数字信号处理课后习题答案

数字信号处理课后习题答案

江太辉)第三版

课后习题答案

1数字信号处理(姚天任第二章

2.1判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。(1)x(n)=Acos(

5n)86

(2)x(n)=ej()(3)x(n)=Asin(

n8

3n)43

5216

o因此是有理数，所以85

解(1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(n),得出是周期序列。最小周

期等于N二

16

k16(k取5)。5

12o因此16是无理数，所以不833

n)=Acos(n)

24343

(2)对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[j]n,得出是周期序列。

(3)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(n),又x(n)=Asin(=Acos(N=

31328

o因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于n)，得出4346

8

k8(k取3)3

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列

的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n),并画出y(n)的图形。

h(n)=u(n)

2

1

-1

(a)

1

2

n

1

2

3

••,n

2

lx(n)

h(n)

2

1

-1

2

4

n-l

3

4n

1

二u(n)

(b)

-1

h(n)=anu(n)1

-1

n

1234

(c)

-1

123n2

解利用线性卷积公式

y(n)=x(k)h(nk)

k

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。(a)

y(O)=x(O)h(O)=l

y(l)=x(0)h(l)+x(l)h(0)=3

y(n)=x(0)h(n)+x(l)h(n-l)+x(2)h(rr-2)=4,n22

(b)x(n)=2(n)-(n-l)

h(n)=-(n)+2(n-l)+(n-2)

y(n)=-2(n)+5(n~l)=(n-3)

(c)y(n)=

ku(k)anku(nk)=lan1

=kanklau(n)

2.3计算线性线性卷积

(1)y(n)=u(n)*u(n)

(2)y(n)=nu(n)*u(n)

解:(1)y(n)=

ku(k)u(nk)

=u(k)u(nk)=(n+l),n^O

k0

即y(n)=(n+l)u(n)

(2)y(n)=ku(k)u(nk)

k3

二k0kln1,n^Ou(k)u(nk)=l

即1nly(n)=u(n)1

2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为hl(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级

联，已知x(n)=u(n),hl(n)=(n)-(n-4),h2(n)=anu(n),|a|<1,求系统的输出

y(n).

解(n)=x(n)*hl(n)

ku(k)[(n-k)-(n-k-4)]

=u(n)-u(n-4)

y(n)=(n)*h2(n)

k

aaku(k)[u(n-k)-u(n-k-4)]=

k,n23kn3

2.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=anu(-n),O<a<l用直接计算线

性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

4

证明(1)交换律

X(n)*y(n)=x(k)y(nk)

k

令k=n-t,所以t=n-k,又-<k<，所以-<t<，因此线性卷积公式变成

x(n)*y(n)=x(nt)y[n(nt)]

t

=x(nt)y(t)=y(n)*x(n)

t

交换律得证.

(2)结合律

[x(n)*y(n)]*z(n)

=[(k)y(nk)]*z(n)

kx

=[

tkx(k)y(tk)]z(n-t)

kx(k)y(t-k)z(n-t)t

x(k)y(m)z(n-k-m)

km

x(k)[y(n-k)*z(n-k)]

k

=x(n)*[y(n)*z(n)]

结合律得证.

(3)加法分配律

x(n)*[y(n)+z(n)]

kx(k)[y(n-k)+z(n-k)]

=x(k)y(n-k)+

kkx(k)z(n-k)

=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)

加法分配律得证.

2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

5(l)y(n)=2x(n)+3(2)y(n)=x(n)sin[23n+

6]

n

(3)y(n)=x(k)(4)y(n)=

kx(k)knO

(5)y(n)=x(n)g(n)

解(1)设yl(n)=2xl(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于

y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3

Wyl(n)+y2(n)

=2[xl(n)+x2(n)]+6

故系统不是线性系统。由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k)=T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

6

故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

nn

(3)设yl(n)=xl(k),y2(n)=2k),由于

kkx(

y(n)=T[axl(n)+bx2(n)]=

knLaxl(k)bx2(k)]

nn

=axl(k)+b

kx2(k)=ayl(n)+by2(n)k

故该系统是线性系统。

ntn

因y(n-k)=(k)=

kxmx(mt)

