n)为实序列，试证明输入x(n)Acos(wOn)的稳态响应为

y(n)AH(e

jw

)cos[wOn(wO)]o

7

解：

假设输入信号x(n)ejwn,系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为

jwOn

y(n)h(n)*x(n)

m

h(m)e

jwO(nm)

e

jwOn

m

h(m)e

jwOm

H(e

jwO

)e

上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅

度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

x(n)Acos(wOn)y(n)

1212A[eeA[ee

JJ

jwOn

12

A[e)e)e

jwOn

e

J

e

jwOn

e

J

]

H(e

jwO

J

e

JwOn

H(e

jwO

)]H(e

jwO

)e

j(wO)

jwOn

H(e

jwOj(wO)

ee

jwOn

]

上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数,

H(e

jw

)H(el2

jw

),(w)(w))[ee

J

jwOn

y(n)AH(e

jwO

jwO

e

j(wO)

e

J

e

jwOn

e

j(wO)

]

AH(e

)cos(wOn(wO))

l,n0,1(n),x(n)4.设将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x画出

x(n)和0,其它

(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数xX(k)和傅里叶变换。

解：

(n)的波形如题4解图所示。画出x(n)和x

3

J

24kn

1

2

(k)DFS[x(n)]X

n0j

(n)ex

k

e

n0

kn

1e

J

2

k

4

e

k

(e

J

4

k

4

e)2cos(

4

k)e

j

4

k

(k)以4为周期，或者X

1

jk

2jk

41

ljk2jk41

1jk

2jk

41

(k)X

1

e

n0

J

2

kn

1ele

Jk

J

2

k

ee

(e(e

ee

))

e

Jk

4

1

sinsin

114

k

k

(k)以4为周期X8

24

X(e

jw

(n)])FT[x

k

(k)(w2k)X

(k)(wk)X

2

2k)

k

cos(

4

k)e

J

4

k

(w

5.设如图所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示,不直接求出X(ejw),完成下列运算:

(1)X(ejO)；

jw

(2)

X(e)dw；

(5)解:

X(e

jw

)dw

2

7

(1)X(e)

jO

n3

x(n)6

(2)

X(e

jw

)dwx(0)24

(5)

X(e

jw

)dw2

2

7

n3

x(n)

2

28

6.试求如下序列的傅里叶变换：(2)x2(n)

12

(n1)(n)

12

(n1)；

n

(3)x3(n)au(n),0a1

解：⑵

X2(e

jw

)

n

x2(n)el2(e

jw

jwn

12

e

jw

1

12

e

jw

1

e

jw

)1cosw

(3)X3(e7.设：

(1)x(n)是实偶函数,

jw

)

n

aun(e)

njwn

n0

ae

n

jwn

1

jw

1ae9

(2)x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。解:

令X(e)jw

nx(n)ejwn

(1)x(n)是实、偶函数，X(e)

两边取共钝，得到

jwnx(n)ejwn

X(e*jw)

nx(n)ejwnnx(n)ej(w)nX(ejw)

因此X(ejw)X*(ejw)

上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共辄对称性质。

jwjwnX(e)

nx(n)enx(n)[coswnjsinwn]

由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

n

x(n)sinwn0

因此X(e)jw

n

jwx(n)coswn该式说明X(e)是实函数，且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(e)是实、偶函数。

(2)x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(e)具有共辄对称性质，即

X(e

jwjwjw)X(e*jw)

X(ejw)

nx(n)ejwnnx(n)[coswnjsinwn]

由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么

nx(n)coswn0

因此X(e)j

jwnx(n)sinwn10这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。

10.若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：HR(ejw)1cosw求序

列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。解：

HR(e

jw

)1cosw1

12

e

jw

12

e

jw

FT[he(n)]

n

he(n)e

jwn

1

2,n1

he(n)1,n0

1

,n12

0,n01,n0

h(n)he(n),n01,n1

2h(n),n00,其它ne

H(e

jw

)

n

h(n)e

jwn

1e

jw

2e

jw/2

cos

w2

12.设系统的单位取样响应h(n)anu(n),0a1,输入序列为

x(n)(n)2(n2),完成下面各题：

(1)求出系统输出序列y(n)；

(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解：

(1)

y(n)h(n)*x(n)au(n)*[(n)2(n2)]au(n)2a

n

n2

n

u(n2)

