微积分测验试题答案

题号——四五六七总分

分数

高等数学（下册）测验试题（一）

合分人：复查人：

分数评卷人

一.填空题（共30分）

1设名=e'cosy-sin(xy),则史~|,=()=-1-万.

dxy=n

2.曲面盯=/在点（1,1,1）的切平面方程为x+y-2=0.

2

冗71

_y—z------

3.曲线了二/二》^1小5二一在"生处的切线方程〃：;~复=—七.

20271

X%x=g(l-

4.计算dy|sincosl).

5.把直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分有

dy/(x,y)dx=(dO^f[rcosrsin0ydr

6-积分〕|

(x+/-X2\dxdy=16万.

(x+何引)b=

7-JJe"+ln|

-l<r<l

一区网

8.级数」的敛散性为发散.

?:=1〃-71+3

n

9.级数之工的和函数s(x)=-ln(l-x),£」;=坨2

n=l〃n=lTl2

22

10.ff---—^—^dxdy=一2)

22i++

x+y<lXy

二.计算题(每小题7分，共70分)分数评卷人

lo设〃=£丁/的全微分m

解：两边取对数

\nu=yInx+zIny+xInz---(1),

再对(1)两边取全微分：

—du=Jx+Inxdy)+dy+Inydz\+(inzdx+±dz)

=(上+Inz)dx+Inx+—dy+(iny+—

所以，du=+Inz^dx+lnx+—Jy+^lny+—

2.计算由方程二=InE确定的函数z=z(x,y)的全微分。

zVy

z2,

解：dz------------dxH------------dyordz=——dx-\--------dy

l+lnz-lny1+Inz-Inyz2肛+yz

3.设z=z(x,y),由方程~士，工£=0确定，且F为可微函数，求dz。

(yzx)

解：方程两边求全微分,并注意到一阶全微分形式的不变性，有：

(\/卜仙电=。.即:

F\d^+F^

Olz,

z,]J

F\-dx--^dyd----ax+—az=o,整理，得:

+F：~y__+F;X

卜yJVz)lV)

(.A

卜=1~)F\一」_dx+H-p'…ZF：dy，故:

*2附「冲］

=>dzdx+

斗尸;一:尸；

涔河7x

N7

7

4.设[=12/(2%一y,ysinx，x，2),求包犯

其中/有二阶连续偏导数,va'2,

dy

导2力X2,2+/；ycosx+/；2x

解：(一)

(-)dz2+y^sinx,所以

ni/i/

2Pr—f+f"sinx

X+sinx+sinA-

--/u/12J21J22

22J

50求曲线「:/'+Z=6，.在点(1,_2,1)的切线。

x+y+z=0.

解：方程组两边关于X求导，得:

Xy办

区

+2以

+力

+后

瓦

所以，切线向量为：？={1,0,7}曲线在点(1,-2,1)的切线为:x-1_y+2_z-1

~T~-o―

6.计算I=加4一歹dcr,其中。是x?+42x

0

D

々01jjd/ieF8so1A2.8万32

解：=yL[J4-/田=3-----

7.计算/=fdy[_eSx

/=/办，=[加丁"x=fx(/T)x=Lre'dx一卜dx

解：LJ

=«[x-i]i」=i」=L

匕LJ'o222

三.试证明：点(3,2)是函数/(羽〉)=(6%-114y-,一）的极值点。（10分）

解./(x,y)=(6—2x(4y—力分数评卷人

f'(x,y)^(6x-x\4-2y)

所以点（3,2）是函数f（x,y）

的驻点。

/：人力=-y）于飞,y）=（6-2/）（4-2y）,/：（x,y）=（6x-%12）。

记

A=/：（3,2）=-8<0,5=/：（3,2）=0/（3,2）=-18,A=jg2-/lC=-144<0

所以，点（3,2）是函数/（%,〉）=（6》一『［4y-y）的极大值点。

四.设。是由曲面z=-，4一v-y和4=一Jf+y?所围成的区域，试分别写

出/=JJJ/（x,y,z"v在直角坐标；柱坐标球面坐标系下分数评卷人

C

的三次积分（14分）

解：

92

。向xoy平面上的投影区域为，D-.x+y＜2o

（-）在直角坐标系下

1=叔'（"zH"£dx皑dy用》（x,y,“Z.