=T[x(n-t)]

所以该系统是非移变系统。

n

设x(n)=M<8y(n)=8,所以该系统是不稳定系统。

kM二

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系

统。

nn

(4)设yl(n)=l(k),y2(n)=

kxnx2(k),由于OknO

n

y(n)=T[axl(n)+bx2(n)]=lbx2(k)]

k[ax(k)nO

nn

=a12(k)=ay1(n)+by2(n)

kx(k)+bnkxOnO

故该系统是线性系统。

因y(n-k)=

kntnx(k)=nx(mt)OmnOt

n

WT[x(n-t)]二

kx(mt)nO

所以该系统是移变系统。

设x(n)=M,则limny(n)=limn(n-nO)，所以该系统不是稳定系统。

显而易见，若n》nO。则该系统是因果系统；若n〈nO。则该因果系统是非因果系统。

⑸设yl(n)=xl(n)g(n),y2(n)=x2(n)g(n),由于

7

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=(ax1(n)+bx2(n))g(n)

=axl(n)g(n)+b2(n)=ayl(n)+by2(n)

故系统是线性系统。

因y(n-k)=x(n-k),而

T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)(n-k)

所以系统是移变系统。

设|x(n)|WM＜，则有

|y(n)|=|x(n)g(n)=Mg(n)

所以当晨n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于本来的输入，故该系统是因果系

统。

2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性

(1)h(n)=2nu(-n)(4)h(n)=(l

2)nu(n)

(2)h(n)=-anu(-n-1)(5)h(n)=l

nu(n)

(3)h(n)=(n+nO(6)h(n)=2n

0),nO^Rnu(n)

解(1)因为在n<0时，h(n)=2nW0,故该系统不是因果系统。

因为S=|h(n)|=n，故该系统是稳定系统。

n⑵="n0

(2)因为在n〈O时，h(n)#0,故该系统不是因果系统。

1

因为S=h(n)|=|an=an,故该系统只有在|a1>l时才是稳定系统。

nnn

(3)因为在n<0时，h(n)#0,故该系统不是因果系统。

因为S=

|h(n)|=

I(n+nO)Hl<,故该系统是稳定系统。

nn

(4)因为在n〈0时，h(n)=O,故该系统是因果系统。

因为S=

|h(n)|=|(1

2)n|<,故该系统是稳定系统。

nn0

(5)因为在n<0时,h(n)=l

nu(n)=O,故该系统是因果系统。

因为S=

n|h(n)|=|1nu(n)|=

n1=nOn,故该系统不是稳定系统。

(6)因为在n<0时，h(n)=O,故该系统是因果系统。

8

因为S=NT<，故该系统是稳定系统。

nh(n)|=N112nl=2n0

2.9已知y(n)-2cosy(n-l)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(l)=l,求证y(n)=sin(n)

sin

证明题给齐次差分方程的特征方程为

2-2cos,+1=0

由特征方程求得特征根

l=cos+jsin=ej,2=cos-jsin=ej

齐次差分方程的通解为

y(n)=cjn

1nl+cn

22=cle+cjn

2e

代入初始条件得

y(0)=cl+c2=0

y(1)=cjn

le+cn

2ej=l

由上.两式得到

cl=l

ejnejn=l

2sin,cl

2二-cl=-2sin

将cl和c2代入通解公式，最后得到

y(n)=cnjnjsin(n)

lej+cjn

2e=1

2sin(e+en)=sin

2.10已知y(n)+2y(n-l)+(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n)解

首先由初始条件求出方程中得系数a和b

由y(2)2ay(l)by(0)66a0

y(3)2ay(2)by(l)3612a3b0

可求出a=-l,b=-8

于是原方程为

y(n)-2y(n-l)-iy(n-2)=0

由特征方程2-2—8=0求得特征根

1=4,2=-2

齐次差分方程得通解为9

y(n)=cnn

1nl+c22=cl4n+c2(-2)