(2)

X(eH(eY(e

jw

))

n

[(n)2(n2)]e

jwn

12e

j2w

jw

n

au(n)e

jw

njwn

n0

ae

njwn

11ae

jw

jw

)H(e)X(e

jw

)

12e

j2wjw

1ae

13.已知xa(t)2cos(2fOt),式中fO100Hz,以采样频率fs400Hz对xa(t)进行

采

a(t)和时域离散信号x(n),试完成下面各题：样，得到采样信号xll

(1)写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j)；

a(t)和x(租的表达式;(2)写出x

a(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。(3)分别求出x

解：(1)

Xa(j)

xa(t)e(e

jOt

Jt

dt)e

2cos(Ot)edt

Jt

dt

e

jOt

Jt

上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以

表示成：

Xa(j)2[(0)(0)])

“a⑴⑵x

n

xat()t(nT)

n

2coOnTs(t)nT(

)

x(n)2cos(OnT),n

02fO200rad,T

Ifs

2.5ms

(3)

A(j)Xa

1T2T

k

Xa(jjks)

[(0ks)(0ks)]

k

式中s2fs800rad/s

X(e

jw

)

n

x(n)e[e

jwOn

jwn

n

2cos(OnT)e

jwn

jwn

n

2cos(wOn)e

jwn

n

e

jwOn

]e2

k

[(wwO2k)(wwO2k)]

式中wOOT0.5rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写

出它

的傅里叶变换表达式。

14.求以下序列的Z变换及收敛域：(2)2u(n1)；

nl2

(3)2nu(n)；

(6)2n[u(n)u(n10)]解：

(2)ZT[2u(n)](3)

n

n

2

u(n)z

n0

2

n

z

n

112

1

z

1

，Z

12

ZT[2

n

u(n1)]

n

2

n

u(nl)z

112z

1

1

n1

2

n

z

n

2

n1

n

z

n

2zl2z

,z

12

(6)

9

ZT[2

n

u(n)u(n10)]

2

n0

n

z

n

12

101

z

101

,0z

12z

2

16.已知：

X(z)

1

312z

1

12z

1

求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。解：

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况:三种收敛域

对应三种不同的原序列。(1)当收敛域z0.5时，

12

x(n)

J

X(Z)z

n1

dz

令F(z)X(z)z

n1

57z

1

1

n1

1

(10.5z)(l2z)

5z7(z0.5)(z2)

z

n

n0,因为c内无极点，x(n)=0；

n1,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有

zl0.5,z22,那么13

x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]

(5z7)zn

(z0.5)(z2)(z0.5)z0.5(5z7)zn(z0.5)(z2)(z2)z2

Inn[3()22]u(n1)2

(2)当收敛域0.5z2时，

(5z7)zn

F(z)

n0,C内有极点0.5；(z0.5)(z2)

Inx(n)Res[F(z),0.5]3()2

n0,C内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有

一个，即2,

x(n)Res[F(z),2]22u(n1)n

最后得到x(n)3()u(n)22u(n1)21nn

(3)当收敛域2z时，

(5z7)zn

F(z)

n0,C内有极点0.5,2；(z0.5)(z2)

Innx(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]3()222

n<0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c

外无极点,所以x(n)二0。

最后得到

Innx(n)[3()22]u(n)2

17.已知x(n)au(n),0a1,分别求：

(1)x(n)的Z变换；

(2)nx(n)的Z变换；

(3)au(n)的z变换。

解：nnl4

(1)X(z)ZT[au(n)]n

nau(n)znn11az1,za

(2)ZT[nx(n)]zd

dz

X(z)az112(1az)

n,za(3)ZT[au(n)]n

n0anznnOaznilaz,za1

18.已知X(z)3z

25z112z2,分别求：

(1)收敛域0.5z2对应的原序列x(n)；

(2)收敛域z2对应的原序列x(n)。

解：

x(n)1

2j

3z

25z1lcX(z)znIdz

F(z)X(z)zn12z2zn13zn2(z0.5)(z2)