（二）在柱坐标下

。7F>■

1=j|jy(x,y,z)dv=1d6^rdrJ/(rcos0,rsin0,z)dz.

(三)在球坐标下

/=JJJ7(x，y，zW=0de&sin岗/(夕sin夕cos仇「sin9sinaqcos°)pdp.

Q4

五。选作题（每题10分，共40分）

1.在曲面Z:X?+2y?+3z?+2盯+2xz+4”=8上求点的坐标使此点处的切平

面平行于），以坐标面。

解：设所求之点为〃0鼠,券々0）

记F（x,y,z）=x2+2y~+3z?+2xy+2xz+4”—8,则曲面工在“。鼠,％々。）

处的切平面的法向量为

7=同民0|1。）}={28+2＞。+2&,4＞。+2刘+黑。,6&+23+4

因为卷/{1,0,0},所以，有：

4>。+2尤+4a=0,

6+2+4=O

ZoXoyo-

+2+4_8=0veZ

X：+2y：+3zi+2_XoyoXoZoyoZo-(M())

解之，10=±4,为=干2々0=0.因此，所求之点〃o（±4升2,0）。

2.设/=0J/（x,y,zVn，其中/为连续函数，。是由曲面/+/+%244K?和

C

Y+J+Q—2H)2«4R2(R>0)所围成的区域，将I化为柱坐标及球坐标下

的三次积分。

F+¥2+2<4^2,

解：联立人。；7八、，消去z,得。向xoy平面上的投影区域

d+y+(z-2R)=44.

A2O

为，D-.x+y«3R”.。

(—)在柱坐标下

4D2-^/、

八川(x,y,z%I~2~~2cos0,rsin6,z.z.

c

(二)在球坐标下

I=j|j/(x,y,z)7v=『dgjsin淑e//(7?sinecos。,夕sinesine,/?cos9)pd/?

Q

AO£|4/?cos^>z\2

+JdegsinReJ/(psin^cos^,psin^9sin0,pcos(p)pdp.

3

解：。如图所示。宜采用球坐标计算之。

I=Rd®fsin(pd(pf2//cOS?°pdP=既

4.已知某--物体由x?+y?=2z,z=2,及z=8所围成且每一点处的面密度函数

为夕=x?+y-,试求该物体的质量。

解：记Q：t+y=2z(2Vz«8).

由三重积分的物理意义，知：

〃[=]]«%2+>2)公办,〃。宜才采用直角坐标系下的“切片法”。

设D-X+y^2z为过点(0,0,z*2Wz<8)处Q的截面。

=/卜万/k=2万弓]=336%.

|/孙,(x,y)工(0,0),

5.试证明/(x,y)=Jj+y-在原点处连续且偏导数存在，但在

[o,(x,y)=(O,O).

原点处不可微。

证明：(一)因为

0<1/(x,y)1=J"\y\^yIf0(x.0,y.0),

所以，lim/(x,y)=0=/(0,0),故函数〃x,y)在原点处连续。

XTO

y->0

/一、/(O+Ax,O)-/(O,O)0-0八

(—)因为hm------)」')=hm------=0,

AX加T°A%

所以，/(0,0)=0;类似地，f(0,0)=0.故函数/(x,y)在原点处可偏导。

Az-f/(O,O)Ax-f'(O,O)Ay

(三)下面考察lim——人-------♦-----即考察

pfOp

Ax.Ay

[/(0+zkr,0+Ay)-/(0,0)]-f(0,0)捻-/：(0,0)勺，府不每J

J(Ax)，+(Ay)2aJ(Ax，+(Ay)2

=lim7—弋弋、，不存在,故〃x,y)在原点处不可微。

微04+(△/

杭州商学院微积分(下)模拟试卷(一)

一、填空题(每小题2分，共20分)

1、设E〃〃=S,贝！=----'Z"〃+2=--------------------0

71->00

n-\〃=1

2、若/(x)在口用上连续，则g~1/(x)dx=_____;3广/(*)"=______.

dxiadxJ2x

3、_y"—5/+7y=0的通解为。

4、已知=1,0为圆域i+y2<i,则Jj7(x2+y2)db=.