代入初始条件得

y(n)=cll+c22=41+22=3

由上二式得到

cl=l

2,cl

2=-2

将cl和c2代入通解公式，最后得到

y(n)=cnlnl+c22=1

2[4n-(-2)n]

2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程:

y(n)-y(n-l)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1

解由特征方程2--1=0求得特征根

11

=2,=12

2

通解为y(n)=cn

1l+c2n2=cl2)n

1

(+cln

2

(2)

代入初始条件得

clc21

c(112cl2(21

求出cl

,c2

最后得到通解

y(n)=cl

()n+cn

2

)

n

In1

))]

2.12一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应

10解由图可知

B

y(n)=x(n)+y(n-1)

为求单位取样响应，令x(n)二(n),于是有

h(n)=(n)+h(n-l)

由此得到

h(n)=(n)

1D=nu(n)

阶跃响应为

n

y(n)=h(n)*u(n)=ky(k)u(n-k)

k0

1n1

=1u(n)

2.13设序列x(n)的傅立叶变换为X(ejw),求下列各序列的傅立叶变换

解(1)解axjw

1(n)+bx2(n)]=aXl(e)+bX2(ejw)

(2)F[x(n-k)]=ejwkX(ejw)

(3)F[ejwOnx(n)]=X[ej(wwO)]

(4)F[x(-n)]=X(ejw)

(5)F[x*(n)]=X*(ejw)

(6)F[x*(-n)]=X*(ejw)

⑺11

(8)jlm[x(n)]=l[X(ejw)-X*(ejw

2)](9)1

2X(ej)*X(ejw)dx(ejw

(10)j)

dw

2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述y(n)-l

2y(nT)=x(n)+1

2x(n-1)

(1)求该系统的单位取样响应h(n)

(2)用(1)得到的结果求输入为x(n)=ejwn时系统的响应

(3)求系统的频率响应

(4)求系统对输入x(n)=cos(2n+

4)的响应

解(1)令X(n)=6(n),得到

h(n)-h(n-l)/2=6(n)+8(n-l)/2

由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出

h(n)=h(n-l)/2+8(n)+8(n-1)/2,n20递推计算出

h(-l)=0

h(0)=h(-l)/2+6(0)=1

h(l)=h(0)/2+l/2=l

h(2)=h(l)/2=l/2h(3)=lh(2)=(l

22)2h(4)=lh(2)=(l)3

22

.12

1

2h(n)=8(n)+()n-lu(n-l)

或h(n)=On[u(n)-u(n-l)]

也可将差分方程用单位延迟算子表示成

(1-D)h(n)=(l+D)6(n)

由此得到h(n)=[(l+D)/(l-D)]8(n)=[1+D+D2+()2D3+・・・+()kTD3+…]5(n)

=5(n)+8(n-l)+8(n-2)+8(n-3)+...+()k-l5(nT)+…=8(n)+()nu(n-l)

2)将X(n)ejwn代入y(n)x(n)*h(n)得到

y(n)ejwn*1ID(n)1D212121212121212121212

IDejwn11D2

2n112131n1DDDD22

2

ejwn1jwne11ejw

2

11ejw

ejwn

1ejw

21

(3)由(2)得出

11ejw

2Hejw1jwle213

(4)由(3)可知

1j2wlewj2H11e

1lej2w

2

jwJj11222argHearctan12earctan

12e1

12arctan2

故:ynHejwcosnargHejw42

1cosn2arctan422

2.15某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述

y(n)-ay(n-l)=x(n)-bx(n-l)

试确定能使系统成为全通系统的b值(bWa),所谓全通系统是指其频率响应的模为与

频率无关的常数的系统。

解：令x(n)=(n),则h(n)=ah(n-l)=(n)-b8(n-l)