(1)当收敛域0.5z2H寸，n0,c内有极点0.5,

x(n)Res[F(z),0.5]0.52nn,n0,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

x(n)Res[F(z),2]2,n

最后得到

x(n)2nu(n)2u(n1)2nn

(2(当收敛域z2时，

n0,。内有极点0.5,2,

x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]

0.5n3z

nn2(z0.5z)(2z(2))z20.5n

n0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点，改成求c外极点留数,可是c外没

有极点，15因此x(n)0,最后得到

x(n)(0.52)u(n)

n

n

25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n)au(n),h(n)bu(n),0a1,0b1,

n

n

试：

(1)用卷积法求网络输出y(n)；(2)用ZT法求网络输出y(n)。解:

(1)用卷积法求y(n)

y(n)h(n)x(n)

m

bu(m)a

mnm

u(nm),n0,

nn

nm

y(n)

a

m0

b

m

a

n

a

m0

m

b

m

a

n

1a

n1

b

n1

1ab

1

a

n1

b

n1

ab

,n0,y(n)0

最后得到

y(n)

a

n1

b

n1

ab

u(n)

(2)用ZT法求y(n)

X(z)

11az

1

,H(z)

11bz

1

Y(z)X(z)H(z)

1

1az1bz

1

1

y(n)

12

Y(z)zj

c

n1

dz

令F(z)Y(z)z

n1

z

1

n1

1

z

n1

1az1bz

(za)(zb)

n0,c内有极点a,b

y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),b]

a

n1

ab

b

n1

ba

a

n1

b

n1

ab

因为系统是因果系统，nO,y(n)0,最后得到16

y(n)

a

n1

b

n1

ab

u(n)

28.若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

HR(e

jw

)

1acoswla2acosw

2

,a1

求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。解：

HR(e

jw

)

1acoswla2acoswl0.5a(zz)

1

2

10.5a(e

2

jwjw

e

jw

))

1aa(el0.5a(e

1

e

jw

jw

HR(z)

1aa(zz)

21

e

jw

)

(1az)(1az)

求上式IZT,得到序列h(n)的共规对称序列he(n)。

he(n)

12

c

HR(z)z

n1

dz

F(z)HR(z)z

n1

0.5azz0.5aa(za)(za)

1

2

z

n1

1

因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：aza

n1时，c内有极点a,

o

he(n)Res[F(z),a]

0.5azz0.5aa(za)(za)

1

n1

(za)

za

12

a

n

n=0时，c内有极点a,0,

F(z)HR(z)z

n1

0.5azz0.5aa(za)(za)

1

2

z

1

所以

he(n)Res[F(z),a]Res[F(z),0]1

又因为

he(n)he(n)

所以17

1,n0n

he(n)0.5a,n0

n

0.5a,n0

1,n0he(n),n0

nn

h(n)2he(n),n0a,n0au(n)

0,n00,n0

H(e

jw

)

n0

ae

njwn

11ae

jw

3.2教材第三章习题解答

1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0nN1内，序列定义为(2)

x(n)(n)；

(4)x(n)Rm(n),0mN；(6)x(n)cos(

2N

nm),0mN；

(8)x(n)sin(wOn)RN(n)；(10)x(n)nRN(n)。解:

N1

N1

kn

N

(2)X(k)

(n)W

n0

(n)1,k

n0

0,1,,N1

N1

(4)X(k)

W

n0

knN

1W

kmNkN

1W

e

J

N

k(m1)

sin(sin(

N

mk)

,k0,1,,N1m)

N

12

N1

n0

e

j

2N

(mk)n

12

N1

n0

e

J

2N

(mk)n

22j(mk)Nj(mk)N

11eNleN22j(mk)j(mk)2NN

1e1e

1

,km且kNmN,0,km或kNm

0kN118

2N

2N

2N

2kn

(6)X(k)cosmnWN

Nn0

NIN1

n0

12

(e

jmn

e

jmn

)e

jkn

(8)解法1直接计算

x8(n)sin(wOn)RN(n)

12j

e

jwOn

e

jwOn

R

N

(n)

