流体流动的基本方程

一、流量与流速

1、流量

单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。

若流量用体积来计量，称为体积流量VS；单位为：m3/s。

若流量用质量来计量，称为质量流量mS；单位：kg/s。

体积流量和质量流量的关系是：

2、流速

单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。单位为：m/s。数学表达式为：

目前一页\总数四十九页\编于十五点流量与流速的关系为：

质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的流体质量用G表示，单位为kg/(m2·s)。数学表达式为：对于圆形管道，——管道直径的计算式目前二页\总数四十九页\编于十五点二、稳态流动与非稳态流动稳态流动：运动流体的流速、压强、密度等有关物理量仅随位置而改变，而不随时间而改变非稳态流动：上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流动。目前三页\总数四十九页\编于十五点三、牛顿粘性定律与流体的粘度

牛顿粘性定律流体的内摩擦力：运动着的流体内部相邻两流体层间的作用力。又称为粘滞力或粘性摩擦力。

——流体阻力产生的来源目前四页\总数四十九页\编于十五点定义单位面积上的内摩擦力为摩擦剪应力：以τ表示。实测发现：uF0xu=0yΔuΔy平板间的流体流动阻力与速度梯度目前五页\总数四十九页\编于十五点——牛顿粘性定律式中：

速度梯度比例系数μ称为粘性系数或动力粘度，简称粘度，它的值随流体的不同而不同，流体的粘性愈大，其值愈大。

式中τ，u方向相同时取“＋”，方向相反时取“－”当u与y成直线关系时，差分可以写成微分形式：目前六页\总数四十九页\编于十五点2、流体的粘度

1）物理意义

促使流体流动产生单位速度梯度的剪应力。粘度总是与速度梯度相联系，只有在运动时才显现出来

目前七页\总数四十九页\编于十五点在物理单位制中，SI单位制和物理单位制粘度单位的换算关系为：在SI制中：2）粘度的单位目前八页\总数四十九页\编于十五点3)混合物的粘度对常压气体混合物：对于分子不缔合的液体混合物：目前九页\总数四十九页\编于十五点

4）运动粘度单位：

SI制：m2/s；物理单位制：cm2/s，用St表示。目前十页\总数四十九页\编于十五点关于黏度的讨论黏度是流体的重要物理性质之一，可由实验测定常见流体的黏度值可由相关手册中查取；当缺乏实验数据时，还可由经验公式计算一般气体的黏度值远小于液体的黏度值流体的黏度是温度T的函数气体：T↑，黏度↑液体：T↑，黏度↓流体的黏度值一般不随压力而变化?目前十一页\总数四十九页\编于十五点流体的分类：按流体流动时应力与速度梯度之间的关系，流体可分为牛顿型流体：非牛顿型流体：服从牛顿粘性定律的流体，应力与速度梯度成正比例关系不服从牛顿粘性定律的流体，应力与速度梯度不满足正比例关系目前十二页\总数四十九页\编于十五点非牛顿型流体的分类非牛顿型流体根据流体的应力与速度梯度之间的关系，非牛顿型流体可分为以下几种：假塑性流体涨塑性流体宾汉塑性流体

a——表观粘度，非纯物性,是速度梯度的函数。幂律流体目前十三页\总数四十九页\编于十五点非牛顿型流体假塑性流体流体的表观粘度值随剪切速率的加大而减小，即剪应力对剪切速率的关系曲线为一下弯的曲线多数非牛顿型流体都属于这一类，如聚合物溶液或熔融体、油脂、淀粉溶液、油漆、蛋黄浆等粘流指数:n<10du/dyτ假塑性流体B假塑性流体剪应力与速度梯度的关系目前十四页\总数四十九页\编于十五点涨塑性流体流体的表观粘度值随剪切速率的加大而增大，即剪应力对剪切速率的关系曲线为一上弯的曲线涨塑性流体包括玉米粉、糖溶液、含细粉浓度很高的水浆等粘流指数:n>10du/dyτ胀塑性流体剪应力与速度梯度的关系胀塑性流体目前十五页\总数四十九页\编于十五点3.宾汉塑性流体流体的应力与应变成线性关系，但存在一屈服应力表观粘度值为一常数常见的宾汉塑性流体如牙膏、肥皂、纸浆等。粘流指数:n=10du/dyτ宾汉塑性流体剪应力与速度梯度的关系宾汉塑性流体目前十六页\总数四十九页\编于十五点四、连续性方程在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。对于稳定流动：

目前十七页\总数四十九页\编于十五点如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：若流体为不可压缩流体

——一维稳态流动的连续性方程

目前十八页\总数四十九页\编于十五点对于圆形管道，表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径的平方成反比。目前十九页\总数四十九页\编于十五点五、能量衡算方程1、流体流动的总能量衡算

1）流体本身具有的能量物质内部能量的总和称为内能。

单位质量流体的内能以U表示，单位J/kg。①内能：流体因处于重力场内而具有的能量。②位能：质量为m流体的位能单位质量流体的位能

目前二十页\总数四十九页\编于十五点流体以一定的流速流动而具有的能量。

③动能：质量为m，流速为u的流体所具有的动能单位质量流体所具有的动能④静压能：流体内部因具有一定的静压力而产生的对外做功的潜力目前二十一页\总数四十九页\编于十五点流体在截面处所具有的压力流体通过截面所走的距离为