或h(n)=ah(n-l)+

(n)-(nT),n20

由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出:

h(-l)=0

h(0)=1h(1)=ah(0)-b(0)=a-b

h(2)=ah(l)=

h(3)=ah(2)=

h(n)=ah(n-l)=h(n)=-ab-b-b,n20bu(n-l)14u(n)-或系统的频率特性为

H(

)二

振幅的特性平方

11

**jw22若选取a=b或b=a,则有H(e)|=b|,即幅度响应等于与频率响应无关的常

数，故该

系统为全通系统。

2.16(1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=au(n),其中a为实数，且

0<a<lo设输入为x(n)=n

nu(n),为实数，且0<。.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成

下列形式

y(n)=(kla+k2nn)u(n)

上川(2)分别计算乂8)、h(n)和(1)中求得的y(n)的傅立叶变换X(e

Y(ejw)H(ejw)>Y(ejw),并证明)=H(ejw)X(ejw)

解(l)y(n)=

k

h(k)x(nk)ak二

u(k)lu(nk)15k=1

(al)k=1[1(l)n1

]

k11

1

111+In111,n20

y(n)=(

1n-

1n)u(n)

(2)X(eiw)=ei=-l

n01

H(ej)=ei=1

1ejn0

Y(ej)=(nnj

n0)e

=1(

1ej-ejn)

由于1

(

1ej-1ej)

=1

(1e)(1e)=X(ejjj)H(ej)

故得出Y(ejw)=H(ejw)X(ejw)

2.17令x(n)和X(ejw)分别表示一个序号及其傅立叶变换,证明:

x(n)x*(n)1

n2n

nX(ejw)X*(ejw)dx

此式是帕塞瓦尔(Parseval)定理的一种形式。

证明：证法一16

X(ejwn)

X*(e

1

2jwnx(n)enjwn)(x*(N)ejwn)*njwnx*(n)e

X(ejw)X*(ejw)dw12

[mx(m)ejwn][nx*(n)ejw]dw

mx(m)nx*(n)12ejw(nm)dw

其中

2,....nmejw(nm)dwejw(nm)ejw(nm)0,.

...nmnm

1

2

X(ejw)X*(ejw)dwnx(n)x*(n)证法二:

nx(n)x*(n)

1x(n)[2n

1x(n)[2n

12

12X(ejw)ejwndw]

jwX*(ejw)ejwndw])X*(enx(n)ejwndwX(ejw)X*(e

jw)dw

2.18当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T

表示取样周期，假设T很小，足以防止混叠失真，把从x(t)到y(t)的整个系统等效

成一个模拟滤波器。

(1)如果数字滤波器h(n)的截止频率等于

理想低通滤波器的截止频率fc

(2)对lrad,=10kHz,求整个系统的截止频率fac,并求出8Tl=20kHz,重复

(1)的计算T17

(弧度/秒)折合成数字域频率为(弧度)，它比数字滤波器h(n)的T

截止频率(弧度)要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率(弧

度)来决定。将88解理想低通滤波器的截止频率

其换算成实际频率，即将fs=2facl=10000Hz带入，便得到fs8T

fac=625Hz理想低通滤波器的截止频率(弧度/秒)换算成实际频率使得到fc,

即由=2fc,得到TT

110000fac===500Hz2T2

2.19求下列序列的Z变换和收敛域

(1)(n—m)

(2)()u(n)

(3)au(-n-l)

(4)()[u(n)u(n10)]

(5)cos(On)u(n)nl2nl2n

解：(1)X(z)=6(nm)zn=z-nm

当m>0时、x(n)是因果序列，收敛域为0<IzIW8,无零点，极点为0(m阶)；当

时，x(n)是逆因果序列，收敛域为OWlzlWs,零点为0(m阶)，无极点；当m=0,X(z)