N1

X8(k)

x(n)W

n0

kn

N

12j

e

n0

N1

jwOn

e

jwOn

e

J

2N

kn

12j

N1

n0

2

j(wOnj(wO2nlNN

ee2j

jwNjwN

1eOleO

22

j(wOk)j(wOk)NN

1e1e

解法2由DFT的共现对称性求解因为

x7(n)e

jwOn

RN(n)cos(wOn)jsin(wOn)RN(n)

x8(n)sin(wOn)RN(n)Imx7(n)

所以

DFT

jx8(n)

12

DFT

jlmx7(n)

X70(k)

即

X8(k)jX

(k)j7O

X

7

(k)X7(Nk)

jwNjwNleOleOl()22

j(wOk)j(wO(Nk)2j2jNN

1e1e1jwNjwN

1eOleO

()22

j(wOk)j(wOk)NN

1e1e

结果与解法1所得结果相同。此题验证了共辄对称性。

(10)解法1

N1

X(k)

nW

n0

knN

k0,1,,N1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x(n)nRN(n)

所以x(n)x((n1))NRN(n)N(n)RN(n)等式两边进行DFT得到

X(k)X(k)WNNN(k)

kl9

故X(k)

N[(k)1]1W

kN

,k1,2,N1

当k0时•，可直接计算得出X(0)

N1

N1

X(0)

n0

nWNn

n0

N(N1)

2

这样，X(k)可写成如下形式：

N(N1)

,k02

X(k)

N,k1,2,NIk1WN

解法2

k0时，

N1

X(k)

k0时，

n

n0

N(N1)

2

X(k)0WN2WN3WN(N1)WN

kn

2k

3k

4k

N1

N1

kn

N

k2k3k(Nl)k

(Nl)k

WNX(k)0WN2WN3WN(N2)WNX(k)W

knN

(N1)

X(k)

w

n1

(N1)WN1(N1)

n0

kn

所以，

X(k)

N1W

kN

,k0

即

N(N1)

,k02

X(k)

N,k1,2,NIk1WN

2.已知下列X(k),求x(n)IDFT[X(k)];Nj

2e,km

Nj

(1)X(k)e,kNm;

2

0,其它k20

Njje,km2Nj

je,kNm(2)X(k)2

0,其它k

解：⑴

x(n)IDFT[X(k)]1e2

j(2Nmn)

j(

2N

IN

N1

W

n0

knN

1NeN2

J

e

J

2N

mn

N2

e

J

e

J

2N

(Nm)n

e

mn)

2

mn),cos(N

n0,1,N1

(2)

x(n)

1NNj(Nm)njmn

jeWeWN

NN22

22

j(mn)1j(Nmn)2N

eesin(mn),2jN

n0,1,N1

3.长度为N=10的两个有限长序列

1,0n41,0n4

xl(n)x2(n)

0,5n91,5n9

作图表示xl(n)、x2(n)和y(n)xl(n)x2(n)o解:

xl(n)>x2(n)和y(n)xl(n)x2(n)分别如题3解图(a)>(b)、(c)所示。

14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为：

x(n)0,n0,8ny(n)0,n0,20n

对每个序列作20点DFT,即

X(k)DFT[x(n)Lk0,1,,19Y(k)DFT[y(n)],k0,1,,19

如果

F(k)X(k)Y(k),k0,1,,19f(n)IDFT[F(k)],k0,1,,1921

试问在哪些点上f(n)x(n)*y(n),为什么？

解：

如前所示，记f(n)x(n)*y示),而f(n)IDFT[F(k)]x(n)y(n)。fl(n)

长度为27,f(n)长度为20。已推出二者的关系为

f(n)

mfl(n20m)R20(n)

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)fl(n)所以

f(n)fl(n)x(n)y(n),7n19

15.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F50Hz,信号最高频率为IkHZ,

试确定以下各参数：

(1)最小记录时间Tpmin；

(2)最大取样间隔Tmax；

(3)最少采样点数Nmin；

(4)在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高•倍的N值。

解：

(1)已知F50HZ

TpminIF1

500.02s

(2)TmaxIfmin12fmax121030.5ms

(3)NminTpT0.02s

0.510340

(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现

频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)