流体通过截面的静压能单位质量流体所具有的静压能

单位质量流体本身所具有的总能量为：目前二十二页\总数四十九页\编于十五点

单位质量流体在流动过程中所吸的热为：qe(J/kg)；质量为m的流体所吸的热=mqe[J]。当流体吸热时qe为正，流体放热时qe为负。①热：2）系统与外界交换的能量单位质量在流动过程中接受的功为：We(J/kg)

质量为m的流体所接受的功=mWe(J)②功：流体接受外功时，We为正，向外界做功时,We为负。

流体本身所具有能量和热、功就是流动系统的总能量。目前二十三页\总数四十九页\编于十五点3）总能量衡算衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。衡算基准：1kg流体。设1-1’截面的流体流速为u1，压强为p1，截面积为A1，比容为ν1；截面2-2’的流体流速为u2，压强为p2，截面积为A2，比容为v2。取o-o’为基准水平面，截面1-1’和截面2-2’中心与基准水平面的距离为z1，z2oo’目前二十四页\总数四十九页\编于十五点对于稳态流动系统：∑输入能量=∑输出能量Σ输入能量Σ输出能量——稳态流动的总能量衡算式目前二十五页\总数四十九页\编于十五点2、流动系统的机械能衡算方程及柏努利方程对于理想流体(μ＝0)，若系统与外界没有热量交换，则qe=0对于非理想流体(μ≠0)，即便系统与外界没有热量交换，由于存在流动阻力，会产生摩擦热，因此这时qe≠0若1kg的流体在流动过程中产生的阻力损失用来表示，则此时这时，系统总能量方程可以简化为——流体稳态流动的机械能衡算方程

1）流动系统的机械能衡算方程目前二十六页\总数四十九页\编于十五点2）柏努利方程（Bernalli）当流体不可压缩时，ρ≡常数所以，对于理想流体，流动过程中阻力损失为零，即若流动过程中还没有外加功，即这时，机械能衡算方程可简化为：将该方程展开后，形式变为目前二十七页\总数四十九页\编于十五点——柏努利方程3、柏努利方程式的讨论

1）柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动，没有外功加入时，任意截面上单位质量流体的总机械能即动能、位能、静压能之和为一常数，用E表示。即：1kg理想流体在各截面上的总机械能相等，但各种形式的机械能却不一定相等，可以相互转换。

2）对于实际流体，在管路内流动时，应满足：上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。

目前二十八页\总数四十九页\编于十五点3）式中各项的物理意义输入和输出截面之间流体的位能差、动能差和静压能差因流动阻力而损失的能量Σhf：We：单位质量的流体从外界获得的机械能

Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功，即功率4）当体系无外功，且处于静止状态时流体的静力方程是流体流动方程的一个特例目前二十九页\总数四十九页\编于十五点

5）柏努利方程的不同形式

a)若以单位重量的流体为衡算基准[J/N]=[m]

位压头，动压头，静压头、

压头损失

he：输送设备对流体所提供的有效压头目前三十页\总数四十九页\编于十五点b)若以单位体积流体为衡算基准静压强项p可以用绝对压强值代入，也可以用表压强值代入[J/m3]=[Pa]6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对压强变化小于原来压强的20%，仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体的平均密度ρm代替。目前三十一页\总数四十九页\编于十五点六、柏努利方程式的应用

1、应用柏努利方程的注意事项

1）作图并确定衡算范围根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的衡算范围。2）截面的截取两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面的有关物理量z、u、p等除了所求的物理量之外，都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。目前三十二页\总数四十九页\编于十五点3）基准水平面的选取基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线，Δz=0。4）单位必须一致在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。目前三十三页\总数四十九页\编于十五点

2、柏努利方程的应用

1）计算液位高度例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接管直径为φ38×2.5mm，料液在连接管内流动时的能量损失为30J/kg(不包括出口的能量损失)，试求高位槽内液面应为比塔内的进料口高出多少？目前三十四页\总数四十九页\编于十五点分析：解：

取高位槽液面为截面1-1’，连接管出口内侧为截面2-2’,并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利方程式：高位槽、管道出口两截面u、p已知求Δz柏努利方程目前三十五页\总数四十九页\编于十五点式中：z2=0；z1=?

p1=0(表压)；p2=9.81×103Pa(表压）we=0，由于高位槽中的液面维持恒定，u1=0。将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：目前三十六页\总数四十九页\编于十五点

2）确定输送设备的有效功率

例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后流入下水道，已知道管道内径均为0.1m，流量为84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(喷头处的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较塔内压强高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计，泵的效率为65%，求泵所需的功率目前三十七页\总数四十九页\编于十五点分析：求NeNe=Wems/η求We柏努利方程p2=?塔内压强整体流动非连续截面的选取？

解：取塔内水面为截面3-3’，下水道截面为截面4-4’，取地平面为基准水平面，在3-3’和4-4’间列柏努利方程：目前三十八页\总数四十九页\编于十五点将已知数据代入柏努利方程式得：计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。目前三十九页\总数四十九页\编于十五点式中：目前四十页\总数四十九页\编于十五点将已知数据代入柏努利方程式泵的功率：目前四十一页\总数四十九页\编于十五点3)计算流体内部压力例：水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，计算管内截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’处的压强，大气压强为760mmHg，图中所标注的尺寸均以mm计。分析：求p求u柏努利方程某截面的总机械能求各截面p理想流体目前四十二页\总数四十九页\编于十五点

解：在水槽水面1-1’及管出口内侧截面6-6’间列柏努利方程式，并以6-6’截面为基准水平面式中：

p1=p6=0（表压）

u1≈0代入柏努利方程式目前四十三页\总数四十九页\编于十五点u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基准水平面,z1=3m，p1=760mmHg=101325Pa对于各截面压