D

lxl

5、('(e+—^-7)dx=o

1+X2---------------

6、设£>“(x-2)"在x=-l处发散，在x=5处收敛，则其收敛半径R=.

〃=0

8、交换积分次序J'dx£：/(*,J)dj=o

9、当时，级数之邛绝对收敛；当时，该级数条件收敛。

10、z=4(x-y)---r的极值点为。

二、单项选择题(每小题2分，共10分)

1、下列级数中，发散的级数是()»

(A)y-(B)Ycos-V(C)Ysin-V(D)£」一

Me；白/白〃2白(2〃—口

2、微分方程iydX=(l-y2+》2-*2y2)dy是()。

(A)齐次方程(B)可分离变量的方程

(O一阶线性齐次方程(D)一阶线性非齐次方程

3、设/(x,y)=—~,则/("，*)=()。

x-yxy

(C)小22

(A)T(D)

y-•y-xx-y

4、若z=In扬(xy)，其中0（孙）>0且可导，贝!|星=（)o

OX

（B）邛鳖（C），式⑼(D)，也叨

（A）,曾）

W（xyJ.（孙2初xy）2<p(xy)

5、z=----------+ln(x-y)的定义域是()(>

arcsin(l-j)

(A)0<ll-jl<l,且x-y>0(B)11-jI<1,且x-y>0

(C)ll-jl^O,且x-y>0(D)0<ll-jl<l,且x-y>0

三、计算题（每小题6分，共48分）

一rizx+arctanxsinx-cosxx.

1、(------1——+------------------------)dx

J°1+xsinx+cosx

2、设/(2)=；,/'(2)=0,[7(x)dx=l,求fx2/"(2x)dx.

2

3、判断而I)的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件

〃二1

收敛。

4、求募级数之5”+（-3）'】的收敛半径及收敛域。

5、设7=COSX尸(〃#),U=Vxv=lnx其中尸可微，求生

6、设z=z(x,y)是由方程e*z+xyz+；z2=1所确定，求dz.

7、I=JJx-y/x2+y2da,其中Z):。

D

8、设连续函数/（X）满足方程^（x）=x+2+2，/（力也，求/（k）.

四、应用题（每小题8分，共16分）

1.求曲线与直线0,y=3所围图形的面积，并求此图形

6-x,x>2

绕y轴旋转所成旋转体的体积匕。

3I

2.某产品的生产函数。(x,y)=80x与4,其中x,y分别表示投入的劳力数和资

本数，Q是产量。若每个单位劳力需600元，每单位资本为2000元，而劳力

和资本投入的总预算为40万元，试求最佳资金投入分配方案。

五、证明题(6分)

dt*x

证明：=/(x)-/(a).

dxJa

杭州商学院微积分(下)模拟试卷(一)解答

一、填空题(每小题2分，共20分)

，66

1、S-〃［一附2、/(x),-2/(2x)3、y-=e2(Cjcos——x+Csin——x)

222

4、n5、2(e-l)+y6、37>--8、

4

£dy谓/(x,y)dx+焉"x,y)dx

9、d>—；0<a4—10、(2,-2)

22

二、单项选择题(每小题2分共10分)

1、B2、B3、B4、D5、D

三、计算题(每小题6分，共48分)

,fix+arctanxsinx-cosx、，

1、(------z——+-----------)dr

1+xzsinx+cosx

解：原式

2142

=^ln(l+x)|j)+；(arctanx)21-ln|sinx+cosx||j)=—ln2+----In(sinl+cosl)

232'7

2、设/(2)=g,八2)=0,£/(x)dx=l,目£x2/ff(2x)dx.

解：rx2/w(2x)dx=i-£x2d/,(2x)=1x7，(2x)|i-1r/，(2x)-2xdx

，

=-£xf(2x)dx=-^J(*xd/(2x)=-1xf(2x)|j+J('/(2x)dx

T+：f/(2x)d(2x)=-：+：=0.