=1,收敛域为0WIzIW8,既无零点，也无极点

(2)X(z)=

n-1-nu(n)z=2nOn11z=1121z1

2n

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里

Rx=lim

nx(n1)1=x(n)2

T(n)还是因果序列，可以有Iz|=8,故收敛域为1<Iz|<8。零点为0,极点2

18

为1。2

IKIz|<8。零点为0,极点为。(3)22X(n)还是因果序列，可以有Iz|=8,故

收敛域为

x(z)=

nanu(ul)z

n=n1(aznIn)In=

n1(a1lazlz)=(az)==111azlazn1

X(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围Rx+的圆的内部区域，这里

Rx+=limnx(n)|I=x((n1))limn|ana(n1)|=|a|

x(n)还是逆因果序列，可以有|z|0,故收敛域为0z||a|零点为0,极点为a。

(4)X(z)=

n-

91-nu(n)-u(n-10)z21-nl(2z)

z=121(2z)nn=10

n01X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负某项，故收敛域为0〈IzI五8.零点为

0和102

1阶)，极点为。2

(5)X(z)

nncos(wn)u(n)z0ejwOnejwOnz

zn1jwOIn1jwOlz)=(ez)+(e

n02n02

111()jwO1jwO1=21ezlez

1zIcoswO=12zIcoswOz2

x(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里19

Rx=limncos[w0(nl)]x(n1)|=1||=1im|cos(wOn)x(n)n

可以有x(n)还是因果序列，

极点为ejwO|z|,故收敛域为1|z|,零点为。和coswO,和ejw0o

2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图

(1)x(n)=an|,0<a<l

(2)x(n)=e(ajwO)nu(n)

(3)x(n)=Arcos(0)u(n),0<r<l(4)x(n)=nlu(n)n!

(5)x(n)=sin(0)u(n)

(1)X(z)=n

nnaznn=nnna1nnzazn0nn=

n1azaznOaxl1axlax1z(la2)

=(1az)(za)

X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列(收敛域az)和一个因果序列(收敛

域0z1)a相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域

azlo零点为0和8,极点a

为a和1。a

⑵X(z)

ne)u(n)ze(j0)nznn20

1

二1ejz1

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里

x(nl)Rxlimexx(n)

X(n)还是右边序列，可以有

z故收敛域为ezo零点为0,极点为ej0o

X(z)

nArncos(on)u(n)znn0j(on)j(on)eeArn

znn

oIn(rez)2n0joIn(rez)n02

AejlAeJ1jo121rez21rejoz1Aej(reJ(o)rej(

o))z1ej21rz1(ejoejo)r2z2

cosrzIcos(o)A12212rzcosrzo

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R3一的圆的

外部区域，这里

Arnlcos[0(n1)1x(n1)RXlimlimnnx(n)Arncos(0)

z

x(n)还是因果序列，可以有z,故收敛域为rz

rcos(0)j0jOrere零点为0和，极点为和cos21

X(z)1

n!u(n)ZnZ

(4)n

nOn!

123

1Z11Z...In

zz...

1

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里

Rlimx(n1)

nx(n)liml

Xnn10

X(n)还是因果序列，可以有Z,故收敛域为0Z,无零点，极点为0。

(5)

X(z)=nsin(wn)unO(n)z

sin(wOn)z1

n0j(wOn)

ej(wOn)eznn02j

ejj

(ejzl)ne(ej

jzl)n

2n02j

1(ejej)(ej(wO)ej(wO))z1

2jl(ejwOejwO)z1z222

sinsinwOz1

12cosw0z1zi

xn是右边序列，它的Z变换收敛域是半径为RO的圆的外部象区域，这里

ROlimxxn1xnlimxsinwOn1sinwOn1

sinwO

sinxn还是因果序列，大故收敛域为1z.零点为0和.极点为

coswOjsinwO和coswOjsinwO.