Nmin0.04s0.5ms80

18.我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对•段很长的数据序列进行滤波处

理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段

(本题设每段长度为M=100个采样点)，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与

h(n)的L点(本题取L=128)循环卷积,得到输出序列ym(n),m表示第m段计算输出。最

后，从ym(n)22中取出B个,使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出y(n)。

(1)求V；

(2)求B；

(3)确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。

解：

为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0,1,2,…，127。

先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点(共49个

点)

不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点(共51个点)为正确的滤波输出序列

y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到

不间断又无多余点的y(n),必须重叠100-51=49个点,即V=49»

下面说明，对128点的循环卷积ym(n),上述结果也是正确的。我们知道

ym(n)

rylm(n128r)R128(n)

因为ylm(n)长度为

N+M-l=50+100-l=149

所以从n=20到127区域，ym(n)ylm(n),当然，第49点到第99点二者亦相等，所

以，

所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。

综上所述，总结所得结论

V=49,B=51

选取ym(n)中第49'99点作为滤波输出。

5.2教材第五章习题解答

1.设系统用下面的差分方程描述：

y(n)3

4y(n1)1

8y(n2)x(n)1

3x(n1),

试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

解：

y(n)3

4

3

4y(n1)1818y(n2)x(n)1313x(n1)将上式进行Z变换

Y(z)Y(z)z1Y(z)z2X(z)X(z)z123

13

1

1

H(z)

1

34z

z

1

18

z

2

(1)按照系统函数H(z),根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图(一)所示。

(2)将H(z)的分母进行因式分解

1

H(z)

1

34zl1

z

1

18z

z

12

1

1

(1

12

z)(1

1

14

z)

1

按照上式可以有两种级联型结构:

1

llz

1

(a)H(z)

(1

z)

1

1(1

lz)

1

24

画出级联型结构如题1解图(二)(a)所示

1(1

lz)

1

1(1

11

Z

1

(b)H(z)z)

1

24

画出级联型结构如题1解图(二)(b)所示

(3)将H(z)进行部分分式展开

1

H(z)

(1

12

1

Iz

1

z)(1

14

z)

1

H(z)z

z

(zz

121114)

Az

12

Bz

14

)(z

A

(z

12

)(z

14

(z)

1

2z

)

12

10324

13

14)10

II(z)z

z

12

z

B

(z

12

(z

1

)(z

4z7z

14

)

14

73

10

H(z)

z

zl

7z

zl1

101

1

242

根据上式画出并联型结构如题1解图(三)所示。2.设数字滤波器的差分方程为

111z

4

7

y(n)(ab)y(n1)aby(n2)x(n2)(ab)x(n1)abx(n),

试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：

将差分方程进行Z变换，得到

Y(z)(ab)Y(z)z

1

abY(z)z

2

X(z)z

2

(ab)X(z)z

1

1

abX(z)

H(z)

Y(z)X(z)

ab(ab)zl(ab)z

1

z

22

abz

(1)按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图(一)所示。(2)将H(z)的

分子和分母进行因式分解：

(az)(bz)(1az)(1bz)

1

1

1

1

H(z)

Hl(z)H2(z)

按照上式可以有两种级联型结构：

(a)Hl(z)

z

1

a

1

1azz

1

II2（z）

b

1

1bz

画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。（b）Hl（z）

z

1

a

1

1bzz

1

H2（z）

b

1

1az25

画巾级联型结构如题2解图（二）（b）所示3.设系统的系统函数为

H（z）

4(1z)(11.414z(l0.5z)(10.9z

1

1

1

1

z

2

)

2

0.18z)

试画出各种可能的级联型结构。解：

由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

H(z)IIl(z)H2(z)

41z

1

(1)Hl(z)

10.5z

1

f

22

H2(z)

11.414zl0.9z

1

1

z

0.81z

画出级联型结构如题3解图（a）所示・。（2）Hl（z）

11.414z

1

z

1

2

10.5z

41z

1

H2（z）

2

10.9z

1

0.81z

画钳级联型结构如题3解图（b）所示。

4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响

应，并求其总系统函数。图d解：

(d)h(n)hl(n)[h2(n)h3(n)h4(n)]h5(n)

(n)lh(n)3h(n)hl(n)h2

4

h(n)

5

h(n)