44Jo44

或解：(//"(2》皿2X；£(；)2/〃(f)df=1J：x2/"(x)dx

2

=I旷(x)=；(X.1r(x)dx=0-；f0xd/(x)

=-；叶(x)|；+\f(/(x)dx=-5；=0.

3、判断f(-D"(而^-而i)的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件

M=1

收敛。

解：原级数改写为£/JI),:，

„=1J〃+2+J〃+l

81001

•••与同敛散，即发散，

而原级数为莱布尼兹级数，故为条件收敛。

4、求事级数£5，，+(~3)，'x"的收敛半径及收敛域。

n=ln

a5"+(—3)"n+1

解：收敛半径为R=lim„lim

“f8n->oo5"+1+(_3)"|

%+in5

(-ir+Q"

1s

x——3一收敛;

n

81+

1

x=­，y---------发散,

5〃=i九

11

.•・收敛域为

555

5、设z=cosx・尸(〃#),u=4x,v=Inx,其中尸可微，求生.

dr

解：—=-sinxF(w,v)+cos.rF'—\=+F'•—

dx2«.匚

6、设z=z(x,y)是由方程e"z+盯z+=1所确定，求dz.

解：方程两边关于x求偏导，e"z+e"z；+y(z+xzl)+z・z；=0,

ex+xj+z

xf

方程两边再关于y求偏导，ezy+x（z+yz；）+z・z；,=0,

,XZ

nZy=-----------—，

e+xj+z

」(e“+yz)dx+xzdy

dz=--------------------------・

e"+孙+z

2222

7、I=^xyjx+yda,其中£>：x+y<2xo

D

冗2cos0

解:/=rcosOr・rdr=J)—・(2cos6)4cos6d6

~2°~2

=8f2cos50AO=8•—■—<1=——.

J。5315

8、设连续函数/(x)满足方程加x)=x+2+2，/Q)df,求/(%).

解：两边求导，#'(x)+f(x)=1+2/(%),记y=/(x),

则xy'=\+y,分离变量，£=上，通解为l+y=Cx,

1+yx

在原方程中代入x=2,2/(2)=4,/(2)=2,r.C=1,

3

/(x)=-x-l

四、应用题(共16分)

1、求曲线丁二(/‘。*""？与直线y=o,y=3所围图形的面积，并求此图形

6-x,x>2

绕y轴旋转所成旋转体的体积匕。

解：S=f3(6-j-7j)dj=18-----32=13.5-2A/3

Jo22

%=〃p(6-y)2-y]dy=7T「(36-13j+j2)dj=58.5%•

31

2、某产品的生产函数。(x,)，)=80"y"其中分别表示投入的劳力数和资

本数，。是产量。若每个单位劳力需600元，每单位资本为2000元，而劳力和

资本投入的总预算为40万元，试求最佳资金投入分配方案。

31

解：目标函数Q(x,y)=80x4y4,

约束条件600x+2000y=400000，或3x+10y=2000

31

L=80x3+〃3x+1Oy-2000),

4=60x守+34=0

---x10x=500

\L'=2Qx4y4+102=0,—=—x=lOy,

y3y3y=50

3x+10y=2000“

由实际问题，此即最佳分配方案。

五、证明题(6分)

证明：:=/(x)-/(a).

dxJa

证:F(x)=j\x-t)f\t)dt=

==-(x-a)f(a)+[/⑺山

所以F'(x)=

微积分（下）模拟试卷（一）详解:

一、填空题(每小题2分，共20分)

0000

1、设贝him”,,=，£”“+2=o

"->00

n=ln=l

co

lim—0,〉:〃”+2=S—-%

n->oo

n=l

2、若/(x)在[a用上连续，则2f/(x)dx=;

；Pf(x)dx=f(x),金ff(x)dx=-2f(2x).

dx品dx以

3、y"—5y，+7y=0的通解为。

5土收Vir6.6、

2x

r=--——，j=e(Clcos—x+C2sin-)

4、已知£/«)市=1,。为圆域1+VWl,则fJ/(x2+j2)do-=.

D

化为极坐标，I=『d"/(r?)•rdr=21•；f/(z)dz=n.