2.21用三种方法求下列Z变化的逆变换

11,|Z|<121z1

2

11z11(2)X(Z)=,|Z|>21z1z2

48(1)X(Z)二

1az1

1(3)X(Z)=1,|Z|>|a|za

解(1)采用幕级数法。由收敛域课确定xl(n)是左边序列。又因为limXl(z)=l为有

限值，所以xl(n)x是逆因果序列。用长除法将XI(z)展开成正事级数，即

1

11z1

2

2z4z28z316z421z5...Xl(z)

(l)n12nzn

(1)

n1n12z(2)nznnnn1

最后得到

xl(n)=-2(-2)

或

23n,n=-l,-2,-3.......xl(n)=()u(n1)12n(2)采用部分分式展开

法。将X2(z)展开陈部分分式

1llzlz1

X2(Z)1z1z2(1z1)(1z1)4824

A1A2111z11z1

241

其中

11ZA141Z114Z12

11ZA23

1Z112Z14

由收敛域可确定X2(n)式右边序列。又因limX2(z)=l,所以X2(n)还是因果序列。用长

除法分别将x

43展开成负累级数，即111zlz24

1112131nn4=4[lzzz...()z...]24821z1

2

=lnna()z2n0

11121313=-3[1zzz...()nzn...]1481641z1

4

1n=3()z4n0

由上两式得到n

11x2(n)[4()n3()n]u(n)24

(3)采用留数定理法。围线积分的被积函数为

x3(n)zn1(1az1)zn1(1aIz)zn11Izaza

当11>0时:由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点Z1,因此

a241x3(n)Res[x3(z)zn1,](1alz)znllzaa

(a2l)an1,n0

当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点z1和z=0,因此a

1x3Res[X3(z)zn1,]Res[X3(z)zn1,0]a

1alz11(1az)z1lzzaaz0

(1a2)aaa1,n0

当n<0时，因为x3(z)z

0,n<0

最后解得n1在围线之外无极点，且x3(z)zn1在工=处有1—n22阶极点，所以

有x3(n)=

(a2l)an1,n0lx(n)a,n030,n0

2n1故x(u(n1)a1(n)3n)=(al)a

2.22求下列Z变换的逆变换

(1)X(z)=1,l<|z|<2(1z1)(12z1)

(2)X(z)=z5,0.5<|z|<21(10.5z)(10.5z)

eTz1

T(3)X(z)=,|z|>eT12(1ez)

(4)X(z)=z(2zab),|a|<|z|<|b,(za)(zb)

解

(4)

采用部分分式法A1A21z112z1

11Al1,A2|2It1l|t212zlzX4(z)25

根据收敛域1Iz|2,12和分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开

成z的负1z112z1

事级数和正幕级数，即Inz11zn6

2(n1)n2z2nIzn112znIn1

最后得到

X4(4)u(n)2

用留数定理法，被积函数nlu(n1)

X5zznIz5zn1z5z110.5z10.5z0.510.5z根据

收敛域0.5z2可知，对应的是一个双边序列.其中

0.5z对应于一个因果序列，即n〈0时,xn0;n0时，被积函数有1个极点0.5

在围线内，故得

x5nResXzzn1(z5)zn

(10.5z)z0.516()n,n02

Iz|<2对应于一个逆因果序列，即n0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个

极点2,且分母多项式的阶比分子多项式的阶高2—(n+1)=bn2,故得

n1x5nResXzz,25

z5znz0.5n22n1,n0

最后得到

6

22n

n1或n2un

采用留数定理法,被积函数n

Xzzn1cTznzlcTzlzcIzn

zcTz26

根据收敛域Z|cT可以知道，对应的序列是一个因果序列。即水0时，在

xn0时，在n0时，被

T积函数在积分围线内有1个2阶极点zc,因此

xlnRcsXlzzn1,cT

cTnzn1

最后得到

1eTdTnczdzncTn,n0zeTncTn,n0x1

0,n0

Tn或xlnncun

(7)

由收敛域可知，对应的是一个双边序列。将X(n)进行部分分式分解，即

z(2zab)2(ab)z1

Xl(z)(za)(zb)(1az1)(1bz1)

二A1A2111azlbz

2(ab)z1

1其中Al(1az)X7(z)||Itatalbz1

2(ab)z1

1A2(1bz)X7(z)11b|Itblaz1

对于

所以11,收敛条件|Z|表明它对应于一个右边序列；又因=1有限值，

alim111azt01azllx(n)应于一个逆因果序列。用长除法将展开成z的正暴级

数，即1111azlaz

111Inn1azazazaz11azn0

由此得到

xl(n)anu(n)