H(z)Hl(z)H2(z)Hl(z)H3(z)H4(z)H5(z)

5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d解：

(d)H(z)

rsinz

1rcosz

1

1

2

2

rcosz

1

1

rsinz

2

rcosz

222

rsinzl2rcosz

1

rz

22

y(n)2rcosy(n1)ry(n2)rsinx(n1)

226

6.写出图中流图的系统函数。图f解：

2

Izz

1

238

z

2

21

14z

11

z

1

(f)H(z)

1

14

1

38

z

2

8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)(n)(n1)(n4),试用频率采

样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的

计算公式。解：

已知频率采样结构的公式为

H(z)(1z

N

)

IN

N1

1W

k04

H(k)

kN

z

1

式中，N=5

N1

H(k)DFT[h(n)]

2jk5

h(n)W

n0

knN

[(n)(n1)(n4)]W

n0

knN

lee

8jk5

,k0,1,2,3,4

它的频率采样结构如题8解图所示。

6.2教材第六章习题解答

1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp6kHz,通带最大衰减

ap3dB,阻带截止频率fs12kHz,阻带最小衰减as3dB0求出滤波器归一化传输函数

Ha(p)以及实际的Ha(s)。解：

(1)求阶数N。

N

Igksplgsp

ksp

3

0.0562

sp

将ksp和sp值代入N的计算公式得

sP

212102610

3

227

NIgO.0562

lg24.15

所以取N=5(实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4,指标稍微差一点，但阶数低

一阶，使系统实现电路得到简化。)

(2)求归一化系统函数Ha(p),由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波

器系统函数Ha(p)为

Ha(p)Ip3.2361p5.2361p5.2361p3.2361p1

1

(p0.618p1)(p1.618p1)(p1)225432或Ha(p)

当然，也可以按(6.12)式计算出极点：

pkel2klj()22N,k0,1,2,3,4

按(6.11)式写出Ha(p)表达式

Ha(p)14

pk)(p

k0

代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

(3)去归化(即LP-LP频率变换)，由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函

数

Ha(s)o

由于本题中ap3dB,即cp2610rad/s,因此3

Ha(s)Ha(p)ps

c

c5s3.236lsc545.236sl2c35.23s613c23.s2361cc45

对分母因式形式，则有

Ha(s)Ha(p)ps

c28

5

c

(s0.618cOsc

2

2

2

s)(

1.6ls80cc

2

s

)c(

)

如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频

率对归一化系统函数的改变作用。

2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp3kHz,通带最在衰减速

ap0.2dB,阻带截止频率fs12kHz，阻带最小衰减as50dB。求出归一化传输函数

Ha(p)和实际的Ha(s)。

解：

(1)确定滤波器技术指标：

ap0.2dB,p2fp6lOrad/sas50dB,s2fs24lOrad/s

3

3

P1,s

(2)求阶数N和：

N

/lOo,＜，*-I

Vioo1%-1

SP

4

Arch(k

1

)

Arch(s)

k

1

1456.65

N

Arch(1456.65)

Arch(4)

3.8659

为了满足指标要求，取N=4。

(2)求归一化系统函数Ha(p)

Ha(p)

1

N

0.2171

k

1

4

2

N1

(PP

k1

)

1.7386(ppk)

k1

其中，极点pk由(6.2.38)式求出如下：

pkch()sin(

(2k1)2N

)jch()cos(

(2k1)2N

),k1,2,3,429

HlArshOArshO0.5580N40.21711

plch(0.5580)sin(p2ch(0.5580)sin(p3ch(0.5580)sin(p4ch(0.5580)

sin(

8

)jch(0.5580)cos()jch(0.5580)cos()jch(0.5580)cos()jch(0.5580)cos(

3858

78

8385

)0.4438jl.0715)1.0715jO.4438)1.0715jO.4438)0.4438

jl.0715

878

(3)将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)

Ha(s)Ha(p)

p

sc

4

P

4

P

4

4

1.7368(sppk)

k1

1.7368(ssk)

k1

其中skppk6lOpk,k1,2,3,4,因为p4p1,p3p2,所以

s4sl,s3s2。将两对共辄极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式,

其系数

3

全为实数。Ha(s)

7.268710

2

2

2

16

2