1

5、f(e"d---z-)dx=o

Ji1+X2

偶函数，I=2(e-l)+-^-

6、设2)"在x=-l处发散，在x=5处收敛，则其收敛半径R=

n=0

由阿贝尔定理，/?<|-1-2|=3,/?>|5-2|=3,故H=3

2-Jxy+4

7、lim---------=。

令£=xy,原极限=lim----上^=lim-----[

一。tr^o/(2+V7+4)4

8、交换积分次序fdx['/f(x,y)dy=_____________。

J-2Jx~-1

£⑪£言/(x,y)dx+J：dyf焉f(X,y)dx.

9、当时，级数绝对收敛；当时，该级数条件收敛。

«=1〃

1八，1

a>―；0<a<—

22

10、z=4(x-y)---y2的极值点为。

一、选择题(每题2分)

1、设f(x)定义域为(1,2),则f(lgx)的定义域为()

A、(0,Ig2)B、(0,lg2]C、(10,100)D、(1,2)

2、x=-l是函数f(x)=「：，、的O

胤%T)

A、跳跃间断点B、可去间断点C、无穷间断点D、不是间断点

3、试求lim---------等于()

iox

A、---B、0C、1D、oo

4

4、若2+2=1,求V等于()

尤y

2x-yy-2x2y-xD、2

A.、B、C、

2y-x2y-x2x-y2x-y

5、曲线>=产2方Y的渐近线条数为()

A、0B、1C、2D、3

6、下列函数中，那个不是映射()

A、y2=x(x£R+,y£R-)y2=-x2+1

y=x2D、y=Inx(x>0)

二、填空题（每题2分）

1、y=1I的反函数为2、、

设/（x）=lim纥如，则〃x）的间断点为_________

18以4-1

3、已知常数a、b,lim-+'"+"=5,则此函数的最大值为_________

11-X

4、已知直线y=6x-Z是y=3x?的切线，则k=

5、求曲线xlny+y-2x=l,在点（1,1）的法线方程是

三、判断题（每题2分）

„V2

1、函数y=-是有界函数（）2、

1+广

有界函数是收敛数列的充分不必要条件（）

3、若lim2=oo,就翊是比M的的翔小（）4可导函数的极值点未必是它的驻点

a

（）

5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点（）

四、计算题（每题6分）1、求函数y=f的导数2、

已知/(x)=xarctanx-glna+x?),求dy

3、已知/-2町+;/=6,确定y是尚函数，求y〃4、求lim⑦“'

xsinx

2

以计算+6、计算lim(cosX)/

x->0*

五、应用题

1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（X）=100X-X2,总成木函数为

C（x）=200+50x+x2,向政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的

情况下，总税额最大？（8分）

2、描绘函数y=/+—的图形（12分）

X

六、证明题（每题6分）

1、用极限的定义证明：设lim/（x）=A,则lim/d）=A

XT+8XT。'X

2、证明方程在区间（0,1）内有且仅有一个实数

一、选择题

1、C2、C3、A4、B5、D6、B

二、填空题

1、x=02、。=6,/?=—73、184^35^x+y—2=0

三、判断题

1、J2、义3、J4、X5、X

四、计算题

1、

.1

sin—

V=(xxy

sin—Inx

=(exy

sin—Inx1111

=excos—(----7)InxH——sin—

XXXX

sin]1J1

—x(---~cos—InxH—sin

XXX

2、

dy=f\x)dx

12x

=(arctanx+x------r)dx

l+x221+x2

=arctanxdx

3、

解:

2x-2y-2xy'+3y2y=0

2x-3y2

.〃(2-3y，)(2%-3yJ(2%-2y)(2-6R)

••y=----------------------------------

(2x-3/

4、

解：

、，x2

•.,当x-»0时，xtanxsinx,l-cosx——

2

,原式刁而…io)=Hm'」

ioxsinxx-0x2

5,

解：

令t-yfx,X-tb

dx-6〃

J1+t

-6t-6arctant+C

-6y/x-6arctan>Jx+C

6、

解：

原式=limej2

XTo+

..i,

Inn——Incosx

---/yA'—>0+X

其中：

1,

lim--Incosx

二原式=e2

五、应用题

1、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为L(x)