二0为有限值，所

27111im对于1bz1,收敛条件|Z|〈b表明它对应于一个左边序列又因

t01bz111

lx(n)以1bz对应于一个逆因果序列2。用长除法将1bz1展开成z的正幕级

数，即

1122nnnnnnbzbzbzbzbz

11bznIn1

由此得到

最后得到

x(n)au(n)bu(u1)nn

7x2(n)nb=u(u1)

2.23求X(Z)=ee,0<|z|<，的逆变换

解将e和e展开成幕级数

z2znle1zzn

2!n!n0n!z

Oilnnz1z

n(n)!n|n|!

z2znle1zzn

2!n!nOn!

由以上两式得出1

1n1nlnX(z)=l+zz1

n=-n!nOn!nIn|!-1IzOzlzzlz

最后得

x(n)=(n)+

2.24试确定X(z)=z是否代表某个序列得Z变换，请说明理由

解不能，因为，如果X(z)能代表某个序列得Z变换，则X(z)必须在收敛域内试解

析函数。但是，现在x(z)=u(x,y)+jv(x,y)=z=x—jy,显然有

**1,n|n|!uv11,即X(z)不满足柯西一黎xy

曼！方程，因此X(z)不是解析函数，故X(z)不能代表某个序列得Z变换。

28

2.25如果X(z)是x(n)得Z变换,证明:

(1)zmX(z)是x(n-m)的Z变换(2)X(alz)是anx(n)的Z变换(3)zdX(x)是

nx(n)的Z变换dz

n解(1)x(nm)z

n=-n=-x(n)z(nm)

zm

n=-

x(n)znzmX(z)

(2)anx(n)zn

n=-

n=-x(n)(alz)nX(alz)

(3)nx(n)z

n二一nddzx(n)znzX(z)dzn=一dz

2.26证明

(1)

n

x(n)z*n[x(n)(z*)n]*X*(z*)n

⑵

(3)nx(n)znnx(n)(z

1n)X(z1)nRe[x(n)]z

Im[x(n)]zn111*nn[x(n)x(n)]z[x(n)zx*(n)zn][

X(z)X*(z*)](42n2n2n)111*nn[x(n)x(n)]z[

x(n)zx*(n)zn][X(z)X*(z*)]2jn2jn2jnn

2.27解X(z)1,|z|11z1

1Y(z),|z,a1az129

W(z)X(z)Y(z)

其中AlA1A21Wl(z)W2(z)1111(1z)(1az)1zlazll

Iz11azla

11aA2Iza11zlala

由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收敛域

为这样，为(z)的收敛域应为|z|>L而W2(z)的收敛域为z|>ao这意味着Wl(z)

和W2(z)都对应于因果序列，因此可用长除法分别将W1(z)和W2(z)展开成z的负暴级数，

即

11n12W1(z)(1zz......)z1alan

aann122nnW2(z)(1azaz…az••,)az1alan0

由上二式得到

1(n)1anu(n),2(n)au(n)1ala

最后得到

1an1

(n)1(n)2(n)u(n)1a

2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为|a||z：；为使系统稳定，必须要求收

敛域包含单位圆，即要

求|a|lo极点为za,零点为za,收敛域|a||z|。极一零点图和收敛域示

于图1.7。1

1alej

⑵H(e)1aejj

1j21alej1alej*1aelaelj1aa(eljej

)|H(e)|0000jjjj1aelaelaelaela2a(eje

j)J2

1a2acosa(a12acos)a2

221aacos1aacos

j12122因此得到H(e)|a,即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一

个全通系统。

2.30(1)根据极一零点图得到x(n)的Z变换

X(z)z1

l(z)(z2)(z3)3因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为

1|z2。故x(n)是双边序列。3

30(2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情

况，收敛域有两种可能：1|z|2或2|z|3。3

采用留数定理法求对应的序列。被积函数为

X(z)zn1z1

l(z)(z2)(z3)3

11对于收敛域|z|2,被积函数有1个极点z在积分围线内，故得33

1(zlz)n1

eX[z(z),x(n)Rsl|z3(z2)z(33lzn1InO.n9(),30

被积函数有2个极点zl2和z23在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式

的阶高

3n2(因n〈0),故

x(n)Res[X(z)z

n1,zl]Res[X(z)zn1(z1)zn1(z1)zn1,z2]|z2|z3(z)(z3)