L(x)-R(x)-C(x)-ax

=100X-X2-(200+50X+X2)-ax

——2x~+(50—ct)x—200

〃(x)=-4x+50—a

令〃(x)=0,得N=止巴,此时〃x)取得最大值

4

税收T=ar="(5°-a)

4

F=1(50-2a)

令r=0得a=25rz=--<0

2

.•.当a=25时，T取得最大值

2、

解：

。=（一8,0）。（0,+00）间断点为犬=0

y，=2x-

X

令y，=0则X=

#2

y〃=2+W

X

令y〃=0则x=_l

1

-1（-1,0）0w脸,+8)

V———X一04-

y〃+0—X+++

y拐点无定义极值点/

渐进线：

limy=8/.y无水平渐近线

X—>co

lim=0/.x=0是丁的铅直渐近线

3-kl

lim—=-o=co/.y无斜渐近线

x-*°°xx

六、证明题

1、

证明：

,.Tim/(%)=A

X—>00

/.Vf>0,3M>0

当％〉M时，有/(%)—A|<£

取4=，>0,则当时，有

MMX

f(—)-A<£

X

即lim/d)=A

X->00%

2、

证明:

令/(%)=xex-1

•••/(%)在(0,1)上连续

/(0)=-l<0,/(l)=e-l>0

由零点定理：至少存在一个,使得〃。)=0,即

又,//'(%)=(%+X)ex>0,XG(0,1)

则/(%)在［0,1］上单调递增

二方程%/-1在(0,1)内有且仅有一个实根

中南民族大学06、07微积分(下)试

卷及参考答案

06年A卷

评

分

f(x+y,—~)=x2-y2、—

1、已知》，则/(x,y)一

[x^e~xdx

2、已知，则10

「"小五

J-CO

3、函数/(x，y)=f+xy+V-y+l在

点取得极值.

4、已知/(X，y)=X+(x+arctany)arctany，则/；(l,0)=

5、以V=(G+C2X)/'(G，C2为任意常数)为通解的微分方程是

评

二、选择题(每小题3分，共15分)分

(p)x

u[e'-dx,I,,-1„„

6知J。与J1xh?Px均收敛，

则常数P的取值范围是().

(A)P>1(B)”1

x+y^0

/(x,y)=<

7数〔°，/+/=°在原点间断,

是因为该函数().

(A)在原点无定义

(B)在原点二重极限不存在

(C)在原点有二重极限，但无定义

(D)在原点二重极限存在，但不等于函数值

2222

/]=Jj^/1-x-ydxdyI2=JJ^/1-x-ydxdy

8、若^2+/<ll</+/<2

22

3=jj-x-ydxdy

2^x2+y2<.4，则下列关系式成立的是（）.

(A)/|>/2>；3(B)‘2>>，3

(C),1<‘2<，3(D)‘2<4<，3

9、方程<—6y'+9y=5(x+l)e”具有特解().

（A）y=ax+b（B）y=（ax+h）e3x

©,=32+bx）e，①）y=+bx1）e3x

/8；00

10、设"=1收敛，则"=1（）.

（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不定

一

评

分

三、计算题（每小题6分，共60分）一

一

评

.分

砰阅

人

11、求由y=x：x=4,y=°所围图形绕V轴旋转的旋转体的体积.

一

评

分

一

评阅

人

2

2

y

x+

lim

2

2

xfO

1-1

y+

y1x+

y->0

极限

求二重

12、

一

评

分

.

评阅

人

求&②

定，

A>，确

/=

Z+

y)由

z(x,

z=

13、

评

分

评阅

人

14、用拉格朗日乘数法求z=/+J，+1在条件*+y=1下的极值.

X

eydx

评

分

评阅

人

22

ff(x+y)dxdy2

16、计算二重积分。，其中。是由y轴及圆周厂=i所围成的

在第一象限内的区域.

评

分

评阅

人

17、解微分方程y"=y'+x

一

评

分

.

评阅

人

3

3

-l)

-7n

n+l

y(7