(z)(z2)最后得到33

0.92n0.53n,n0

In0.)n,0x(n)3

0.92n0.53n,n0

或x(n)0.90u(n)(0.920.53)u(n1)

对于收敛域2|z|3,被积函数有2个极点zl13nnnl和z22在积分围线内，故3

x(n)Res[X(z)z

n1,zl]Res[X(z)zn1(z1)zn1(z1)zn1,z2]1|z2z1(z2)(z3)

3(z)(z3)被积函数有3

10.9On0.92n,n03

1个极点z3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高3n2(因

n<0),故x(n)RseX[z(z)1(zlz)n1

,z3l(z)z(2)3n0.n53,0

Inn0.9()0.92,n0最后得x(n)3

0.53n,n0

x(n)0.()1

3nnnu2n]()0,u53n(1)

11,所以收敛域为z|。因22

312.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。由于系统的极点为

zlimzH(z),故该系统不是因果系统。

2.32(1)(n)(n1)x(n),y(n)(n)(n1)

W(z)zIW(z)X(z),W(z)X(z)

1z1

z)zIW(z)1z1

Y(z)W(1zIX(z)

所以系统函数为

Y(z)1z1

ll(z)X(z)1z1

频率响应为

jjj2cos

ll(z)1eje2(e2e2)1ej

ej2(ej2ej

2)2sinjcot

2

2

⑵由Y(z)1z1

1zIX(z)可写出系统的差分方程

y(n)y(n1)x(n)x(n1)

⑶当x(n)为单位阶跃序列时，将X(z)11z1

1z1代入Y(z)1zIX(z),得到Y(z)1z11

1z11z1

采用部分分式法：

(z)1z1

YA1A2

(1z1)(1z1)1z11z1Yl(z)Y2(z)

1z1

其中Al1z1z1

1

Alz1

21zl|z12

1由Yl(z)1111z1,|z|得到

y1

1(n)1nu(n)32

由Y2(z)21,z|1得到111z

2nu(n)1y2(n)

因此系统的单位阶跃响应为

1n21n21nln1

y(n)yl(n)y2(n)u(n)u(n)u(n)u(n)u(n)u(n)1111

11

2.33(1)求差分方程两边的z变换

Y(z)zY(z)zY(z)zX(z)

由上式得到系统函数121

z1

H(z)1z1z2

求系统函数的零点和极点ZIzzH(z)

1z1z2z2z1(z1)(z2)

其中，零点为0

;极点为111(1

和2(1。由此可画出极一零点图，如图1.9所22

示。已知系统为因果系统，因此收敛域为|1||z|。

(2)采用留数定理法。由H(z)z(收敛域为|1|z|)计算单位取样响应

(z1)(z2)

n1h(n)Res[H(z)zn1,1]Res[H(z)zIn2nznzn

,2]|z1iz2u(n)z2z112

(3)要使系统稳定，单位圆必须在收敛域内，即收敛域应为2|z|1,这是一个双

边序列。采用部分分式法将系统函数分解为

H(z)AlA2zHl(z)H2(z)(z1)(z2)zIz2

其中Allz|z1z212

A22z|z2z12133

由Hl(z)1计算单位取样响应hl(n)。因收敛域为|z1,故hl(n)为左边序列，又

12z11

因limHl(z)0为有限值，故h2(n)还是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数z0

Hl(z)znIzn11,当n〈0

时，极点1(1在积分围线外，且被积